En geometría hiperbólica , un mosaico hiperbólico uniforme (o mosaico hiperbólico regular, cuasiregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico que tiene polígonos regulares como caras y es transitivo por vértices ( transitivo en sus vértices , isogonal, es decir hay una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y que el mosaico tiene un alto grado de simetría rotacional y traslacional .
Los mosaicos uniformes se pueden identificar por su configuración de vértice , una secuencia de números que representa el número de lados de los polígonos alrededor de cada vértice. Por ejemplo, 7.7.7 representa el mosaico heptagonal que tiene 3 heptágonos alrededor de cada vértice. También es regular ya que todos los polígonos tienen el mismo tamaño, por lo que también se le puede dar el símbolo de Schläfli {7,3}.
Los mosaicos uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos por caras y aristas), cuasi-regulares (si son transitivos por aristas pero no transitivos por caras) o semirregulares (si no son transitivos por aristas ni por caras). Para triángulos rectángulos ( p q 2 ), hay dos mosaicos regulares, representados por el símbolo de Schläfli { p , q } y { q , p }.
Hay un número infinito de mosaicos uniformes basados en los triángulos de Schwarz ( p q r ) donde1/pag + 1/q + 1/r < 1, donde p , q , r son cada uno de los órdenes de simetría de reflexión en tres puntos del triángulo de dominio fundamental ; el grupo de simetría es un grupo de triángulos hiperbólicos .
Cada familia de simetría contiene 7 mosaicos uniformes, definidos por un símbolo de Wythoff o diagrama de Coxeter-Dynkin , 7 que representan combinaciones de 3 espejos activos. Un octavo representa una operación de alternancia , eliminando vértices alternos de la forma más alta con todos los espejos activos.
Las familias con r = 2 contienen mosaicos hiperbólicos regulares , definidos por un grupo de Coxeter como [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....
Las familias hiperbólicas con r = 3 o superior están dadas por ( p q r ) e incluyen (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4)....
Los triángulos hiperbólicos ( p q r ) definen mosaicos hiperbólicos uniformes compactos. En el límite, cualquiera de p , q o r puede reemplazarse por ∞, que define un triángulo hiperbólico paracompacto y crea mosaicos uniformes con caras infinitas (llamadas apeirogons ) que convergen en un único punto ideal, o una figura de vértice infinita con infinitas aristas divergentes. desde el mismo punto ideal.
Se pueden construir más familias de simetría a partir de dominios fundamentales que no sean triángulos.
A continuación se muestran familias seleccionadas de mosaicos uniformes (utilizando el modelo de disco de Poincaré para el plano hiperbólico). Tres de ellos (7 3 2), (5 4 2) y (4 3 3) – y ningún otro, son mínimos en el sentido de que si cualquiera de los números que los definen se reemplaza por un número entero más pequeño, el patrón resultante es: Euclidiana o esférica en lugar de hiperbólica; por el contrario, cualquiera de los números se puede aumentar (incluso hasta el infinito) para generar otros patrones hiperbólicos.
Cada mosaico uniforme genera un mosaico uniforme dual , y muchos de ellos también se detallan a continuación.
Hay infinitas familias de grupos de triángulos ( p q 2) . Este artículo muestra el mosaico regular hasta p , q = 8 y mosaicos uniformes en 12 familias: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2) , (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) y (8 8 2).
El conjunto más simple de mosaicos hiperbólicos son los mosaicos regulares { p , q }, que existen en una matriz con los poliedros regulares y los mosaicos euclidianos. El mosaico regular { p , q } tiene un mosaico dual { q , p } a lo largo del eje diagonal de la tabla. Los mosaicos autoduales {2,2}, {3,3} , {4,4} , {5,5} , etc. pasan por la diagonal de la mesa.
El grupo de triángulos (7 3 2) , grupo de Coxeter [7,3], orbifold (*732) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (8 3 2) , grupo de Coxeter [8,3], orbifold (*832) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (5 4 2) , grupo de Coxeter [5,4], orbifold (*542) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (6 4 2) , grupo de Coxeter [6,4], orbifold (*642) contiene estos mosaicos uniformes. Debido a que todos los elementos son pares, cada mosaico dual uniforme representa el dominio fundamental de una simetría reflectante: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 y *642 respectivamente. Además, los 7 mosaicos uniformes se pueden alternar y estos también tienen duales.
El grupo de triángulos (7 4 2) , grupo de Coxeter [7,4], orbifold (*742) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (8 4 2) , el grupo de Coxeter [8,4], orbifold (*842) contiene estos mosaicos uniformes. Debido a que todos los elementos son pares, cada mosaico dual uniforme representa el dominio fundamental de una simetría reflectante: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 y *842 respectivamente. Además, los 7 mosaicos uniformes se pueden alternar y estos también tienen duales.
El grupo de triángulos (5 5 2) , grupo de Coxeter [5,5], orbifold (*552) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (6 5 2) , grupo de Coxeter [6,5], orbifold (*652) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (6 6 2) , grupo de Coxeter [6,6], orbifold (*662) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (8 6 2) , grupo de Coxeter [8,6], orbifold (*862) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (7 7 2) , grupo de Coxeter [7,7], orbifold (*772) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos (8 8 2) , grupo de Coxeter [8,8], orbifold (*882) contiene estos mosaicos uniformes:
Hay infinitas familias generales de grupos de triángulos ( p q r ). Este artículo muestra mosaicos uniformes en 9 familias: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3) , (6 4 3) y (6 4 4).
El grupo de triángulos (4 3 3) , el grupo de Coxeter [(4,3,3)], orbifold (*433) contiene estos mosaicos uniformes. Sin ángulos rectos en el triángulo fundamental, las construcciones de Wythoff son ligeramente diferentes. Por ejemplo, en la familia de triángulos (4,3,3) , la forma chata tiene seis polígonos alrededor de un vértice y su dual tiene hexágonos en lugar de pentágonos. En general, la figura del vértice de un mosaico chato en un triángulo ( p , q , r ) es p. 3.q.3.r.3, siendo en este caso 4.3.3.3.3.3 a continuación.
El grupo de triángulos (4 4 3) , el grupo de Coxeter [(4,4,3)], orbifold (*443) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (4 4 4) , el grupo de Coxeter [(4,4,4)], orbifold (*444) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (5 3 3) , el grupo de Coxeter [(5,3,3)], orbifold (*533) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (5 4 3) , el grupo de Coxeter [(5,4,3)], orbifold (*543) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (5 4 4) , el grupo de Coxeter [(5,4,4)], orbifold (*544) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (6 3 3) , el grupo de Coxeter [(6,3,3)], orbifold (*633) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (6 4 3) , el grupo de Coxeter [(6,4,3)], orbifold (*643) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos (6 4 4) , el grupo de Coxeter [(6,4,4)], orbifold (*644) contiene estos mosaicos uniformes.
Para una tabla de todos los mosaicos hiperbólicos uniformes con dominios fundamentales ( p q r ), donde 2 ≤ p , q , r ≤ 8.
Los dominios fundamentales cuadriláteros también existen en el plano hiperbólico, con el orbifold *3222 ([∞,3,∞] notación de Coxeter) como la familia más pequeña. Hay nueve ubicaciones de generación para mosaicos uniformes dentro de dominios cuadriláteros. La figura del vértice se puede extraer de un dominio fundamental en 3 casos (1) Esquina (2) Borde medio y (3) Centro. Cuando los puntos generadores son esquinas adyacentes a esquinas de orden 2, existen caras de digon {2} degeneradas en esas esquinas, pero se pueden ignorar. También se pueden generar mosaicos uniformes chatos y alternos (no se muestran) si una figura de vértice contiene solo caras de lados pares.
Los diagramas de Coxeter de dominios cuadriláteros se tratan como un gráfico tetraédrico degenerado con 2 de 6 aristas etiquetadas como infinito o como líneas de puntos. Un requisito lógico de que al menos uno de los dos espejos paralelos esté activo limita los casos uniformes a 9, y otros patrones anillados no son válidos.
Hay infinitas familias de grupos de triángulos que incluyen infinitos órdenes. Este artículo muestra mosaicos uniformes en 9 familias: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3) , (∞ ∞ 4) y (∞ ∞ ∞).
El grupo de triángulos ideal (∞ 3 2) , grupo de Coxeter [∞,3], orbifold (*∞32) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 2) , grupo de Coxeter [∞,4], orbifold (*∞42) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 5 2) , grupo de Coxeter [∞,5], orbifold (*∞52) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 2) , grupo de Coxeter [∞,∞], orbifold (*∞∞2) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 3 3) , grupo de Coxeter [(∞,3,3)], orbifold (*∞33) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 3) , grupo de Coxeter [(∞,4,3)], orbifold (*∞43) contiene estos mosaicos uniformes:
El grupo de triángulos ideal (∞ 4 4) , grupo de Coxeter [(∞,4,4)], orbifold (*∞44) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 3) , el grupo de Coxeter [(∞,∞,3)], orbifold (*∞∞3) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ 4) , el grupo de Coxeter [(∞,∞,4)], orbifold (*∞∞4) contiene estos mosaicos uniformes.
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ ∞) , el grupo de Coxeter [(∞,∞,∞)], orbifold (*∞∞∞) contiene estos mosaicos uniformes.
Para una tabla de todos los mosaicos hiperbólicos uniformes con dominios fundamentales ( p q r ), donde 2 ≤ p , q , r ≤ 8, y uno o más como ∞.