En matemáticas , un elemento identidad o elemento neutro de una operación binaria es un elemento que deja sin cambios todos los elementos cuando se aplica la operación. [1] [2] Por ejemplo, 0 es un elemento identidad de la suma de números reales . Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento de identidad a menudo se abrevia a identidad (como en el caso de identidad aditiva e identidad multiplicativa) [3] cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria a la que está asociada.
Sea ( S , ∗) un conjunto S equipado con una operación binaria ∗. Entonces un elemento e de S se llamaidentidad izquierda sie∗s=spara todo sen S, y aidentidad correcta sis∗e=spara todo sen S. [4]Siees tanto una identidad izquierda como una identidad derecha, entonces se llamaidentidad bilateral , o simplemente unaidentidad . [5][6][7][8][9]
Una identidad con respecto a la suma se llamaidentidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llamaidentidad multiplicativa (a menudo denotada como 1). [3]No es necesario que sean sumas y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de ungrupo, por ejemplo, el elemento de identidad a veces se indica simplemente con el símbolo. La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se usa con mayor frecuencia para conjuntos que admiten ambas operaciones binarias, comoanillos,dominios integralesycampos. La identidad multiplicativa a menudo se llamaunidad en el último contexto (un anillo con unidad). [10][11][12]Esto no debe confundirse con unaunidaden la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tenga uninverso multiplicativo. Por su propia definición, la unidad misma es necesariamente una unidad. [13][14]
En el ejemplo S = { e,f } con las igualdades dadas, S es un semigrupo . Demuestra la posibilidad de que ( S , ∗) tenga varias identidades izquierdas. De hecho, cada elemento puede ser una identidad de izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades correctas. Pero si existen tanto una identidad de derecha como una identidad de izquierda, entonces deben ser iguales, lo que da como resultado una única identidad de dos caras.
Para ver esto, observe que si l es una identidad izquierda y r es una identidad derecha, entonces l = l ∗ r = r . En particular, nunca puede haber más de una identidad bilateral: si hubiera dos, digamos e y f , entonces e ∗ f tendría que ser igual tanto a e como a f .
También es muy posible que ( S , ∗) no tenga elemento identidad, [15] como en el caso de números enteros pares en la operación de multiplicación. [3] Otro ejemplo común es el producto cruzado de vectores , donde la ausencia de un elemento identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto cruzado distinto de cero es siempre ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el original. Otro ejemplo más de estructura sin elemento identidad implica el semigrupo aditivo de números naturales positivos .
