Estado coherente comprimido

Tipo de estado cuántico

En física , un estado coherente comprimido es un estado cuántico que se describe habitualmente mediante dos observables no conmutativos que tienen espectros continuos de valores propios . Algunos ejemplos son la posición y el momento de una partícula, y el campo eléctrico (sin dimensión) en la amplitud (fase 0) y en el modo (fase 90°) de una onda de luz (las cuadraturas de la onda ). El producto de las desviaciones estándar de dos de estos operadores obedece al principio de incertidumbre : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;}$ y , respectivamente. ${\displaystyle \;\Delta X\Delta Y\geq {\frac {1}{4}}}$

Distribución del espacio de fases de Wigner de un estado de luz comprimido con ζ=0,5.

Ejemplos triviales, que de hecho no están comprimidos, son el estado fundamental del oscilador armónico cuántico y la familia de estados coherentes . Estos estados saturan la incertidumbre anterior y tienen una distribución simétrica de las incertidumbres del operador con en "unidades de oscilador natural" y . ^{[nota 1]} ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \Delta x_{g}=\Delta p_{g}}$ ${\displaystyle \Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2}$

El término estado comprimido se utiliza en realidad para estados con una desviación estándar inferior a la del estado fundamental para uno de los operadores o para una combinación lineal de los dos. La idea detrás de esto es que el círculo que denota la incertidumbre de un estado coherente en el espacio de fase en cuadratura (ver a la derecha) se ha "comprimido" hasta formar una elipse de la misma área. ^{[1] [2] [3]} Nótese que un estado comprimido no necesita saturar el principio de incertidumbre.

Los estados comprimidos de luz se produjeron por primera vez a mediados de la década de 1980. ^{[4] [5]} En ese momento, se logró comprimir el ruido cuántico hasta un factor de aproximadamente 2 (3 dB) en varianza, es decir , . A partir de 2017, se han observado directamente factores de compresión mayores a 10 (10 dB). ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2}$

Definición matemática

Función de onda de posición animada de un estado coherente comprimido en amplitud de 2dB de α=3.

La función de onda más general que satisface la identidad anterior es el estado coherente comprimido (trabajamos en unidades con ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)}$

donde son constantes (una constante de normalización, el centro del paquete de ondas , su ancho y el valor esperado de su momento ). La nueva característica relativa a un estado coherente es el valor libre del ancho , que es la razón por la que el estado se llama "comprimido". ${\displaystyle C,x_{0},w_{0},p_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$

El estado comprimido anterior es un estado propio de un operador lineal

${\displaystyle {\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2}}$

y el valor propio correspondiente es igual a . En este sentido, es una generalización del estado fundamental así como del estado coherente. ${\displaystyle x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}}$

Representación del operador

La forma general de un estado coherente comprimido para un oscilador armónico cuántico está dada por

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }$

donde es el estado de vacío , es el operador de desplazamiento y es el operador de compresión , dado por ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle S(\zeta )}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}}$

donde y son operadores de aniquilación y creación, respectivamente. Para un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular , estos operadores están dados por ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)}$

Para un real , (nótese que , ^[9] donde r es el parámetro de compresión), ^{[ aclaración necesaria ]} la incertidumbre en y están dadas por ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =re^{2i\phi }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad (\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }}$

Por lo tanto, un estado coherente comprimido satura el principio de incertidumbre de Heisenberg , con una incertidumbre reducida en uno de sus componentes de cuadratura y una incertidumbre aumentada en el otro. ${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$

Algunos valores esperados para estados coherentes comprimidos son

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha \cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}\cosh ^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }\sinh ^{2}(r)-(1+2{|\alpha |}^{2})e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}\cosh ^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})\sinh ^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })\cosh(r)\sinh(r)}$

La forma general de un estado comprimido desplazado para un oscilador armónico cuántico está dada por

${\displaystyle |\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }$

Algunos valores esperados para el estado comprimido desplazado son

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+\sinh ^{2}(r)}$

Dado que y no viajan entre sí, ${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}$ ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$

${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )}$

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle }$

donde , con ^[10] ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$

Ejemplos

Dependiendo del ángulo de fase en el que se reduce el ancho del estado, se pueden distinguir estados comprimidos en amplitud, comprimidos en fase y comprimidos en cuadratura general. Si el operador de compresión se aplica directamente al vacío, en lugar de a un estado coherente, el resultado se llama vacío comprimido. Las figuras siguientes ^{[ aclaración necesaria ]} dan una buena demostración visual de la estrecha conexión entre los estados comprimidos y la relación de incertidumbre de Heisenberg : La disminución del ruido cuántico en una cuadratura (fase) específica de la onda tiene como consecuencia directa un aumento del ruido de la cuadratura complementaria , es decir, el campo en la fase desplazada por ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle \tau /4}$

Los diferentes estados comprimidos de la luz láser en el vacío dependen de la fase del campo de luz. ^[11] Imágenes desde arriba: (1) Estado de vacío, (2) Estado de vacío comprimido, (3) Estado comprimido por fase (4) Estado comprimido arbitrario (5) Estado comprimido por amplitud

Como se puede ver en las ilustraciones, en contraste con un estado coherente , el ruido cuántico para un estado comprimido ya no es independiente de la fase de la onda de luz . Se puede observar un ensanchamiento y estrechamiento característico del ruido durante un período de oscilación. La distribución de probabilidad de un estado comprimido se define como la norma al cuadrado de la función de onda mencionada en el último párrafo. Corresponde al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico (y magnético) de una onda de luz clásica. Los paquetes de ondas en movimiento muestran un movimiento oscilatorio combinado con el ensanchamiento y estrechamiento de su distribución: la "respiración" del paquete de ondas. Para un estado comprimido en amplitud, la distribución más estrecha del paquete de ondas se alcanza en el máximo del campo, lo que resulta en una amplitud que se define con mayor precisión que la de un estado coherente. Para un estado comprimido en fase, la distribución más estrecha se alcanza en el campo cero, lo que resulta en un valor de fase promedio que está mejor definido que el de un estado coherente.

En el espacio de fases, las incertidumbres mecánicas cuánticas se pueden representar mediante la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner . La intensidad de la onda de luz, su excitación coherente, está dada por el desplazamiento de la distribución de Wigner desde el origen. Un cambio en la fase de la cuadratura comprimida da como resultado una rotación de la distribución.

Distribuciones de número de fotones y distribuciones de fase

El ángulo de compresión, es decir la fase con mínimo ruido cuántico, tiene una gran influencia en la distribución del número de fotones de la onda de luz y también en su distribución de fase .

En el caso de la luz comprimida en amplitud, la distribución del número de fotones suele ser más estrecha que la de un estado coherente de la misma amplitud, lo que da como resultado una luz subpoissoniana , mientras que su distribución de fase es más amplia. Lo opuesto es cierto para la luz comprimida en fase, que muestra un gran ruido de intensidad (número de fotones) pero una distribución de fase estrecha. Sin embargo, las estadísticas de la luz comprimida en amplitud no se observaron directamente con un detector de resolución de número de fotones debido a la dificultad experimental. ^[13]

Distribuciones reconstruidas y teóricas del número de fotones para un estado de vacío comprimido. Un estado de vacío comprimido puro no tendría ninguna contribución de los estados de número de fotones impar. La contribución distinta de cero en la figura anterior se debe a que el estado detectado no es un estado puro: las pérdidas en la configuración convierten el vacío comprimido puro en un estado mixto. ^[12] (fuente: enlace 1)

En el estado de vacío comprimido, la distribución del número de fotones muestra oscilaciones pares e impares. Esto se puede explicar por la forma matemática del operador de compresión , que se asemeja al operador para los procesos de generación y aniquilación de dos fotones . Es más probable que los fotones en un estado de vacío comprimido aparezcan en pares.

Clasificación

Basado en el número de modos

Los estados comprimidos de luz se clasifican en general en estados comprimidos monomodo y estados comprimidos bimodo ^[14] , dependiendo del número de modos del campo electromagnético involucrado en el proceso. Estudios recientes han analizado estados comprimidos multimodo que también muestran correlaciones cuánticas entre más de dos modos.

Estados comprimidos monomodo

Los estados monomodo comprimidos, como sugiere el nombre, consisten en un solo modo del campo electromagnético cuya cuadratura tiene fluctuaciones por debajo del nivel de ruido de disparo ^{[ aclaración necesaria ]} y la cuadratura ortogonal tiene exceso de ruido. Específicamente, un estado monomodo de vacío comprimido (SMSV) se puede representar matemáticamente como,

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle =S(\zeta )|0\rangle }$

donde el operador de compresión S es el mismo que el introducido en la sección sobre representaciones de operadores anterior. En la base numérica de fotones, escribir esto se puede expandir como, ${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cosh r}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}{\frac {\sqrt {(2n)!}}{2^{n}n!}}|2n\rangle }$

lo que muestra explícitamente que el SMSV puro consiste enteramente en superposiciones de estados de Fock de fotones pares . Los estados comprimidos de modo único se generan típicamente mediante oscilación paramétrica degenerada en un oscilador paramétrico óptico, ^[15] o utilizando una mezcla de cuatro ondas. ^[4]

Estados comprimidos de dos modos

La compresión de dos modos implica dos modos del campo electromagnético que exhiben una reducción de ruido cuántico por debajo del nivel de ruido de disparo ^{[ aclaración necesaria ]} en una combinación lineal de las cuadraturas de los dos campos. Por ejemplo, el campo producido por un oscilador paramétrico no degenerado por encima del umbral muestra compresión en la cuadratura de diferencia de amplitud. La primera demostración experimental de compresión de dos modos en óptica fue realizada por Heidmann et al. [ ^16] Más recientemente, la compresión de dos modos se generó en chip utilizando un OPO de mezcla de cuatro ondas por encima del umbral. ^[17] La ​​compresión de dos modos se considera a menudo como un precursor del entrelazamiento de variable continua y, por lo tanto, una demostración de la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en su formulación original en términos de observables continuos de posición y momento. ^{[18] [19]} Un estado de vacío comprimido de dos modos (TMSV) se puede representar matemáticamente como,

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle =S_{2}(\zeta )|0,0\rangle =\exp(\zeta ^{*}{\hat {a}}{\hat {b}}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger })|0,0\rangle }$,

y, escribiendo , en la base del número de fotones como, ^[20] ${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle ={\frac {1}{\cosh r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}|nn\rangle }$

Si se consideran por separado los modos individuales de un TMSV (es decir, ), entonces el trazado o la absorción de uno de los modos deja al modo restante en un estado térmico. ${\displaystyle |nn\rangle =|n\rangle _{1}|n\rangle _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=\mathrm {Tr} _{2}[|\mathrm {TMSV} \rangle \langle \mathrm {TMSV} |]\\&={\frac {1}{\cosh ^{2}(r)}}\sum _{n=0}^{\infty }\tanh ^{2n}(r)|n\rangle \langle n|,\end{aligned}}}$

con un número medio efectivo de fotones . ${\displaystyle {\widetilde {n}}=\sinh ^{2}(r)}$

Basado en la presencia de un campo medio

Los estados comprimidos de luz se pueden dividir en vacío comprimido y luz brillante comprimida, dependiendo de la ausencia o presencia de un campo medio distinto de cero (también llamado portador), respectivamente. Un oscilador paramétrico óptico operado por debajo del umbral produce vacío comprimido, mientras que el mismo OPO operado por encima del umbral produce luz brillante comprimida. La luz brillante comprimida puede ser ventajosa para ciertas aplicaciones de procesamiento de información cuántica, ya que obvia la necesidad de enviar un oscilador local para proporcionar una referencia de fase, mientras que el vacío comprimido se considera más adecuado para aplicaciones de detección mejorada cuántica. Los detectores de ondas gravitacionales AdLIGO y GEO600 utilizan vacío comprimido para lograr una sensibilidad mejorada más allá del límite cuántico estándar. ^{[21] [22]}

Compresión del espín atómico

Para comprimir conjuntos de átomos neutros de dos niveles es útil considerar los átomos como partículas de espín 1/2 con operadores de momento angular correspondientes definidos como

${\displaystyle J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}}$

donde y es el operador de espín único en la dirección -. Aquí corresponderá a la diferencia de población en el sistema de dos niveles, es decir, para una superposición igual del estado arriba y abajo . El plano − representa la diferencia de fase entre los dos estados. Esto también se conoce como la imagen de la esfera de Bloch . Podemos definir entonces relaciones de incertidumbre como . Para un estado coherente (no entrelazado), . La compresión se considera aquí la redistribución de la incertidumbre de una variable (normalmente ) a otra (normalmente ). Si consideramos un estado que apunta en la dirección , podemos definir el criterio de Wineland ^[23] para la compresión, o la mejora metrológica del estado comprimido como ${\displaystyle v={x,y,z}}$ ${\displaystyle j_{v}^{(i)}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}=0}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2}$ ${\displaystyle \Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}}$

${\displaystyle \chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}}$.

Este criterio tiene dos factores: el primero es la reducción del ruido de espín, es decir, cuánto se reduce el ruido cuántico en relación con el estado coherente (no entrelazado). El segundo factor es cuánto se reduce la coherencia (la longitud del vector de Bloch, ) debido al procedimiento de compresión. En conjunto, estas cantidades indican cuánta mejora metrológica proporciona el procedimiento de compresión. Aquí, la mejora metrológica es la reducción en el tiempo de promediado o el número de átomos necesarios para realizar una medición de una incertidumbre específica. 20 dB de mejora metrológica significa que se puede realizar la misma medición de precisión con 100 veces menos átomos o un tiempo de promediado 100 veces más corto. ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \left|J_{x}\right|}$

Realizaciones experimentales

Se han realizado muchas demostraciones exitosas de estados comprimidos. Las primeras fueron experimentos con campos de luz utilizando láseres y óptica no lineal (ver oscilador paramétrico óptico ). Esto se logra mediante un proceso simple de mezcla de cuatro ondas con un cristal; de manera similar, los amplificadores sensibles a la fase de ondas viajeras generan estados de luz comprimidos en cuadratura y multimodo espacial cuando se bombea el cristal en ausencia de cualquier señal. Las fuentes de corriente subpoissonianas que impulsan diodos láser semiconductores han llevado a luz comprimida en amplitud. ^[24] ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

Los estados comprimidos también se han realizado a través de estados de movimiento de un ion en una trampa, estados de fonón en redes cristalinas y estados de espín en conjuntos de átomos neutros . ^{[25] [26]} Se ha avanzado mucho en la creación y observación de estados comprimidos de espín en conjuntos de átomos neutros e iones, que se pueden utilizar para mejorar las mediciones de tiempo, aceleraciones, campos y el estado actual de la técnica para la mejora de la medición ^{[ aclaración necesaria ]} es de 20 dB. ^{[27] [28] [29] [30]} La generación de estados comprimidos de espín se ha demostrado utilizando tanto la evolución coherente de un estado de espín coherente como mediciones proyectivas que preservan la coherencia. Incluso los osciladores macroscópicos se llevaron a estados de movimiento clásicos que eran muy similares a los estados coherentes comprimidos. El estado actual de la técnica en supresión de ruido, para radiación láser mediante luz comprimida, asciende a 15 dB (a partir de 2016), ^{[31] [7]} lo que rompió el récord anterior de 12,7 dB (2010). ^[32]

Aplicaciones

Los estados comprimidos del campo de luz se pueden utilizar para mejorar las mediciones de precisión. Por ejemplo, la luz comprimida en fase puede mejorar la lectura de fase de las mediciones interferométricas (ver, por ejemplo, las ondas gravitacionales ). La luz comprimida en amplitud puede mejorar la lectura de señales espectroscópicas muy débiles . ^[33]

Los estados comprimidos de espín de los átomos se pueden utilizar para mejorar la precisión de los relojes atómicos . ^{[34] [35]} Este es un problema importante en los relojes atómicos y otros sensores que utilizan pequeños conjuntos de átomos fríos donde el ruido de proyección cuántica representa una limitación fundamental para la precisión del sensor. ^[36]

Varios estados coherentes comprimidos, generalizados al caso de muchos grados de libertad , se utilizan en varios cálculos en la teoría cuántica de campos , por ejemplo, el efecto Unruh y la radiación de Hawking , y en general, la producción de partículas en fondos curvos y las transformaciones de Bogoliubov .

Recientemente, el uso de estados comprimidos para el procesamiento de información cuántica en el régimen de variables continuas (CV) ha aumentado rápidamente. ^[37] La ​​óptica cuántica de variables continuas utiliza la compresión de la luz como un recurso esencial para realizar protocolos CV para la comunicación cuántica, la teletransportación cuántica incondicional y la computación cuántica unidireccional. ^{[38] [39]} Esto contrasta con el procesamiento de información cuántica con fotones individuales o pares de fotones como qubits. El procesamiento de información cuántica CV depende en gran medida del hecho de que la compresión está íntimamente relacionada con el entrelazamiento cuántico, ya que las cuadraturas de un estado comprimido exhiben correlaciones cuánticas de ruido de sub-disparo ^{[ aclaración necesaria ]} .

Véase también

• Energía negativa
• Luz no clásica
• Espacio de fase óptica
• Óptica cuántica
• Operador de compresión

Referencias

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Enlaces externos

• Tutorial sobre óptica cuántica del campo de luz

1. En la literatura se utilizan diferentes normalizaciones para las amplitudes en cuadratura. Aquí utilizamos la normalización para la cual la suma de las varianzas del estado fundamental de las amplitudes en cuadratura proporciona directamente el número cuántico del punto cero. ${\displaystyle \Delta ^{2}X_{g}+\Delta ^{2}Y_{g}=1/2}$