En análisis numérico , los métodos de diferencias finitas ( FDM ) son una clase de técnicas numéricas para resolver ecuaciones diferenciales mediante la aproximación de derivadas con diferencias finitas . Tanto el dominio espacial como el dominio del tiempo (si corresponde) están discretizados o divididos en un número finito de intervalos, y los valores de la solución en los puntos finales de los intervalos se aproximan resolviendo ecuaciones algebraicas que contienen diferencias finitas y valores de puntos cercanos. .
donde n ! denota el factorial de n , y R n ( x ) es un término restante, que denota la diferencia entre el polinomio de Taylor de grado n y la función original.
El siguiente es el proceso para derivar una aproximación para la primera derivada de la función f truncando primero el polinomio de Taylor más el resto:
h
Suponiendo que sea suficientemente pequeña, la aproximación de la primera derivada de f es:
Esto es similar a la definición de derivada, que es:
Precisión y orden
El error en la solución de un método se define como la diferencia entre la aproximación y la solución analítica exacta. Las dos fuentes de error en los métodos de diferencias finitas son el error de redondeo , la pérdida de precisión debido al redondeo de cantidades decimales por computadora, y el error de truncamiento o error de discretización , la diferencia entre la solución exacta de la ecuación diferencial original y la cantidad exacta suponiendo aritmética perfecta (sin redondeo).
Para utilizar un método de diferencias finitas para aproximar la solución a un problema, primero se debe discretizar el dominio del problema. Esto generalmente se hace dividiendo el dominio en una cuadrícula uniforme (ver imagen). Esto significa que los métodos de diferencias finitas producen conjuntos de aproximaciones numéricas discretas a la derivada, a menudo en forma de "pasos de tiempo".
Una expresión de interés general es el error de truncamiento local de un método. Generalmente expresado usando la notación Big-O , el error de truncamiento local se refiere al error de una sola aplicación de un método. Es decir, es la cantidad si se refiere al valor exacto y a la aproximación numérica. El término restante del polinomio de Taylor se puede utilizar para analizar el error de truncamiento local . Usando la forma de Lagrange del resto del polinomio de Taylor para , que es
En este caso, el error de truncamiento local es proporcional a los tamaños de paso. La calidad y duración de la solución FDM simulada depende de la selección de la ecuación de discretización y los tamaños de paso (pasos de tiempo y espacio). La calidad de los datos y la duración de la simulación aumentan significativamente con un tamaño de paso más pequeño. [2] Por lo tanto, para un uso práctico es necesario un equilibrio razonable entre la calidad de los datos y la duración de la simulación. Los pasos de tiempo grandes son útiles para aumentar la velocidad de la simulación en la práctica. Sin embargo, los intervalos de tiempo demasiado grandes pueden crear inestabilidades y afectar la calidad de los datos. [3] [4]
Los criterios de von Neumann y Courant-Friedrichs-Lewy a menudo se evalúan para determinar la estabilidad del modelo numérico. [3] [4] [5] [6]
Ejemplo: ecuación diferencial ordinaria
Por ejemplo, considere la ecuación diferencial ordinaria
Una forma de resolver numéricamente esta ecuación es aproximar todas las derivadas por diferencias finitas. Primero divida el dominio en el espacio usando una malla y en el tiempo usando una malla . Supongamos una partición uniforme tanto en el espacio como en el tiempo, por lo que la diferencia entre dos puntos espaciales consecutivos será hy entre dos puntos temporales consecutivos será k . Los puntos
representará la aproximación numérica de
método explícito
Usando una diferencia directa en el tiempo y una diferencia central de segundo orden para la derivada espacial en la posición ( FTCS ), se obtiene la ecuación de recurrencia:
Se pueden obtener de los demás valores de esta manera:
dónde
Entonces, con esta relación de recurrencia, y conociendo los valores en el tiempo n , se pueden obtener los valores correspondientes en el tiempo n +1. y debe ser reemplazado por las condiciones de contorno; en este ejemplo, ambas son 0.
Se sabe que este método explícito es numéricamente estable y convergente siempre que . [7] Los errores numéricos son proporcionales al paso de tiempo y al cuadrado del paso de espacio:
Método implícito
Usando la diferencia hacia atrás en el tiempo y una diferencia central de segundo orden para la derivada espacial en la posición (El método del espacio centrado en el tiempo hacia atrás "BTCS") se obtiene la ecuación de recurrencia:
Se puede obtener resolviendo un sistema de ecuaciones lineales:
El esquema siempre es numéricamente estable y convergente, pero normalmente es más intensivo numéricamente que el método explícito, ya que requiere resolver un sistema de ecuaciones numéricas en cada paso de tiempo. Los errores son lineales en el paso del tiempo y cuadráticos en el paso del espacio:
Método Crank-Nicolson
Finalmente, usando la diferencia central en el tiempo y una diferencia central de segundo orden para la derivada espacial en la posición ("CTCS") se obtiene la ecuación de recurrencia:
Se puede obtener resolviendo un sistema de ecuaciones lineales:
El esquema es siempre numéricamente estable y convergente, pero normalmente es más intensivo numéricamente ya que requiere resolver un sistema de ecuaciones numéricas en cada paso de tiempo. Los errores son cuadráticos tanto en el paso de tiempo como en el paso de espacio:
Comparación
En resumen, normalmente el esquema de Crank-Nicolson es el esquema más preciso para pasos de tiempo pequeños. Para intervalos de tiempo mayores, el esquema implícito funciona mejor ya que es menos exigente desde el punto de vista computacional. El esquema explícito es el menos preciso y puede ser inestable, pero también es el más fácil de implementar y el menos intensivo numéricamente.
Aquí hay un ejemplo. Las siguientes figuras presentan las soluciones dadas por los métodos anteriores para aproximar la ecuación del calor.
con la condición de frontera
La solución exacta es
Comparación de métodos de diferencias finitas
Ejemplo: el operador de Laplace
El operador de Laplace (continuo) en dimensiones viene dado por . El operador discreto de Laplace depende de la dimensión .
El caso 2D muestra todas las características del caso n-dimensional más general. Cada segunda derivada parcial debe aproximarse de manera similar al caso 1D
El método SBP-SAT ( suma por partes - término de aproximación simultánea ) es una técnica estable y precisa para discretizar e imponer condiciones de contorno de una ecuación diferencial parcial bien planteada utilizando diferencias finitas de alto orden. [8] [9]
El método se basa en diferencias finitas donde los operadores de diferenciación exhiben propiedades de suma por partes . Por lo general, estos operadores consisten en matrices de diferenciación con plantillas de diferencia central en el interior con plantillas de límites unilaterales cuidadosamente elegidas diseñadas para imitar la integración por partes en el entorno discreto. Utilizando la técnica SAT, las condiciones límite del PDE se imponen débilmente, donde los valores límite son "tirados" hacia las condiciones deseadas en lugar de cumplirse exactamente. Si los parámetros de sintonización (inherentes a la técnica SAT) se eligen adecuadamente, el sistema resultante de ODE exhibirá un comportamiento energético similar al del PDE continuo, es decir, el sistema no tendrá crecimiento de energía no físico. Esto garantiza la estabilidad si se utiliza un esquema de integración con una región de estabilidad que incluya partes del eje imaginario, como el método de Runge-Kutta de cuarto orden . Esto hace que la técnica SAT sea un método atractivo para imponer condiciones de contorno para métodos de diferencias finitas de orden superior, en contraste, por ejemplo, con el método de inyección, que normalmente no será estable si se utilizan operadores de diferenciación de orden superior.
^ ab Christian Grossmann; Hans-G. Roos; Martín Stynes (2007). Tratamiento Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 23.ISBN _ 978-3-540-71584-9.
^ Arieh Iserles (2008). Un primer curso de análisis numérico de ecuaciones diferenciales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 23.ISBN _9780521734905.
^ ab Hoffman JD; Frankel S (2001). Métodos numéricos para ingenieros y científicos . Prensa CRC, Boca Ratón.
^ ab Jaluria Y; Atluri S (1994). "Transferencia de calor computacional". Mecánica Computacional . 14 (5): 385–386. Código Bib : 1994CompM..14..385J. doi :10.1007/BF00377593. S2CID 119502676.
^ Majumdar P (2005). Métodos computacionales para la transferencia de calor y masa (1ª ed.). Taylor y Francis, Nueva York.
^ Smith GD (1985). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: métodos de diferencias finitas (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
^ Crank, J. Las matemáticas de la difusión . Segunda edición, Oxford, 1975, pág. 143.
^ Bo Strand (1994). "Suma por partes para aproximaciones en diferencias finitas para d/dx". Revista de Física Computacional . 110 (1): 47–67. Código bibliográfico : 1994JCoPh.110...47S. doi :10.1006/jcph.1994.1005.
^ Mark H. Carpintero; David I. Gottlieb; Saúl S. Abarbanel (1994). "Condiciones de contorno estables en el tiempo para esquemas de diferencias finitas que resuelven sistemas hiperbólicos: metodología y aplicación a esquemas compactos de alto orden". Revista de Física Computacional . 111 (2): 220–236. Código Bib : 1994JCoPh.111..220C. doi :10.1006/jcph.1994.1057. hdl : 2060/19930013937 .
Otras lecturas
KW Morton y DF Mayers, Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, Introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge, 2005.
Autar Kaw y E. Eric Kalu, Métodos numéricos con aplicaciones , (2008) [1]. Contiene una breve introducción orientada a la ingeniería a FDM (para ODE) en el Capítulo 08.07.
John Strikwerda (2004). Esquemas en diferencias finitas y ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.). SIAM. ISBN 978-0-89871-639-9.
Smith, GD (1985), Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: métodos de diferencias finitas, 3ª ed. , Prensa de la Universidad de Oxford
Peter Olver (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Saltador. Capítulo 5: Diferencias finitas. ISBN 978-3-319-02099-0..
Randall J. LeVeque , Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , SIAM, 2007.
Sergey Lemeshevsky, Piotr Matus, Dmitriy Poliakov (Eds): "Esquemas exactos de diferencias finitas", De Gruyter (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326.