Sistema multifractal

Sistema con múltiples dimensiones fractales

Un atractor extraño que exhibe escala multifractal

Ejemplo de un estado propio electrónico multifractal en la transición de localización de Anderson en un sistema con 1367631 átomos.

Un sistema multifractal es una generalización de un sistema fractal en el que un único exponente (la dimensión fractal ) no es suficiente para describir su dinámica; en su lugar, se necesita un espectro continuo de exponentes (el llamado espectro de singularidad ). ^[1]

Los sistemas multifractales son comunes en la naturaleza. Incluyen la longitud de las costas , la topografía montañosa, ^[2] la turbulencia completamente desarrollada , escenas del mundo real, dinámica de los latidos del corazón , ^[3] la marcha ^[4] y la actividad humana, ^{[5] la actividad} cerebral humana , ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]} y series temporales de luminosidad natural. ^[13] Se han propuesto modelos en varios contextos que van desde la turbulencia en la dinámica de fluidos hasta el tráfico de Internet, las finanzas, el modelado de imágenes, la síntesis de texturas, la meteorología, la geofísica y más. ^{[ cita requerida ]} El origen de la multifractalidad en datos secuenciales (series temporales) se ha atribuido a efectos de convergencia matemática relacionados con el teorema del límite central que tienen como focos de convergencia la familia de distribuciones estadísticas conocidas como los modelos de dispersión exponencial de Tweedie , ^[14] así como los modelos geométricos de Tweedie. ^[15] El primer efecto de convergencia produce secuencias monofractales, y el segundo efecto de convergencia es responsable de la variación en la dimensión fractal de las secuencias monofractales. ^[16]

El análisis multifractal se utiliza para investigar conjuntos de datos, a menudo en conjunción con otros métodos de análisis fractal y de lagunaridad . La técnica implica distorsionar conjuntos de datos extraídos de patrones para generar espectros multifractales que ilustren cómo varía la escala en el conjunto de datos. El análisis multifractal se ha utilizado para descifrar las reglas de generación y las funcionalidades de redes complejas. ^[17] Las técnicas de análisis multifractal se han aplicado en una variedad de situaciones prácticas, como la predicción de terremotos y la interpretación de imágenes médicas. ^{[18] [19] [20]}

Definición

En un sistema multifractal , el comportamiento alrededor de cualquier punto se describe mediante una ley de potencia local : ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

El exponente se llama exponente de singularidad, ya que describe el grado local de singularidad o regularidad alrededor del punto . ^[21] ${\displaystyle h({\vec {x}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente de singularidad se denomina variedad de singularidad de exponente h y es un conjunto fractal de dimensión fractal el espectro de singularidad. La curva versus se denomina espectro de singularidad y describe completamente la distribución estadística de la variable . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D(h):}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

En la práctica, el comportamiento multifractal de un sistema físico no se caracteriza directamente por su espectro de singularidad . Más bien, el análisis de datos da acceso a los exponentes de multiescalamiento . De hecho, las señales multifractales generalmente obedecen a una propiedad de invariancia de escala que produce comportamientos de ley de potencia para cantidades de multiresolución, dependiendo de su escala . Dependiendo del objeto en estudio, estas cantidades de multiresolución, denotadas por , pueden ser promedios locales en cajas de tamaño , gradientes sobre la distancia , coeficientes wavelet a escala , etc. Para objetos multifractales, generalmente se observa un escalamiento de ley de potencia global de la forma: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

al menos en un cierto rango de escalas y para un cierto rango de órdenes . Cuando se observa tal comportamiento, se habla de invariancia de escala, autosimilitud o multiescalamiento. ^[22] ${\displaystyle q}$

Estimación

Utilizando el llamado formalismo multifractal , se puede demostrar que, bajo algunas suposiciones adecuadas, existe una correspondencia entre el espectro de singularidad y los exponentes de escala múltiple a través de una transformada de Legendre . Si bien la determinación de requiere un análisis local exhaustivo de los datos, lo que daría lugar a cálculos difíciles y numéricamente inestables, la estimación de se basa en el uso de promedios estadísticos y regresiones lineales en diagramas logarítmicos. Una vez que se conocen, se puede deducir una estimación de gracias a una simple transformada de Legendre. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle D(h),}$

Los sistemas multifractales suelen modelarse mediante procesos estocásticos como las cascadas multiplicativas . Se interpretan estadísticamente, ya que caracterizan la evolución de las distribuciones de los a medida que pasan de escalas mayores a escalas menores. Esta evolución se denomina a menudo intermitencia estadística y delata una desviación de los modelos gaussianos . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \zeta (q)}$ ${\displaystyle T_{X}(a)}$ ${\displaystyle a}$

El modelado como una cascada multiplicativa también permite estimar propiedades multifractales. Roberts y Cronin, 1996 Este método funciona razonablemente bien, incluso para conjuntos de datos relativamente pequeños. Un ajuste de máxima probabilidad de una cascada multiplicativa al conjunto de datos no solo estima el espectro completo, sino que también brinda estimaciones razonables de los errores. ^[23]Error de harvnb: no hay destino: CITEREFRobertsCronin1996 ( ayuda )

Estimación de la escala multifractal a partir del recuento de cajas

Los espectros multifractales se pueden determinar a partir del conteo de cajas en imágenes digitales. Primero, se realiza un escaneo de conteo de cajas para determinar cómo se distribuyen los píxeles; luego, esta "distribución de masa" se convierte en la base para una serie de cálculos. ^{[24] [25] [26]} La idea principal es que para los multifractales, la probabilidad de que aparezca una cantidad de píxeles en una caja varía según el tamaño de la caja , hasta cierto exponente , que cambia a lo largo de la imagen, como en la ecuación 0.0 ( NB : para los monofractales, en contraste, el exponente no cambia significativamente a lo largo del conjunto). se calcula a partir de la distribución de píxeles del conteo de cajas como en la ecuación 2.0 . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \epsilon }$= una escala arbitraria ( tamaño de caja en el conteo de cajas) en la que se examina el conjunto

${\displaystyle i}$= el índice de cada caja colocada sobre el conjunto para un ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= el número de píxeles o masa en cualquier caja, , en tamaño ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= el total de cuadros que contenían más de 0 píxeles, para cada uno ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$se utiliza para observar cómo se comporta la distribución de píxeles cuando se distorsiona de ciertas maneras como en la ecuación 3.0 y la ecuación 3.1 :

${\displaystyle Q}$= un rango arbitrario de valores para usar como exponentes para distorsionar el conjunto de datos

• Cuando , la ecuación 3.0 es igual a 1, la suma habitual de todas las probabilidades, y cuando , cada término es igual a 1, por lo que la suma es igual al número de cajas contadas, . ${\displaystyle Q=1}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle N_{\epsilon }}$

Estas ecuaciones distorsionantes se utilizan además para abordar cómo se comporta el conjunto cuando se escala, se resuelve o se corta en una serie de piezas de tamaño y se distorsiona mediante Q, para encontrar valores diferentes para la dimensión del conjunto, como en lo siguiente: ${\displaystyle \epsilon }$

• Una característica importante de la ecuación 3.0 es que también se puede observar que varía según la escala elevada al exponente en la ecuación 4.0 : ${\displaystyle \tau }$

Por lo tanto, se puede encontrar una serie de valores para a partir de las pendientes de la línea de regresión para el logaritmo de la ecuación 3.0 frente al logaritmo de para cada , con base en la ecuación 4.1 : ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Q}$

• Para la dimensión generalizada:

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$se estima como la pendiente de la línea de regresión para log A _{, Q ${\displaystyle \epsilon }$} versus log ${\displaystyle \epsilon }$ donde:

• Luego se encuentra a partir de la ecuación 5.3 . ${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• La media se estima como la pendiente de la línea de regresión logarítmica para versus , donde: ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$ ${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

En la práctica, la distribución de probabilidad depende de cómo se muestrea el conjunto de datos, por lo que se han desarrollado algoritmos de optimización para garantizar un muestreo adecuado. ^[24]

Aplicaciones

El análisis multifractal se ha utilizado con éxito en muchos campos, incluidas las ciencias físicas, ^{[27] [28]} de la información y biológicas. ^[29] Por ejemplo, la cuantificación de patrones de grietas residuales en la superficie de muros de corte de hormigón armado. ^[30]

Análisis de distorsión de conjuntos de datos

El análisis multifractal es análogo a ver un conjunto de datos a través de una serie de lentes distorsionantes para identificar las diferencias en la escala. El patrón que se muestra es un mapa de Hénon .

El análisis multifractal se ha utilizado en varios campos científicos para caracterizar varios tipos de conjuntos de datos. ^{[31] [5] [8]} En esencia, el análisis multifractal aplica un factor de distorsión a los conjuntos de datos extraídos de patrones, para comparar cómo se comportan los datos en cada distorsión. Esto se hace utilizando gráficos conocidos como espectros multifractales , análogos a ver el conjunto de datos a través de una "lente distorsionadora", como se muestra en la ilustración. ^[24] En la práctica se utilizan varios tipos de espectros multifractales.

D_Qcontra Q

Espectros D _{Q vs Q para un círculo no fractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,0),} una cruz cuadrática monofractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,49) y un mapa de Hénon multifractal (dimensión de conteo de cajas empíricas = 1,29).

Un espectro multifractal práctico es el gráfico de D _Q vs Q, donde D _Q es la dimensión generalizada de un conjunto de datos y Q es un conjunto arbitrario de exponentes. La expresión dimensión generalizada se refiere, por tanto, a un conjunto de dimensiones de un conjunto de datos (los cálculos detallados para determinar la dimensión generalizada mediante el recuento de cajas se describen a continuación).

Ordenamiento dimensional

El patrón general del gráfico de D _Q vs Q se puede utilizar para evaluar la escala en un patrón. El gráfico es generalmente decreciente, sigmoideo alrededor de Q=0, donde D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . Como se ilustra en la figura, la variación en este espectro gráfico puede ayudar a distinguir patrones. La imagen muestra espectros D _(Q) de un análisis multifractal de imágenes binarias de conjuntos no fractales, monofractales y multifractales. Como es el caso en las imágenes de muestra, los no fractales y monofractales tienden a tener espectros D _(Q) más planos que los multifractales.

La dimensión generalizada también proporciona información específica importante. D _(Q=0) es igual a la dimensión de capacidad , que, en el análisis que se muestra en las figuras aquí, es la dimensión de conteo de cajas . D _(Q=1) es igual a la dimensión de información y D _(Q=2) a la dimensión de correlación . Esto se relaciona con el "multi" en multifractal, donde los multifractales tienen múltiples dimensiones en los espectros D _(Q) versus Q, pero los monofractales se mantienen bastante planos en esa área. ^{[24] [25]}

f(α) frente a α

Otro espectro multifractal útil es el gráfico de versus (ver cálculos). Estos gráficos generalmente ascienden hasta un máximo que se aproxima a la dimensión fractal en Q=0, y luego caen. Al igual que los espectros D _Q versus Q, también muestran patrones típicos útiles para comparar patrones no fractales, monofractales y multifractales. En particular, para estos espectros, los no fractales y monofractales convergen en ciertos valores, mientras que los espectros de patrones multifractales generalmente forman jorobas sobre un área más amplia. ${\displaystyle f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Dimensiones generalizadas de las distribuciones de abundancia de especies en el espacio

Una aplicación de D _q versus Q en ecología es la caracterización de la distribución de especies. Tradicionalmente, la abundancia relativa de especies se calcula para un área sin tener en cuenta la ubicación de los individuos. Una representación equivalente de la abundancia relativa de especies son los rangos de especies, utilizados para generar una superficie llamada superficie de rangos de especies, ^[32] que se puede analizar utilizando dimensiones generalizadas para detectar diferentes mecanismos ecológicos como los observados en la teoría neutral de la biodiversidad , la dinámica de metacomunidades o la teoría del nicho . ^{[32] [33]}

Véase también

• Curva de Rham  : curva fractal continua obtenida como imagen del espacio de Cantor
• Movimiento browniano fraccional  : concepto de teoría de la probabilidad
• Análisis de fluctuaciones sin tendencia  : término estadístico
• Distribuciones Tweedie  : familia de distribuciones de probabilidadPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Cambios multifractales de Markov  : modelo de rendimiento de activosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Red estocástica planar ponderada  : estructura matemática que comparte algunas de las propiedades tanto de las redes como de los gráficosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

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• Películas de visualizaciones de multifractales