Paridad de venta y compra

Concepto en matemáticas financieras.

En matemáticas financieras , la paridad put-call define una relación entre el precio de una opción de compra europea y una opción de venta europea , ambas con el mismo precio de ejercicio y vencimiento, es decir, que una cartera de una opción de compra larga y una opción de venta corta es equivalente. a (y por lo tanto tiene el mismo valor que) un único contrato forward a este precio de ejercicio y vencimiento. Esto se debe a que si el precio de vencimiento está por encima del precio de ejercicio, se ejercerá la opción de compra, mientras que si está por debajo, se ejercerá la opción de venta y, por lo tanto, en cualquier caso se comprará una unidad del activo por el precio de ejercicio. exactamente como en un contrato a término.

La validez de esta relación requiere que se cumplan ciertos supuestos; estos se especifican y la relación se deriva a continuación. En la práctica, los costos de transacción y los costos de financiamiento (apalancamiento) significan que esta relación no se mantendrá exactamente, pero en los mercados líquidos la relación es casi exacta.

Suposiciones

La paridad put-call es una replicación estática y, por tanto, requiere suposiciones mínimas de un contrato a plazo . En ausencia de contratos a plazo negociados, el contrato a plazo puede ser reemplazado (de hecho, replicado) por la capacidad de comprar el activo subyacente y financiarlo mediante un préstamo a plazo fijo (por ejemplo, pedir prestado bonos), o por el contrario, pedir prestado y vender ( corto) el activo subyacente y prestar el dinero recibido a plazo, generando en ambos casos una cartera autofinanciada .

Estos supuestos no requieren ninguna transacción entre la fecha inicial y la de vencimiento y, por lo tanto, son significativamente más débiles que los del modelo de Black-Scholes , que requiere una replicación dinámica y una transacción continua en el subyacente.

La replicación supone que uno puede realizar transacciones con derivados, lo que requiere apalancamiento (y costos de capital para respaldarlo), y la compra y venta implica costos de transacción , en particular el diferencial entre oferta y demanda . Por tanto, la relación sólo se mantiene exactamente en un mercado ideal sin fricciones y con liquidez ilimitada. Sin embargo, los mercados del mundo real pueden ser lo suficientemente líquidos como para que la relación sea cercana a la exacta, sobre todo los mercados de divisas en las principales monedas o los principales índices bursátiles, en ausencia de turbulencias en el mercado.

Declaración

La paridad de venta y compra se puede expresar de varias maneras equivalentes, de manera más concisa como:

${\displaystyle C-P=D\cdot (F-K)}$

donde es el valor (actual) de una opción de compra, es el valor (actual) de una opción de venta, es el factor de descuento , es el precio a plazo del activo subyacente y es el precio de ejercicio. El lado izquierdo corresponde a una cartera de call larga y put corta; el lado derecho corresponde a un contrato a plazo. Los activos y en el lado izquierdo se dan en valores presentes, mientras que los activos y se dan en valores futuros (precio a plazo del activo y precio de ejercicio pagado al vencimiento), que el factor de descuento convierte a valores presentes. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$

Ahora el precio al contado se puede obtener descontando el precio a plazo por el factor . Usar el precio spot en lugar del precio forward nos da: ${\displaystyle S=D\cdot F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle C-P=S-D\cdot K}$.

Reorganizar los términos da una primera interpretación:

${\displaystyle C+D\cdot K=P+S}$.

Aquí, el lado izquierdo es una opción de compra fiduciaria, que es una opción de compra larga y con suficiente efectivo (o bonos) para ejercerla pagando el precio de ejercicio. El lado derecho es una opción de venta casada , que es una opción de venta larga emparejada con el activo, de modo que el activo pueda venderse al precio de ejercicio en el momento del ejercicio. Al vencimiento, el valor intrínseco de las opciones desaparece, por lo que ambas partes obtienen una recompensa igual al menos al precio de ejercicio o al valor del activo si es mayor. ${\displaystyle \max(K,S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Que una opción call larga con efectivo sea equivalente a una opción put larga con activo es un significado de la paridad put-call.

Reorganizar los términos de otra manera nos da una segunda interpretación:

${\displaystyle D\cdot K-P=S-C}$.

Ahora el lado izquierdo es una opción de venta con garantía de efectivo, es decir, una opción de venta corta y suficiente efectivo para dársela al propietario de la opción de venta en caso de que la ejerza. El lado derecho es una llamada cubierta , que es una llamada corta emparejada con el activo, donde el activo está listo para ser retirado por el propietario de la llamada en caso de que lo ejerza. Al vencimiento, se invierte el escenario anterior. Ambas partes ahora tienen una recompensa igual al precio de ejercicio o al valor del activo, el que sea menor . ${\displaystyle \min(K,S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Así pues, vemos que la paridad de compra y venta también puede entenderse como la equivalencia de una opción de venta (corta) garantizada en efectivo y una opción de compra cubierta (corta). Esto puede resultar sorprendente, ya que vender una opción de venta garantizada en efectivo suele considerarse más riesgoso que vender una opción de compra cubierta. ^[1]

Para hacer explícito el valor temporal del efectivo y la dependencia temporal de las variables financieras, la ecuación original de paridad de compra y venta puede expresarse como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

dónde

${\displaystyle C(t)}$es el valor de la llamada en el momento , ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(t)}$es el valor de la opción de venta de la misma fecha de vencimiento,

${\displaystyle S(t)}$es el precio spot del activo subyacente,

${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio, y

${\displaystyle B(t,T)}$es el valor presente de un bono cupón cero que vence a $1 en ese momento , es decir, el factor de descuento para ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K.}$

Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación también es el precio de compra de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega . Por lo tanto, una forma de leer la ecuación es que una cartera que es larga (call) y corta (put) es lo mismo que estar larga (forward). En particular, si el subyacente no es negociable pero existen contratos a término sobre él, podemos reemplazar la expresión del lado derecho por el precio de un contrato a plazo. ${\displaystyle K}$

Si se supone que la tasa de interés del bono , , es constante, entonces ${\displaystyle r}$

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}}$

Nota: se refiere a la fuerza del interés , que es aproximadamente igual a la tasa anual efectiva para tasas de interés pequeñas. Sin embargo, hay que tener cuidado con la aproximación, especialmente con tasas más altas y períodos de tiempo más largos. Para encontrar exactamente, utilice , donde está la tasa de interés anual efectiva. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\ln(1+i)}$ ${\displaystyle i}$

Al valorar opciones europeas emitidas sobre acciones con dividendos conocidos que se pagarán durante la vida de la opción, la fórmula es:

${\displaystyle C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

donde representa el valor total de los dividendos de una acción que se pagará durante la vida restante de las opciones, descontado al valor presente . ${\displaystyle D(t)}$

Podemos reescribir la ecuación como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)}$

y tenga en cuenta que el lado derecho es el precio de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega , como antes. ${\displaystyle K}$

Derivación

Supondremos que las opciones de compra y venta están sobre acciones negociadas, pero el subyacente puede ser cualquier otro activo negociable. La capacidad de comprar y vender el subyacente es crucial para el argumento de "no arbitraje" que se expone a continuación.

Primero, observe que bajo el supuesto de que no hay oportunidades de arbitraje (los precios están libres de arbitraje ), dos carteras que siempre tienen el mismo beneficio en el momento T deben tener el mismo valor en cualquier momento anterior. Para probar esto supongamos que, en algún momento t antes de T , una cartera era más barata que la otra. Entonces se podría comprar (ir en largo) la cartera más barata y vender (ir en corto) la más cara. En el momento T , nuestra cartera general, para cualquier valor del precio de la acción, tendría valor cero (todos los activos y pasivos se han cancelado). La ganancia que obtuvimos en el momento t es, por tanto, una ganancia sin riesgo, pero esto viola nuestro supuesto de no arbitraje.

Deduciremos la relación de paridad de compra y venta creando dos carteras con los mismos beneficios ( replicación estática ) e invocando el principio anterior ( precios racionales ).

Considere una opción de compra y una opción de venta con el mismo ejercicio K y vencimiento en la misma fecha T sobre alguna acción S , que no paga dividendos. Suponemos la existencia de un bono que paga 1 dólar al vencimiento T. El precio del bono puede ser aleatorio (como el de las acciones), pero debe ser igual a 1 al vencimiento.

Sea el precio de S S(t) en el momento t. Ahora cree una cartera comprando una opción de compra C y vendiendo una opción de venta P con el mismo vencimiento T y ejercicio K. El pago de esta cartera es S(T) - K. Ahora cree una segunda cartera comprando una acción y pidiendo prestados bonos K. Tenga en cuenta que el pago de esta última cartera también es S(T) - K en el momento T , ya que nuestra acción comprada por S(t) valdrá S(T) y los bonos prestados valdrán K.

Según nuestra observación preliminar de que pagos idénticos implican que ambas carteras deben tener el mismo precio en un momento general , existe la siguiente relación entre el valor de los distintos instrumentos: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,}$

Por lo tanto, si no hay oportunidades de arbitraje, la relación anterior, que se conoce como paridad put-call , se mantiene, y para tres precios cualesquiera: call, put, bono y acción se puede calcular el precio implícito del cuarto.

En el caso de los dividendos, la fórmula modificada se puede derivar de manera similar a la anterior, pero con la modificación de que una cartera consiste en ir en largo con una opción de compra, ir en corto con una opción de venta y bonos D(T) que pagan cada uno 1 dólar al vencimiento. T (los bonos valdrán D(t) en el momento t ); la otra cartera es la misma que antes: una acción en largo, bonos K en corto , cada uno de los cuales paga 1 dólar en T. La diferencia es que en el momento T , la acción no sólo vale S(T) sino que ha pagado D(T) en dividendos.

Historia

Las formas de paridad de compra y venta aparecieron en la práctica ya en la época medieval y fueron descritas formalmente por varios autores a principios del siglo XX.

Michael Knoll, en The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage , describe el importante papel que jugó la paridad de compra en el desarrollo del capital de rescate , la característica definitoria de una hipoteca moderna, en la Inglaterra medieval.

En el siglo XIX, el financiero Russell Sage utilizó la paridad de opciones de compra para crear préstamos sintéticos, que tenían tasas de interés más altas de lo que normalmente habrían permitido las leyes de usura de la época. ^{[ cita necesaria ]}

Nelson, un comerciante de arbitraje de opciones en Nueva York, publicó un libro: "El ABC de las opciones y el arbitraje" en 1904 que describe en detalle la paridad de compra y venta. Su libro fue redescubierto por Espen Gaarder Haug a principios de la década de 2000 y muchas referencias del libro de Nelson se dan en el libro de Haug "Derivatives Models on Models".

Henry Deutsch describe la paridad put-call en 1910 en su libro "Arbitrage in Bullion, Coins, Bills, Stocks, Shares and Options, 2nd Edition". Londres: Engham Wilson pero con menos detalle que Nelson (1904).

El profesor de matemáticas Vinzenz Bronzin también deriva la paridad de compra en 1908 y la utiliza como parte de su argumento de arbitraje para desarrollar una serie de modelos de opciones matemáticas bajo una serie de distribuciones diferentes. El trabajo del profesor Bronzin fue redescubierto recientemente por el profesor Wolfgang Hafner y el profesor Heinz Zimmermann. El trabajo original de Bronzin es un libro escrito en alemán y ahora está traducido y publicado en inglés en una obra editada por Hafner y Zimmermann ("Vinzenz Bronzin's option pricing models", Springer Verlag ).

Su primera descripción en la literatura académica moderna parece ser la de Hans R. Stoll en el Journal of Finance . ^{[2] [3]}

Trascendencia

La paridad put-call implica:

• Equivalencia de opciones de compra y de venta : la paridad implica que una opción de compra y de venta se puede utilizar indistintamente en cualquier cartera delta-neutral . Si es el delta de la opción de compra, entonces comprar una opción de compra y vender acciones es lo mismo que vender una opción de venta y vender acciones. La equivalencia de opciones de compra y venta es muy importante al negociar con opciones. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1-d}$
• Paridad de la volatilidad implícita : en ausencia de dividendos u otros costos de transporte (como cuando es difícil tomar prestada o vender una acción en corto), la volatilidad implícita de las opciones de compra y venta debe ser idéntica. ^[4]

Ver también

• Paridad spot-futuro
• Vinzenz Bronzin

Referencias

1. Noël, Martin (17 de mayo de 2017). "Call Put Parity: cómo transformar sus posiciones". OptionMatters.ca . Bolsa de Montreal Inc.
2. Stoll, Hans R. (diciembre de 1969). "La relación entre los precios de las opciones de compra y venta". Revista de Finanzas . 24 (5): 801–824. doi :10.2307/2325677. JSTOR  2325677.
3. Citado, por ejemplo, en Derman, Emanuel; Taleb, Nassim Nicolás (2005). "Las ilusiones de la replicación dinámica". Finanzas Cuantitativas . 5 (4): 323–326. doi :10.1080/14697680500305105. S2CID  154820481.
4. Casco, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5ª ed.). Prentice Hall . págs. 330–331. ISBN 0-13-009056-5.

enlaces externos

• Paridad put-call
  • Paridad de opciones de compra, tutorial de Salman Khan (educador)
  • Paridad de compra y oportunidad de arbitraje, investopedia.com
  • Las antiguas raíces de la innovación financiera moderna: la historia temprana del arbitraje regulatorio, la historia de Michael Knoll de la paridad de compra y venta
• Otras relaciones de arbitraje
  • Relaciones de arbitraje para opciones, Prof. Thayer Watkins
  • Reglas racionales y condiciones de contorno para la fijación de precios de opciones ( PDFDi ), Prof. Don M. Chance
  • Sin límites de arbitraje para las opciones, Prof. Robert Novy-Marx
• Herramientas
  • Relaciones de arbitraje de opciones, Prof. Campbell R. Harvey