Posición (geometría)

Vector que representa la posición de un punto con respecto a un origen fijo.

El vector de radio representa la posición de un punto con respecto al origen O. En el sistema de coordenadas cartesiano ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)}$ ${\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}.}$

En geometría , un vector de posición o posición , también conocido como vector de ubicación o vector de radio , es un vector euclidiano que representa un punto P en el espacio . Su longitud representa la distancia con respecto a un origen de referencia arbitrario O , y su dirección representa la orientación angular con respecto a ejes de referencia dados. Generalmente denotado x , r o s , corresponde al segmento de línea recta de O a P. En otras palabras, es el desplazamiento o traslación lo que asigna el origen a P : ^[1]

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.}$

El término vector de posición se utiliza principalmente en los campos de la geometría diferencial , la mecánica y ocasionalmente el cálculo vectorial . Con frecuencia esto se utiliza en espacios bidimensionales o tridimensionales , pero se puede generalizar fácilmente a espacios euclidianos y espacios afines de cualquier dimensión . ^[2]

Posición relativa

La posición relativa de un punto Q con respecto al punto P es el vector euclidiano resultante de la resta de los dos vectores de posición absoluta (cada uno con respecto al origen):

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},}$

dónde . ${\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}$

La dirección relativa entre dos puntos es su posición relativa normalizada como un vector unitario :

${\displaystyle \Delta \mathbf {\hat {r}} =\Delta \mathbf {r} /\|\Delta \mathbf {r} \|,}$

donde el denominador es la distancia entre los dos puntos, . Una dirección relativa es un vector ligado , a diferencia de una dirección ordinaria , que es un vector libre . ${\displaystyle \|\Delta \mathbf {r} \|}$

Definición y representación

Tres dimensiones

Curva espacial en 3D. El vector de posición r está parametrizado por un escalar t . En r = a la línea roja es la tangente a la curva y el plano azul es normal a la curva.

En tres dimensiones , se puede utilizar cualquier conjunto de coordenadas tridimensionales y sus correspondientes vectores base para definir la ubicación de un punto en el espacio; se puede utilizar el que sea más sencillo para la tarea en cuestión.

Comúnmente se utiliza el conocido sistema de coordenadas cartesianas , o a veces coordenadas polares esféricas , o coordenadas cilíndricas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

donde t es un parámetro , debido a su simetría rectangular o circular. Estas diferentes coordenadas y los correspondientes vectores base representan el mismo vector de posición. En su lugar, se podrían utilizar coordenadas curvilíneas más generales , que se encuentran en contextos como la mecánica continua y la relatividad general (en el último caso se necesita una coordenada de tiempo adicional).

n dimensiones

El álgebra lineal permite la abstracción de un vector de posición n -dimensional. Un vector de posición se puede expresar como una combinación lineal de vectores base : ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

El conjunto de todos los vectores de posición forma el espacio de posiciones (un espacio vectorial cuyos elementos son los vectores de posición), ya que las posiciones se pueden sumar ( suma de vectores ) y escalar en longitud ( multiplicación escalar ) para obtener otro vector de posición en el espacio. La noción de "espacio" es intuitiva, ya que cada x _i ( i = 1, 2,…, n ) puede tener cualquier valor, la colección de valores define un punto en el espacio.

La dimensión del espacio de posición es n (también denominada tenue ( R ) = n ). Las coordenadas del vector r con respecto a los vectores base e _i son x _i . El vector de coordenadas forma el vector de coordenadas o n - tupla ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ).

A cada coordenada xi se _le pueden parametrizar varios parámetros t . Un parámetro x _i ( t ) describiría una trayectoria curva 1D, dos parámetros x _i ( t ₁ , t ₂ ) describen una superficie curva 2D, tres x _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) describen un volumen curvo 3D de espacio, etcétera.

El tramo lineal de un conjunto de bases B = { e ₁ , e ₂ ,…, e _n } es igual al espacio de posición R , denotado span( B ) = R.

Aplicaciones

Geometría diferencial

Los campos de vectores de posición se utilizan para describir curvas espaciales continuas y diferenciables, en cuyo caso el parámetro independiente no necesita ser el tiempo, sino que puede ser (por ejemplo) la longitud del arco de la curva.

Mecánica

En cualquier ecuación de movimiento , el vector de posición r ( t ) suele ser la cantidad más buscada porque esta función define el movimiento de una partícula (es decir, una masa puntual ), su ubicación relativa a un sistema de coordenadas dado en algún momento t .

Para definir el movimiento en términos de posición, cada coordenada puede parametrizarse por tiempo; Dado que cada valor sucesivo de tiempo corresponde a una secuencia de ubicaciones espaciales sucesivas dadas por las coordenadas, el límite continuo de muchas ubicaciones sucesivas es una trayectoria que sigue la partícula.

En el caso de una dimensión, la posición tiene solo un componente, por lo que efectivamente degenera en una coordenada escalar. Podría ser, digamos, un vector en la dirección x o en la dirección radial r . Las notaciones equivalentes incluyen

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$

Derivados

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa  m , posición  r , velocidad  v , aceleración  a

Para un vector de posición r que es función del tiempo t , las derivadas del tiempo se pueden calcular con respecto a t . Estos derivados tienen utilidad común en el estudio de la cinemática , la teoría del control , la ingeniería y otras ciencias.

Velocidad

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},}$

donde d r es un desplazamiento (vector) infinitamente pequeño .

Aceleración

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

Idiota

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.}$

Estos nombres para la primera, segunda y tercera derivada de posición se usan comúnmente en cinemática básica. ^[5] Por extensión, las derivadas de orden superior se pueden calcular de manera similar. El estudio de estas derivadas de orden superior puede mejorar las aproximaciones de la función de desplazamiento original. Estos términos de orden superior son necesarios para representar con precisión la función de desplazamiento como una suma de una secuencia infinita , lo que permite varias técnicas analíticas en ingeniería y física.

Ver también

• Espacio afín
• Sistema coordinado
• Posicion horizontal
• Elemento de línea
• Superficie paramétrica
• Fijación de posición
• Seis grados de libertad
• Posición vertical

Notas

1. El término desplazamiento se utiliza principalmente en mecánica, mientras que la traducción se utiliza en geometría.
2. Keller, FJ, Gettys, WE y col. (1993), pág. 28–29.
3. Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
4. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
5. Stewart, James (2001). "§2.8. La derivada como función". Cálculo (2ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

Referencias

• Keller, FJ, Gettys, WE et al. (1993). “Física: Clásica y moderna” 2ª ed. Editorial McGraw Hill.

enlaces externos

• Medios relacionados con la posición (geometría) en Wikimedia Commons