Factor doble

Función matemática

Los quince diagramas de cuerdas diferentes en seis puntos, o equivalentemente las quince combinaciones perfectas diferentes en un grafo completo de seis vértices . Estos se cuentan por el factorial doble 15 = (6 − 1)‼ .

En matemáticas , el factorial doble de un número n , denotado por n ‼ , es el producto de todos los números enteros positivos hasta n que tienen la misma paridad (par o impar) que n . ^[1] Es decir,

$${\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .}$$

Reformulado, esto dice que para n par , el factorial doble ^[2] es mientras que para n impar es Por ejemplo, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. El factorial doble cero 0‼ = 1 como un producto vacío . ^{[3] [4]} $${\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,}$$ $${\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.}$$

La secuencia de factoriales dobles para n = 0, 2, 4, 6, 8,... comienza como

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (secuencia A000165 en la OEIS )

La secuencia de factoriales dobles para n impar = 1, 3, 5, 7, 9,... comienza como

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (secuencia A001147 en la OEIS )

El término factorial impar se utiliza a veces para el factorial doble de un número impar. ^{[5] [6]}

El término semifactorial también es utilizado por Knuth como sinónimo de doble factorial. ^[7]

Historia y uso

En un artículo de 1902, el físico Arthur Schuster escribió: ^[8]

La representación simbólica de los resultados de este trabajo se facilita mucho con la introducción de un símbolo separado para el producto de factores alternativos, si es impar, o si es impar [sic]. Propongo escribir para tales productos, y si se requiere un nombre para el producto, llamarlo "factorial alternativo" o "factorial doble". ${\displaystyle n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\cdot n-2\cdots 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!!}$

Meserve (1948) ^[9] afirma que el factorial doble se introdujo originalmente para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas que surgen en la derivación del producto de Wallis . Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera , y tienen muchas aplicaciones en la combinatoria enumerativa . ^{[1] [10]} Aparecen en la distribución t de Student (1908), aunque Gosset no utilizó la notación de doble signo de exclamación.

Relación con el factorial

Debido a que el factorial doble sólo involucra aproximadamente la mitad de los factores del factorial ordinario , su valor no es sustancialmente mayor que la raíz cuadrada del factorial n !, y es mucho menor que el factorial iterado ( n !) !.

El factorial de un n positivo puede escribirse como el producto de dos factoriales dobles: ^[3] y, por lo tanto , donde el denominador cancela los factores no deseados en el numerador. (La última forma también se aplica cuando n = 0 ). $${\displaystyle n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,}$$ $${\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,}$$

Para un entero par no negativo n = 2 k con k ≥ 0 , el factorial doble puede expresarse como $${\displaystyle (2k)!!=2^{k}k!\,.}$$

Para n = 2 k − 1 impar con k ≥ 1 , combinando las dos fórmulas anteriores se obtiene $${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.}$$

Para un entero positivo impar n = 2 k − 1 con k ≥ 1 , el factorial doble puede expresarse en términos de k -permutaciones de 2 k ^{[1] [11]} o un factorial descendente como $${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.}$$

Aplicaciones en combinatoria enumerativa

Los quince árboles binarios enraizados diferentes (con hijos desordenados) en un conjunto de cuatro hojas etiquetadas, que ilustran 15 = (2 × 4 − 3)‼ (ver el texto del artículo).

Los factoriales dobles están motivados por el hecho de que aparecen con frecuencia en la combinatoria enumerativa y en otros contextos. Por ejemplo, n ‼ para valores impares de n recuentos

• Emparejamientos perfectos del grafo completo K _{n + 1} para n impar . En un grafo de este tipo, cualquier vértice v tiene n posibles elecciones de vértice con el que puede ser emparejado, y una vez hecha esta elección el problema restante es el de seleccionar un emparejamiento perfecto en un grafo completo con dos vértices menos. Por ejemplo, un grafo completo con cuatro vértices a , b , c y d tiene tres emparejamientos perfectos: ab y cd , ac y bd , y ad y bc . ^[1] Los emparejamientos perfectos pueden describirse de varias otras formas equivalentes, incluyendo involuciones sin puntos fijos en un conjunto de n + 1 elementos ( permutaciones en las que cada ciclo es un par) ^[1] o diagramas de cuerdas (conjuntos de cuerdas de un conjunto de n + 1 puntos espaciados uniformemente en un círculo de modo que cada punto es el punto final de exactamente una cuerda, también llamados diagramas de Brauer ). ^{[10] [12] [13]} Los números de coincidencias en gráficos completos, sin restringir que las coincidencias sean perfectas, se dan en cambio mediante los números de teléfono , que pueden expresarse como una suma que involucra factoriales dobles. ^[14]
• Permutaciones de Stirling , permutaciones del multiconjunto de números 1, 1, 2, 2, ..., k , k en las que cada par de números iguales está separado solo por números mayores, donde k = ⁠n +1/2⁠ . Las dos copias de k deben ser adyacentes; al eliminarlas de la permutación queda una permutación en la que el elemento máximo es k − 1 , con n posiciones en las que se puede colocarel par adyacente de valores k . A partir de esta construcción recursiva, se sigue por inducción una prueba de que las permutaciones de Stirling se cuentan por las permutaciones dobles. ^[1] Alternativamente, en lugar de la restricción de que los valores entre un par pueden ser mayores que él, también se pueden considerar las permutaciones de este multiconjunto en el que las primeras copias de cada par aparecen en orden ordenado; dicha permutación define una coincidencia en las 2 k posiciones de la permutación, por lo que nuevamente el número de permutaciones se puede contar por las permutaciones dobles. ^[10]
• Árboles ordenados por montículos , árboles con k + 1 nodos etiquetados 0, 1, 2, ... k , de modo que la raíz del árbol tiene la etiqueta 0, cada nodo tiene una etiqueta más grande que su padre, y de modo que los hijos de cada nodo tienen un ordenamiento fijo. Un recorrido de Euler por el árbol (con aristas duplicadas) da una permutación de Stirling, y cada permutación de Stirling representa un árbol de esta manera. ^{[1] [15]}
• Árboles binarios sin raíz con ⁠n +5/2⁠ hojas etiquetadas. Cada uno de estos árboles puede formarse a partir de un árbol con una hoja menos, subdividiendo una de las n aristas del árbol y haciendo que el nuevo vértice sea el padre de una nueva hoja.
• Árboles binarios enraizados con ⁠n +3/2⁠ hojas etiquetadas. Este caso es similar al caso sin raíz, pero el número de aristas que se pueden subdividir es par, y además de subdividir una arista es posible agregar un nodo a un árbol con una hoja menos agregando una nueva raíz cuyos dos hijos son el árbol más pequeño y la nueva hoja. ^{[1] [10]}

Callan (2009) y Dale & Moon (1993) enumeran varios objetos adicionales con la misma secuencia de conteo , incluyendo "palabras trapezoidales" ( numerales en un sistema de radix mixto con radix impares crecientes), caminos de Dyck etiquetados por altura , árboles ordenados etiquetados por altura, "caminos de voladizo" y ciertos vectores que describen el descendiente de hoja con el número más bajo de cada nodo en un árbol binario enraizado. Para pruebas biyectivas de que algunos de estos objetos son equinumerosos, véase Rubey (2008) y Marsh & Martin (2011). ^{[16] [17]}

Los factoriales pares dobles dan los números de elementos de los grupos hiperoctaédricos (permutaciones con signo o simetrías de un hipercubo ).

Asintóticos

La aproximación de Stirling para el factorial se puede utilizar para derivar un equivalente asintótico para el factorial doble. En particular, dado que se tiene que tiende a infinito, ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is even}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

Extensiones

Argumentos negativos

El factorial ordinario, cuando se extiende a la función gamma , tiene un polo en cada entero negativo, lo que evita que el factorial se defina en estos números. Sin embargo, el factorial doble de números impares se puede extender a cualquier argumento entero impar negativo invirtiendo su relación de recurrencia para dar Usando esta recurrencia invertida, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1, y (−5)!! =  ⁠ $${\displaystyle n!!=n\times (n-2)!!}$$ $${\displaystyle n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.}$$1/3⁠ ; los números impares negativos con mayor magnitud tienen factoriales dobles fraccionarios. ^[1] En particular, cuando n es un número impar, esto da $${\displaystyle (-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.}$$

Argumentos complejos

Sin tener en cuenta la definición anterior de n !! para valores pares de  n , el factorial doble para números enteros impares se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos z, observando que cuando z es un entero impar positivo entonces ^{[18] [19]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}}$$¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma (z)}$

La expresión final está definida para todos los números complejos excepto los enteros pares negativos y satisface ( z + 2)!! = ( z + 2) · z !! en todos los lugares donde está definida. Al igual que con la función gamma que extiende la función factorial ordinaria, esta función factorial doble es logarítmicamente convexa en el sentido del teorema de Bohr-Mollerup . Asintóticamente, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$

La fórmula generalizada no concuerda con la fórmula del producto anterior para z !! para valores enteros  pares no negativos de z . En cambio, esta fórmula generalizada implica la siguiente alternativa: con el valor de 0!! en este caso siendo ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}$ $${\displaystyle (2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,}$$

• ${\displaystyle 0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots }$(secuencia A076668 en la OEIS ).

Utilizando esta fórmula generalizada como definición, el volumen de una hiperesfera n - dimensional de radio R se puede expresar como ^[20]

$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.}$$

Identidades adicionales

Para valores enteros de n , utilizando en cambio la extensión del factorial doble de números impares a números complejos, la fórmula es $${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.}$$

Los factoriales dobles también se pueden utilizar para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicados. ^{[9] [21]}

Los factoriales dobles de números impares están relacionados con la función gamma por la identidad:

$${\displaystyle (2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.}$$

Algunas identidades adicionales que involucran factoriales dobles de números impares son: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}}$$

Una aproximación para la relación del factorial doble de dos números enteros consecutivos es Esta aproximación se vuelve más precisa a medida que n aumenta, lo que puede verse como resultado de la Integral de Wallis . $${\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.}$$

Generalizaciones

Definiciones

De la misma manera que el factorial doble generaliza la noción del factorial simple , la siguiente definición de las funciones factoriales múltiples de valores enteros (multifactoriales), o funciones α -factoriales, extiende la noción de la función factorial doble para números enteros positivos : ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,;\end{cases}}}$$

Extensión alternativa del modelo multifactorial

Alternativamente, el multifactorial z ! _{( α )} se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos z, observando que cuando z es uno más que un múltiplo positivo del entero positivo α entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}}$$

Esta última expresión se define de forma mucho más amplia que la original. De la misma manera que z ! no está definido para números enteros negativos, y z ‼ no está definido para números enteros pares negativos, z ! _{( α )} no está definido para múltiplos negativos de α . Sin embargo, está definido y satisface ( z + α )! _{( α )} = ( z + α )· z ! _{( α )} para todos los demás números complejos  z . Esta definición es coherente con la definición anterior solo para aquellos números enteros z que satisfacen  z ≡ 1 mod α .

Además de extender z ! _{( α )} a la mayoría de los números complejos  z , esta definición tiene la característica de funcionar para todos los valores reales positivos de  α . Además, cuando α = 1 , esta definición es matemáticamente equivalente a la función Π( z ) , descrita anteriormente. Asimismo, cuando α = 2 , esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa del factorial doble.

Números de Stirling generalizados que expanden las funciones multifactoriales

Una clase de números de Stirling generalizados del primer tipo se define para α > 0 mediante la siguiente relación de recurrencia triangular:

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.}$$

Estos coeficientes α -factoriales generalizados generan entonces los productos polinomiales simbólicos distintos que definen las funciones factoriales múltiples, o α -factoriales, ( x − 1)! _{( α )} , como

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}}$$

Las distintas expansiones polinomiales en las ecuaciones anteriores en realidad definen los productos α -factoriales para múltiples casos distintos de los residuos mínimos x ≡ n ₀ mod α para n ₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1} .

Los polinomios α -factoriales generalizados , σ^{( α )}
_n( x ) donde σ⁽¹⁾
_a( x ) ≡ σ _n ( x ) , que generalizan los polinomios de convolución de Stirling del caso factorial único a los casos multifactoriales, se definen por

$${\displaystyle \sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}}$$

para 0 ≤ n ≤ x . Estos polinomios tienen una función generadora ordinaria de forma cerrada particularmente agradable dada por

$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.}$$

En Schmidt (2010) se consideran otras propiedades combinatorias y expansiones de estos triángulos α -factoriales generalizados y secuencias polinómicas. ^[22]

Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales

Supongamos que n ≥ 1 y α ≥ 2 son valores enteros. Entonces podemos desarrollar las siguientes sumas finitas simples que involucran las funciones multifactoriales, o α -factoriales, ( αn − 1)! _{( α )} , en términos del símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales generalizados de valor racional como

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}}$$

y además, de manera similar tenemos expansiones de doble suma de estas funciones dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}}$$

Las dos primeras sumas anteriores son similares en forma a una identidad combinatoria no redonda conocida para la función factorial doble cuando α  := 2 dada por Callan (2009).

$${\displaystyle (2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.}$$

Se pueden obtener identidades similares mediante gramáticas libres de contexto. ^{[23] Schmidt (2018)} proporciona expansiones de suma finita adicionales de congruencias para las funciones α -factoriales, ( αn − d )! _{( α )} , módulo cualquier entero prescrito h ≥ 2 para cualquier 0 ≤ d < α . ^[24]

Referencias

1. Callan, David (2009). "Un estudio combinatorio de identidades para el factorial doble". arXiv : 0906.1317 [math.CO].
2. Algunos autores definen el factorial doble de forma diferente para números pares; ver Factorial doble § argumentos complejos más abajo.
3. Weisstein, Eric W. "Double Factorial". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de septiembre de 2020 .
4. "Factoriales dobles y multifactoriales | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 10 de septiembre de 2020 .
5. Henderson, Daniel J.; Parmeter, Christopher F. (2012). "Núcleos canónicos de orden superior para la estimación de la derivada de densidad". Statistics & Probability Letters . 82 (7): 1383–1387. doi :10.1016/j.spl.2012.03.013. MR  2929790.
6. Nielsen, B. (1999). "La prueba de razón de verosimilitud para el rango en el análisis de correlación canónica bivariada". Biometrika . 86 (2): 279–288. doi :10.1093/biomet/86.2.279. MR  1705359.
7. Knuth, Donald Ervin (2023). El arte de la programación informática. Volumen 4B, parte 2: Algoritmos combinatorios . Boston, Múnich: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-03806-4.
8. Schuster, Arthur (1902). "Sobre algunas integrales definidas y un nuevo método para reducir una función de coordenadas esféricas a una serie de armónicos esféricos". Actas de la Royal Society de Londres . 71 (467–476): 97–101. doi : 10.1098/rspl.1902.0068 . JSTOR  116355.Véase en particular la pág. 99.
9. Meserve, BE (1948). "Notas de clase: Factoriales dobles". The American Mathematical Monthly . 55 (7): 425–426. doi :10.2307/2306136. JSTOR  2306136. MR  1527019.
10. Dale, MRT; Moon, JW (1993). "Los análogos permutados de tres conjuntos Catalans". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 34 (1): 75–87. doi :10.1016/0378-3758(93)90035-5. MR  1209991.
11. Gould, Henry; Quaintance, Jocelyn (2012). "Doble diversión con factoriales dobles". Revista de Matemáticas . 85 (3): 177–192. doi :10.4169/math.mag.85.3.177. MR  2924154. S2CID  117120280.
12. Kitaev, Sergey (2011). Patrones en permutaciones y palabras. Monografías EATCS sobre informática teórica. Springer. pág. 96. ISBN 9783642173332.
13. Dale, MRT; Narayana, TV (1986). "Una partición de secuencias permutadas catalanas con aplicaciones". Revista de planificación estadística e inferencia . 14 (2): 245–249. doi :10.1016/0378-3758(86)90161-8. MR  0852528.
14. Tichy, Robert F.; Wagner, Stephan (2005). "Problemas extremos para índices topológicos en química combinatoria" (PDF) . Revista de biología computacional . 12 (7): 1004–1013. doi :10.1089/cmb.2005.12.1004. PMID  16201918.
15. Janson, Svante (2008). "Árboles recursivos planos, permutaciones de Stirling y un modelo de urna". Quinto Coloquio sobre Matemáticas y Ciencias de la Computación . Matemática discreta. Teoría. Ciencias de la Computación. Proc., AI. Assoc. Matemática discreta. Teoría. Ciencias de la Computación., Nancy. págs. 541–547. arXiv : 0803.1129 . Código Bibliográfico :2008arXiv0803.1129J. MR  2508813.
16. Rubey, Martin (2008). "Anidamientos de emparejamientos y permutaciones y pasos norte en PDSAWs". 20.ª Conferencia internacional anual sobre series de potencias formales y combinatoria algebraica (FPSAC 2008) . Matemática discreta. Teoría de la computación. Proc., AJ. Assoc. Matemática discreta. Teoría de la computación. Ciencias, Nancy. págs. 691–704. MR  2721495.
17. Marsh, Robert J.; Martin, Paul (2011). "Biyecciones en mosaico entre caminos y diagramas de Brauer". Revista de Combinatoria Algebraica . 33 (3): 427–453. arXiv : 0906.0912 . doi :10.1007/s10801-010-0252-6. MR  2772541. S2CID  7264692.
18. Hassani, Sadri (2000). Métodos matemáticos: para estudiantes de física y campos relacionados. Textos de pregrado en matemáticas . Springer. pág. 266. ISBN. 9780387989587.
19. "Factorial doble: valores específicos (fórmula 06.02.03.0005)". Wolfram Research. 2001-10-29 . Consultado el 2013-03-23 .
20. Mezey, Paul G. (2009). "Algunos problemas de dimensión en bases de datos moleculares". Journal of Mathematical Chemistry . 45 (1): 1–6. doi :10.1007/s10910-008-9365-8. S2CID  120103389.
21. Dassios, George ; Kiriaki, Kiriakie (1987). "Una aplicación útil del teorema de Gauss". Boletín de la Société Mathématique de Grèce . 28 (A): 40–43. SEÑOR  0935868.
22. Schmidt, Maxie D. (2010). "Funciones j-factoriales generalizadas, polinomios y aplicaciones". J. Integer Seq . 13 .
23. Triana, Juan; De Castro, Rodrigo (2019). "El operador derivado formal y los números multifactoriales". Revista Colombiana de Matemáticas . 53 (2): 125-137. doi : 10.15446/recolma.v53n2.85522 . ISSN  0034-7426.
24. Schmidt, Maxie D. (2018). "Nuevas congruencias y ecuaciones en diferencias finitas para funciones factoriales generalizadas" (PDF) . Enteros . 18 : A78:1–A78:34. arXiv : 1701.04741 . MR  3862591.