Multiplicidad (matemáticas)

Número de veces que se debe contar un objeto para que sea verdadera una fórmula general

En matemáticas , la multiplicidad de un miembro de un multiconjunto es el número de veces que aparece en el multiconjunto. Por ejemplo, el número de veces que un polinomio dado tiene una raíz en un punto dado es la multiplicidad de esa raíz.

La noción de multiplicidad es importante para poder contar correctamente sin especificar excepciones (por ejemplo, raíces dobles contadas dos veces). De ahí la expresión "contado con multiplicidad".

Si se ignora la multiplicidad, se puede enfatizar contando el número de elementos distintos , como en "el número de raíces distintas". Sin embargo, siempre que se forma un conjunto (a diferencia de un multiconjunto), la multiplicidad se ignora automáticamente, sin necesidad de utilizar el término "distinto".

Multiplicidad de un factor primo

En la factorización prima , la multiplicidad de un factor primo es su valoración -ádica . Por ejemplo, la factorización prima del entero 60 es ${\displaystyle p}$

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

La multiplicidad del factor primo 2 es 2 , mientras que la multiplicidad de cada uno de los factores primos 3 y 5 es 1. Por lo tanto, 60 tiene cuatro factores primos que permiten multiplicidades, pero solo tres factores primos distintos.

Multiplicidad de una raíz de un polinomio

Sea un cuerpo y un polinomio de una variable con coeficientes en . Un elemento es una raíz de multiplicidad de si existe un polinomio tal que y . Si , entonces a se denomina raíz simple . Si , entonces se denomina raíz múltiple . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle a}$

Por ejemplo, el polinomio tiene 1 y −4 como raíces y puede escribirse como . Esto significa que 1 es una raíz de multiplicidad 2 y −4 es una raíz simple (de multiplicidad 1). La multiplicidad de una raíz es el número de ocurrencias de esta raíz en la factorización completa del polinomio, por medio del teorema fundamental del álgebra . ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

Si es una raíz de multiplicidad de un polinomio, entonces es una raíz de multiplicidad de la derivada de ese polinomio, a menos que la característica del campo subyacente sea un divisor de k , en cuyo caso es una raíz de multiplicidad al menos de la derivada. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$

El discriminante de un polinomio es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple.

Comportamiento de una función polinómica cerca de una raíz múltiple

Gráfica de x ³  + 2 x ²  − 7 x  + 4 con una raíz simple (multiplicidad 1) en x=−4 y una raíz de multiplicidad 2 en x=1. La gráfica corta el eje x en la raíz simple. Es tangente al eje x en la raíz múltiple y no lo corta, ya que la multiplicidad es par.

La gráfica de una función polinómica f toca el eje x en las raíces reales del polinomio. La gráfica es tangente a él en las raíces múltiples de f y no tangente en las raíces simples. La gráfica cruza el eje x en las raíces de multiplicidad impar y no lo cruza en las raíces de multiplicidad par.

Una función polinómica distinta de cero es en todas partes no negativa si y solo si todas sus raíces tienen multiplicidad par y existe una tal que . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})>0}$

Multiplicidad de una solución de un sistema de ecuaciones no lineal

Para una ecuación con una solución de una sola variable , la multiplicidad es si ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$y ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

En otras palabras, la funcional diferencial , definida como la derivada de una función en , se anula en hasta . Esas funcionales diferenciales abarcan un espacio vectorial, llamado espacio dual de Macaulay en , ^[1] y su dimensión es la multiplicidad de como un cero de . ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$

Sea un sistema de ecuaciones de variables con una solución donde es una función de a o de a . También existe un espacio dual de Macaulay de funcionales diferenciales en en el que todo funcional se anula en . La dimensión de este espacio dual de Macaulay es la multiplicidad de la solución de la ecuación . El espacio dual de Macaulay forma la estructura de multiplicidad del sistema en la solución. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{m}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Por ejemplo, la solución del sistema de ecuaciones en la forma de con ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

es de multiplicidad 3 porque el espacio dual de Macaulay

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

es de dimensión 3, donde denota la funcional diferencial aplicada sobre una función en el punto . ${\displaystyle \partial _{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

La multiplicidad es siempre finita si la solución está aislada, es invariante a la perturbación en el sentido de que una solución -fold se convierte en un conjunto de soluciones con una multiplicidad combinada bajo perturbación en espacios complejos, y es idéntica a la multiplicidad de intersección en sistemas polinomiales. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Multiplicidad de intersecciones

En geometría algebraica , la intersección de dos subvariedades de una variedad algebraica es una unión finita de variedades irreducibles . A cada componente de dicha intersección se le asigna una multiplicidad de intersección . Esta noción es local en el sentido de que puede definirse observando lo que ocurre en un entorno de cualquier punto genérico de este componente. De ello se deduce que, sin pérdida de generalidad, podemos considerar, para definir la multiplicidad de intersección, la intersección de dos variedades afines (subvariedades de un espacio afín).

Así, dadas dos variedades afines V ₁ y V ₂ , considérese una componente irreducible W de la intersección de V ₁ y V ₂ . Sea d la dimensión de W , y P un punto genérico cualquiera de W . La intersección de W con d hiperplanos en posición general que pasan por P tiene una componente irreducible que se reduce al único punto P . Por lo tanto, el anillo local en esta componente del anillo de coordenadas de la intersección tiene solo un ideal primo , y es por lo tanto un anillo artiniano . Este anillo es, por lo tanto, un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo fundamental. Su dimensión es la multiplicidad de intersección de V ₁ y V ₂ en W .

Esta definición nos permite enunciar con precisión el teorema de Bézout y sus generalizaciones.

Esta definición generaliza la multiplicidad de una raíz de un polinomio de la siguiente manera. Las raíces de un polinomio f son puntos en la línea afín , que son los componentes del conjunto algebraico definido por el polinomio. El anillo de coordenadas de este conjunto afín es donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de f . Si es la factorización de f , entonces el anillo local de R en el ideal primo es Este es un espacio vectorial sobre K , que tiene la multiplicidad de la raíz como dimensión. ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Esta definición de multiplicidad de intersección, que se debe esencialmente a Jean-Pierre Serre en su libro Local Algebra , funciona solo para los componentes teóricos de conjuntos (también llamados componentes aislados ) de la intersección, no para los componentes incrustados . Se han desarrollado teorías para manejar el caso incrustado (consulte la teoría de intersecciones para obtener más detalles).

En análisis complejo

Sea z ₀ una raíz de una función holomorfa f , y sea n el menor entero positivo tal que la derivada n ^ésima de f evaluada en z ₀ difiera de cero. Entonces la serie de potencias de f en torno a z ₀ comienza con el término n ^ésimo , y se dice que f tiene una raíz de multiplicidad (u “orden”)  n . Si n  = 1, la raíz se denomina raíz simple. ^[4]

También podemos definir la multiplicidad de los ceros y polos de una función meromórfica . Si tenemos una función meromórfica, tomamos las expansiones de Taylor de g y h alrededor de un punto z ₀ y encontramos el primer término distinto de cero en cada una (denotamos el orden de los términos m y n respectivamente), entonces si m  =  n , entonces el punto tiene valor distinto de cero. Si entonces el punto es un cero de multiplicidad Si , entonces el punto tiene un polo de multiplicidad ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ ${\displaystyle m>n,}$ ${\displaystyle m-n.}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n-m.}$

Referencias

1. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein y CW Wampler (2013). Resolución numérica de sistemas polinomiales con Bertini . SIAM. págs. 186-187.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. BH Dayton, T.-Y. Li y Z. Zeng (2011). "Ceros múltiples de sistemas no lineales". Matemáticas de la computación . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . doi :10.1090/s0025-5718-2011-02462-2. S2CID  9867417.
3. Macaulay, FS (1916). La teoría algebraica de los sistemas modulares . Cambridge Univ. Press 1994, reimpresión del original de 1916.
4. (Krantz 1999, pág. 70)

• Krantz, SG Manual de variables complejas . Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .