Los métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones son métodos numéricos utilizados en finanzas matemáticas para la valoración de opciones . [1] Los métodos de diferencias finitas fueron aplicados por primera vez a la fijación de precios de opciones por Eduardo Schwartz en 1977. [2] [3] : 180
En general, los métodos de diferencias finitas se utilizan para fijar el precio de las opciones aproximando la ecuación diferencial (en tiempo continuo) que describe cómo evoluciona el precio de una opción a lo largo del tiempo mediante un conjunto de ecuaciones en diferencias (en tiempo discreto) . Luego, las ecuaciones en diferencias discretas se pueden resolver de forma iterativa para calcular el precio de la opción. [4] El enfoque surge porque la evolución del valor de la opción se puede modelar mediante una ecuación diferencial parcial (PDE), en función de (al menos) el tiempo y el precio del subyacente; véase, por ejemplo, la PDE de Black-Scholes . Una vez en esta forma, se puede derivar un modelo de diferencias finitas y obtener la valoración. [2]
El enfoque se puede utilizar para resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos mediante enfoques de árbol . [1]
Método
Como anteriormente, la PDE se expresa en forma discretizada, utilizando diferencias finitas , y luego la evolución del precio de la opción se modela utilizando una red con las dimensiones correspondientes : el tiempo va desde 0 hasta el vencimiento; y el precio va desde 0 hasta un valor "alto", de modo que la opción está profundamente dentro o fuera del dinero . La opción entonces se valora de la siguiente manera: [5]
- Los valores de vencimiento son simplemente la diferencia entre el precio de ejercicio de la opción y el valor del subyacente en cada punto (para una opción de compra, por ejemplo ).
![{\displaystyle C(S,T)=máx\{SK,0\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los valores en los límites , es decir, en cada momento anterior en el que el contado está en su nivel más alto o cero, se establecen en función de los límites monetarios o de arbitraje de los precios de las opciones (para una opción de compra, para todo t y as ).
![{\displaystyle C(0,t)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(S,t)=S-Ke^{-r(Tt)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\rightarrow \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los valores en otros puntos de la red se calculan de forma recursiva (iterativa), comenzando en el paso de tiempo anterior al vencimiento y terminando en el tiempo = 0. Aquí, utilizando una técnica como Crank-Nicolson o el método explícito :
- la PDE se discretiza según la técnica elegida, de modo que el valor en cada punto de la red se especifica en función del valor en puntos posteriores y adyacentes; ver Plantilla (análisis numérico) ;
- luego se encuentra el valor en cada punto utilizando la técnica en cuestión; trabajando hacia atrás en el tiempo desde el vencimiento y hacia adentro a partir de los precios límite.
- 4. El valor de la opción hoy, cuando el subyacente está a su precio al contado (o en cualquier combinación de momento/precio), se calcula mediante interpolación .
Solicitud
Como se indicó anteriormente, estos métodos pueden resolver problemas de fijación de precios de derivados que tienen, en general, el mismo nivel de complejidad que los problemas resueltos mediante enfoques de árbol , [1] pero, dada su relativa complejidad, generalmente se emplean sólo cuando otros enfoques son inapropiados; Un ejemplo aquí es el cambio de las tasas de interés y/o la política de dividendos vinculada al tiempo . Al mismo tiempo, al igual que los métodos basados en árboles, este enfoque está limitado en términos del número de variables subyacentes y, para problemas con múltiples dimensiones , generalmente se prefieren los métodos de Monte Carlo para la valoración de opciones . [3] : 182 Tenga en cuenta que, cuando se aplican supuestos estándar, la técnica explícita abarca los métodos de árbol binomial y trinomial . [6] Los métodos basados en árboles, entonces, adecuadamente parametrizados, son un caso especial del método explícito de diferencias finitas. [7]
Referencias
- ^ abc Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
- ^ ab Schwartz, E. (enero de 1977). "La valoración de los warrants: implementación de un nuevo enfoque". Revista de economía financiera . 4 : 79–94. doi :10.1016/0304-405X(77)90037-X.
- ^ ab Boyle, Phelim ; Feidhlim Boyle (2001). Derivados: las herramientas que cambiaron las finanzas . Publicaciones de riesgo. ISBN 978-1899332885.
- ^ Phil Goddard (ND). Precio de opciones: métodos de diferencias finitas
- ^ Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción para el estudiante. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-49789-3.
- ^ Brennan, M.; Schwartz, E. (septiembre de 1978). "Métodos de diferencias finitas y procesos de salto que surgen en la fijación de precios de reclamaciones contingentes: una síntesis". Revista de Análisis Financiero y Cuantitativo . 13 (3): 461–474. doi :10.2307/2330152. JSTOR 2330152. S2CID 250121477.
- ^ Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos de valoración de opciones binomiales y trinomiales". Revista de Derivados . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID 11743572. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007.
enlaces externos
- Fijación de precios de opciones utilizando métodos de diferencias finitas Archivado el 20 de julio de 2010 en Wayback Machine , Prof. Don M. Chance, Universidad Estatal de Luisiana
- Enfoque de diferencias finitas para el precio de las opciones (incluye código Matlab ); Solución numérica de la ecuación de Black-Scholes, Tom Coleman, Universidad de Cornell
- Precios de opciones: métodos de diferencias finitas, Dr. Phil Goddard
- Resolución numérica de PDE: algoritmo Crank-Nicolson, Prof. R. Jones, Universidad Simon Fraser
- Esquemas numéricos para opciones de fijación de precios, Prof. Yue Kuen Kwok, Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong
- Introducción a la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en finanzas, Claus Munk, Universidad de Aarhus
- Métodos numéricos para la valoración de derivados financieros Archivado el 5 de octubre de 2011 en Wayback Machine , DB Ntwiga, Universidad de Western Cape.
- El método de las diferencias finitas, Katia Rocha, Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
- Finanzas analíticas: métodos de diferencias finitas, Jan Röman, Universidad de Mälardalen