Modelo de Solow-Swan

Modelo de crecimiento económico de largo plazo

El modelo de Solow-Swan o modelo de crecimiento exógeno es un modelo económico de crecimiento económico de largo plazo . Intenta explicar el crecimiento económico a largo plazo analizando la acumulación de capital , el crecimiento laboral o poblacional y los aumentos de la productividad impulsados ​​en gran medida por el progreso tecnológico . En esencia, es una función de producción agregada , a menudo especificada como del tipo Cobb-Douglas , que permite al modelo "hacer contacto con la microeconomía ". ^{[1] : 26} El modelo fue desarrollado de forma independiente por Robert Solow y Trevor Swan en 1956, ^{[2] [3] [nota 1]} y reemplazó al modelo keynesiano Harrod-Domar .

Matemáticamente, el modelo de Solow-Swan es un sistema no lineal que consta de una única ecuación diferencial ordinaria que modela la evolución del stock de capital per cápita . Debido a sus características matemáticas particularmente atractivas, Solow-Swan demostró ser un punto de partida conveniente para varias extensiones. Por ejemplo, en 1965, David Cass y Tjalling Koopmans integraron el análisis de optimización del consumidor de Frank Ramsey , ^[4] endogenizando así ^[5] la tasa de ahorro , para crear lo que ahora se conoce como el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans .

Fondo

El modelo de Solow-Swan fue una extensión del modelo Harrod-Domar de 1946 que abandonó el supuesto restrictivo de que sólo el capital contribuye al crecimiento (siempre que haya suficiente mano de obra para utilizar todo el capital). Contribuciones importantes al modelo provinieron del trabajo realizado por Solow y Swan en 1956, quienes desarrollaron de forma independiente modelos de crecimiento relativamente simples. ^{[2] [3]} El modelo de Solow ajustó con cierto éxito los datos disponibles sobre el crecimiento económico de Estados Unidos . ^[6] En 1987, Solow recibió el Premio Nobel de Economía por su trabajo. Hoy en día, los economistas utilizan la contabilidad de fuentes de crecimiento de Solow para estimar los efectos separados sobre el crecimiento económico del cambio tecnológico, el capital y la mano de obra. ^[7]

El modelo de Solow es también uno de los modelos más utilizados en economía para explicar el crecimiento económico. ^[8] Básicamente, afirma que los resultados sobre la "productividad total de los factores (PTF) pueden conducir a aumentos ilimitados en el nivel de vida en un país". ^[8]

Ampliación del modelo Harrod-Domar

Solow amplió el modelo Harrod-Domar agregando el trabajo como factor de producción y relaciones capital-producto que no son fijas como en el modelo Harrod-Domar. Estos refinamientos permiten distinguir la creciente intensidad de capital del progreso tecnológico. Solow ve la función de producción de proporciones fijas como un "supuesto crucial" para los resultados de inestabilidad en el modelo Harrod-Domar. Su propio trabajo amplía esto al explorar las implicaciones de especificaciones alternativas, a saber, la Cobb-Douglas y la elasticidad de sustitución constante (CES) más general . ^[2] Aunque esta se ha convertido en la historia canónica y celebrada ^[9] en la historia de la economía, presentada en muchos libros de texto económicos, ^[10] una reciente reevaluación del trabajo de Harrod la ha cuestionado. Una crítica central es que el artículo original de Harrod ^[11] no se ocupaba principalmente del crecimiento económico ni utilizaba explícitamente una función de producción de proporciones fijas. ^{[10] [12]}

Implicaciones a largo plazo

Un modelo estándar de Solow predice que, en el largo plazo, las economías convergen hacia su equilibrio de crecimiento equilibrado y que el crecimiento permanente del ingreso per cápita sólo se puede lograr mediante el progreso tecnológico. Ambos cambios en el ahorro y en el crecimiento demográfico sólo causan efectos de nivel en el largo plazo (es decir, en el valor absoluto del ingreso real per cápita). Una implicación interesante del modelo de Solow es que los países pobres deberían crecer más rápido y eventualmente alcanzar a los países más ricos. Esta convergencia podría explicarse por: ^[13]

• Rezagos en la difusión del conocimiento. Las diferencias en el ingreso real podrían reducirse a medida que los países pobres reciban mejor tecnología e información;
• Asignación eficiente de los flujos internacionales de capital, ya que la tasa de rendimiento del capital debería ser mayor en los países más pobres. En la práctica, esto rara vez se observa y se conoce como la paradoja de Lucas ;
• Una implicación matemática del modelo (suponiendo que los países pobres aún no hayan alcanzado su estado estacionario).

Baumol intentó verificar esto empíricamente y encontró una correlación muy fuerte entre el crecimiento de la producción de un país durante un largo período de tiempo (1870 a 1979) y su riqueza inicial. ^[14] Sus hallazgos fueron posteriormente cuestionados por DeLong , quien afirmó que tanto la no aleatoriedad de los países incluidos en la muestra como el potencial de errores de medición significativos en las estimaciones del ingreso real per cápita en 1870, sesgaron los hallazgos de Baumol. DeLong concluye que hay poca evidencia que respalde la teoría de la convergencia.

Suposiciones

El supuesto clave del modelo de crecimiento de Solow-Swan es que el capital está sujeto a rendimientos decrecientes en una economía cerrada.

• Dado un stock fijo de mano de obra, el impacto sobre la producción de la última unidad de capital acumulada siempre será menor que la anterior.
• Suponiendo por simplicidad que no haya progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, los rendimientos decrecientes implican que en algún momento la cantidad de nuevo capital producido es apenas suficiente para compensar la cantidad de capital existente perdido debido a la depreciación. ^[1] En este punto, debido a los supuestos de que no hay progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, podemos ver que la economía deja de crecer.
• Suponer tasas de crecimiento laboral distintas de cero complica un poco las cosas, pero la lógica básica aún se aplica ^[2] : en el corto plazo, la tasa de crecimiento se desacelera a medida que los rendimientos decrecientes entran en vigor y la economía converge a un "estado estacionario" constante. tasa de crecimiento (es decir, ningún crecimiento económico per cápita).
• Incluir el progreso tecnológico distinto de cero es muy similar al supuesto de un crecimiento de la fuerza laboral distinto de cero, en términos de "trabajo efectivo": se alcanza un nuevo estado estacionario con producción constante por hora-trabajador requerida para una unidad de producción . Sin embargo, en este caso, la producción per cápita crece a la tasa del progreso tecnológico en el "estado estacionario" ^[3] (es decir, la tasa de crecimiento de la productividad ).

Variaciones en los efectos de la productividad

En el modelo de Solow-Swan, el cambio inexplicable en el crecimiento de la producción después de tener en cuenta el efecto de la acumulación de capital se denomina residuo de Solow . Este residual mide el aumento exógeno de la productividad total de los factores (PTF) durante un período de tiempo particular. El aumento de la PTF a menudo se atribuye enteramente al progreso tecnológico, pero también incluye cualquier mejora permanente en la eficiencia con la que se combinan los factores de producción a lo largo del tiempo. Implícitamente, el crecimiento de la PTF incluye cualquier mejora permanente de la productividad que resulte de mejores prácticas de gestión en los sectores público y privado de la economía. Paradójicamente, aunque el crecimiento de la PTF es exógeno en el modelo, no puede observarse, por lo que sólo puede estimarse junto con la estimación simultánea del efecto de la acumulación de capital sobre el crecimiento durante un período de tiempo particular.

El modelo se puede reformular de maneras ligeramente diferentes utilizando diferentes supuestos de productividad o diferentes métricas de medición:

• La productividad laboral promedio ( ALP ) es la producción económica por hora de trabajo.
• La productividad multifactorial ( PMF ) es la producción dividida por un promedio ponderado de insumos de capital y mano de obra. Las ponderaciones utilizadas generalmente se basan en la participación agregada de los insumos que gana cada factor. Esta proporción se cita a menudo como: 33% de retorno del capital y 67% de retorno del trabajo (en las naciones occidentales).

En una economía en crecimiento, el capital se acumula más rápido de lo que nacen las personas, por lo que el denominador en la función de crecimiento bajo el cálculo MFP está creciendo más rápido que en el cálculo ALP. Por lo tanto, el crecimiento de la MFP es casi siempre menor que el crecimiento de la ALP. (Por lo tanto, medir en términos de ALP aumenta el aparente efecto de profundización del capital ). La MFP se mide por el " residual de Solow ", no por el ALP.

Matemáticas del modelo.

El modelo de Solow-Swan del libro de texto se desarrolla en un mundo de tiempo continuo sin gobierno ni comercio internacional. Un solo bien (producción) se produce utilizando dos factores de producción , trabajo ( ) y capital ( ) en una función de producción agregada que satisface las condiciones de Inada , que implican que la elasticidad de sustitución debe ser asintóticamente igual a uno. ^{[15] [16]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

donde denota tiempo, es la elasticidad de la producción con respecto al capital y representa la producción total. se refiere a tecnología o “ conocimiento ” que aumenta el trabajo de parto, por lo que representa trabajo efectivo. Todos los factores de producción están plenamente empleados y se dan los valores iniciales , , y . El número de trabajadores, es decir, la mano de obra, así como el nivel de tecnología crecen exógenamente a tasas y , respectivamente: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle A(0)}$ ${\displaystyle K(0)}$ ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

Por lo tanto, el número de unidades efectivas de trabajo crece a una tasa . Mientras tanto, el stock de capital se deprecia con el tiempo a un ritmo constante . Sin embargo, sólo se consume una fracción de la producción ( con ) , dejando una parte ahorrada para inversión . Esta dinámica se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial : ${\displaystyle A(t)L(t)}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle cY(t)}$ ${\displaystyle 0<c<1}$ ${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

donde es la abreviatura de , la derivada con respecto al tiempo. Derivada con respecto al tiempo significa que es el cambio en el stock de capital: la producción que no se consume ni se utiliza para reemplazar bienes de capital viejos y desgastados es inversión neta. ${\displaystyle {\dot {K}}}$ ${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

Dado que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala , se puede escribir como producción por unidad efectiva de trabajo , que es una medida de la creación de riqueza: ^{[nota 2]} ${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

El principal interés del modelo es la dinámica de la intensidad de capital , el stock de capital por unidad de trabajo efectivo. Su comportamiento en el tiempo viene dado por la ecuación clave del modelo de Solow-Swan: ^{[nota 3]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

El primer término, , es la inversión real por unidad de trabajo efectivo: la fracción de la producción por unidad de trabajo efectivo que se ahorra e invierte. El segundo término, , es la “inversión de equilibrio”: la cantidad de inversión que se debe invertir para evitar que caiga. ^{[17] : 16} La ecuación implica que converge a un valor de estado estacionario de , definido por , en el que no hay ni un aumento ni una disminución de la intensidad de capital: ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k^{*}}$ ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

en el que el stock de capital y el trabajo efectivo crecen a un ritmo . Asimismo, es posible calcular el estado estacionario de la riqueza creada que corresponde con : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle (n+g)}$ ${\displaystyle y^{*}}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

Suponiendo rendimientos constantes, la producción también crece a esa tasa. En esencia, el modelo de Solow-Swan predice que una economía convergerá hacia un equilibrio de crecimiento equilibrado , independientemente de su punto de partida. En esta situación, el crecimiento de la producción por trabajador está determinado únicamente por la tasa de progreso tecnológico . ^{[17] : 18} ${\displaystyle Y}$

Dado que, por definición, en el equilibrio tenemos ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

Por lo tanto, en el equilibrio, la relación capital/producción depende sólo de las tasas de ahorro, crecimiento y depreciación. Esta es la versión del modelo de Solow-Swan de la tasa de ahorro de la regla de oro .

Dado que , en cualquier momento el producto marginal del capital en el modelo de Solow-Swan está inversamente relacionado con la relación capital/trabajo. ${\displaystyle {\alpha }<1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Si la productividad es la misma en todos los países, entonces los países con menos capital por trabajador tendrán un producto marginal más alto, lo que proporcionaría un mayor rendimiento de la inversión de capital. Como consecuencia, el modelo predice que en un mundo de economías de mercado abiertas y capital financiero global, la inversión fluirá de los países ricos a los países pobres, hasta que capital/trabajador e ingreso/trabajador se igualen en todos los países. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle Y/L}$

Dado que el producto marginal del capital físico no es mayor en los países pobres que en los países ricos, ^[18] la implicación es que la productividad es menor en los países pobres. El modelo básico de Solow no puede explicar por qué la productividad es menor en estos países. Lucas sugirió que los niveles más bajos de capital humano en los países pobres podrían explicar la menor productividad. ^[19]

Porque el producto marginal del capital es igual a la tasa de rendimiento. ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

entonces esa es la fracción del ingreso apropiado por el capital. Por tanto, el modelo de Solow-Swan supone desde el principio que la división del ingreso entre trabajo y capital es constante. ${\displaystyle \alpha }$

Versión Mankiw-Romer-Weil del modelo

Adición de capital humano

En 1992, N. Gregory Mankiw , David Romer y David N. Weil teorizaron una versión del modelo de Solow-Swan, ampliado para incluir un papel del capital humano , que puede explicar el fracaso de la inversión internacional para fluir hacia los países pobres. ^[20] En este modelo, la producción y el producto marginal del capital (K) son menores en los países pobres porque tienen menos capital humano que los países ricos.

Similar al modelo de Solow-Swan del libro de texto, la función de producción es del tipo Cobb-Douglas:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

¿Dónde está el stock de capital humano, que se deprecia al mismo ritmo que el capital físico? Por simplicidad, asumen la misma función de acumulación para ambos tipos de capital. Como en Solow-Swan, una fracción del resultado se ahorra en cada período, pero en este caso se divide e invierte en parte en capital físico y en parte en capital humano, de modo que . Por tanto, existen dos ecuaciones dinámicas fundamentales en este modelo: ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle sY(t)}$ ${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

La trayectoria de crecimiento de equilibrio equilibrado (o de estado estacionario) está determinada por , lo que significa y . Resolviendo para el nivel de estado estacionario de y se obtiene: ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$ ${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$ ${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

En el estado estacionario, . ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

Estimaciones econométricas

Klenow y Rodríguez-Clare arrojaron dudas sobre la validez del modelo aumentado porque las estimaciones de Mankiw, Romer y Weil no parecían consistentes con las estimaciones aceptadas del efecto de los aumentos en la escolaridad sobre los salarios de los trabajadores. Aunque el modelo estimado explica el 78% de la variación del ingreso entre países, las estimaciones implican que los efectos externos del capital humano sobre el ingreso nacional son mayores que su efecto directo sobre los salarios de los trabajadores. ^[21] ${\displaystyle {\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Contabilización de efectos externos.

Theodore Breton proporcionó una idea que reconciliaba el gran efecto que la escolaridad tiene en el capital humano en el modelo de Mankiw, Romer y Weil con el efecto menor de la escolaridad en los salarios de los trabajadores. Demostró que las propiedades matemáticas del modelo incluyen efectos externos significativos entre los factores de producción, porque el capital humano y el capital físico son factores de producción multiplicativos. ^[22] El efecto externo del capital humano sobre la productividad del capital físico es evidente en el producto marginal del capital físico:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Mostró que las grandes estimaciones del efecto del capital humano en las estimaciones del modelo entre países son consistentes con el efecto más pequeño que normalmente se encuentra en los salarios de los trabajadores cuando se toman en cuenta los efectos externos del capital humano sobre el capital físico y la mano de obra. Esta idea refuerza significativamente los argumentos a favor de la versión de Mankiw, Romer y Weil del modelo de Solow-Swan. La mayoría de los análisis que critican este modelo no tienen en cuenta los efectos pecuniarios externos de ambos tipos de capital inherentes al modelo. ^[22]

Factor total de productividad

La tasa exógena de crecimiento de la PTF ( productividad total de los factores ) en el modelo de Solow-Swan es el residual después de contabilizar la acumulación de capital. El modelo de Mankiw, Romer y Weil proporciona una estimación más baja de la PTF (residual) que el modelo básico de Solow-Swan porque la adición de capital humano al modelo permite que la acumulación de capital explique una mayor parte de la variación del ingreso entre países. En el modelo básico, el residuo de la PTF incluye el efecto del capital humano porque el capital humano no está incluido como factor de producción.

Convergencia condicional

El modelo de Solow-Swan ampliado con capital humano predice que los niveles de ingresos de los países pobres tenderán a alcanzar o converger hacia los niveles de ingresos de los países ricos si los países pobres tienen tasas de ahorro similares tanto para el capital físico como para el capital humano como porcentaje. de producción, un proceso conocido como convergencia condicional. Sin embargo, las tasas de ahorro varían ampliamente entre países. En particular, dado que existen considerables restricciones financieras para la inversión en educación, es probable que las tasas de ahorro para capital humano varíen en función de las características culturales e ideológicas de cada país. ^[23]

Desde la década de 1950, la relación producción/trabajador en los países ricos y pobres en general no ha convergido, pero aquellos países pobres que han aumentado considerablemente sus tasas de ahorro han experimentado la convergencia del ingreso predicha por el modelo de Solow-Swan. Por ejemplo, la producción/trabajador en Japón , un país que alguna vez fue relativamente pobre, ha convergido al nivel de los países ricos. Japón experimentó altas tasas de crecimiento después de aumentar sus tasas de ahorro en las décadas de 1950 y 1960, y ha experimentado una desaceleración del crecimiento de la producción/trabajador desde que sus tasas de ahorro se estabilizaron alrededor de 1970, como lo predijo el modelo.

Los niveles de ingreso per cápita de los estados del sur de Estados Unidos han tendido a converger con los niveles de los estados del norte. La convergencia observada en estos estados también es consistente con el concepto de convergencia condicional . Que se produzca una convergencia absoluta entre países o regiones depende de si tienen características similares, tales como:

• Política educativa
• Arreglos institucionales
• Mercados libres a nivel interno y política comercial con otros países. ^[24]

Evidencia adicional de la convergencia condicional proviene de regresiones multivariadas entre países. ^[25]

El análisis econométrico de Singapur y los otros " Tigres de Asia Oriental " ha producido el sorprendente resultado de que, si bien la producción por trabajador ha ido aumentando, casi nada de su rápido crecimiento se ha debido al aumento de la productividad per cápita (tienen un bajo " residual de Solow " ). ^[7]

Ver también

• Crecimiento económico
• Teoría del crecimiento endógeno

Notas

1. La idea de utilizar una función de producción Cobb-Douglas en el centro de un modelo de crecimiento se remonta a Tinbergen, J. (1942). "Zur Theorie der langfristigen Wirtschaftsentwicklung". Archivo Weltwirtschaftliches . 55 : 511–549. JSTOR  40430851. Véase Brems, Hans (1986). "Crecimiento neoclásico: Tinbergen y Solow". Teoría económica pionera, 1630-1980 . Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs. 362–368. ISBN 978-0-8018-2667-2.
2. Cálculo paso a paso: ${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }}$
3. Cálculo paso a paso: . Dado que , y , son y , respectivamente, la ecuación se simplifica a . Como se ha mencionado más arriba, . ${\displaystyle {\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k(t)^{\alpha }}$

Referencias

1. Acemoglu, Daron (2009). "El modelo de crecimiento de Solow". Introducción al crecimiento económico moderno . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 26–76. ISBN 978-0-691-13292-1.
2. Solow, Robert M. (febrero de 1956). "Una contribución a la teoría del crecimiento económico". Revista Trimestral de Economía . 70 (1): 65–94. doi :10.2307/1884513. hdl : 10338.dmlcz/143862 . JSTOR  1884513.Pdf.
3. Swan, Trevor W. (noviembre de 1956). "Crecimiento económico y acumulación de capital". Registro Económico . 32 (2): 334–361. doi :10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x.
4. Cass D (1965): "Crecimiento óptimo en un modelo agregativo de acumulación de capital, The Review of Economic Studies, 32(3):233-240, jstor.
5. Cass endogeneiza la tasa de ahorro modelando explícitamente la decisión del consumidor de consumir y ahorrar. Esto se hace agregando un problema de optimización del hogar al modelo de Solow. véase también Giri R (sin fecha, antes de 2022): Conferencia 3 – Modelo de crecimiento con ahorro endógeno: modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)
6. Solow, Robert M. (1957). "El cambio técnico y la función de producción agregada". Revista de Economía y Estadística . 39 (3): 312–320. doi :10.2307/1926047. JSTOR  1926047.Pdf.
7. Haines, Joel D.; Sharif, Nawaz M. (2006). "Un marco para gestionar la sofisticación de los componentes de la tecnología para la competencia global". Revisión de Competitividad . 16 (2): 106–121. doi :10.1108/cr.2006.16.2.106.
8. Eric Frey (2017). "El modelo y nivel de vida de Solow". Revista universitaria de modelado matemático: uno + dos . 7 (2 (Artículo 5)): Resumen. doi : 10.5038/2326-3652.7.2.4879 . ISSN  2326-3652. OCLC  7046600490. Archivado desde el original el 22 de septiembre de 2017.
9. Blume, Lawrence E.; Sargent, Thomas J. (1 de marzo de 2015). "Harrod 1939". La Revista Económica . 125 (583): 350–377. doi : 10.1111/ecoj.12224 . ISSN  1468-0297.
10. Besomi, Daniele (2001). "La dinámica de Harrod y la teoría del crecimiento: la historia de una atribución errónea". Revista de Economía de Cambridge . 25 (1): 79–96. doi :10.1093/cje/25.1.79. JSTOR  23599721.
11. Harrod, RF (1939). "Un ensayo sobre teoría dinámica". La Revista Económica . 49 (193): 14–33. doi :10.2307/2225181. JSTOR  2225181.
12. Halsmayer, Verena; Hoover, Kevin D. (3 de julio de 2016). "Harrod de Solow: transformar la dinámica macroeconómica en un modelo de crecimiento a largo plazo". La Revista Europea de Historia del Pensamiento Económico . 23 (4): 561–596. doi :10.1080/09672567.2014.1001763. ISSN  0967-2567. S2CID  153351897.
13. Romer, David (2006). Macroeconomía avanzada . McGraw-Hill. págs. 31–35. ISBN 9780072877304.
14. Baumol, William J. (1986). "Crecimiento de la productividad, convergencia y bienestar: lo que muestran los datos a largo plazo". La revisión económica estadounidense . 76 (5): 1072–1085. JSTOR  1816469.
15. Barelli, Paulo; Pessôa, Samuel de Abreu (2003). "Las condiciones de Inada implican que la función de producción debe ser asintóticamente Cobb-Douglas" (PDF) . Cartas de Economía . 81 (3): 361–363. doi :10.1016/S0165-1765(03)00218-0. hdl : 10438/1012 .
16. Litina, Anastasia; Palivos, Theodore (2008). "¿Las condiciones de Inada implican que la función de producción debe ser asintóticamente Cobb-Douglas? Un comentario". Cartas de Economía . 99 (3): 498–499. doi :10.1016/j.econlet.2007.09.035.
17. Romer, David (2011). "El modelo de crecimiento de Solow". Macroeconomía avanzada (Cuarta ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5.
18. Caselli, F.; Feyrer, J. (2007). "El producto marginal del capital". La revista trimestral de economía . 122 (2): 535–68. CiteSeerX 10.1.1.706.3505 . doi :10.1162/qjec.122.2.535. S2CID  9329404. 
19. Lucas, Robert (1990). "¿Por qué el capital no fluye de los países ricos a los pobres?". Revista económica estadounidense . 80 (2): 92–96.
20. Mankiw, N. Gregorio; Romer, David; Weil, David N. (mayo de 1992). "Una contribución a la empírica del crecimiento económico". La revista trimestral de economía . 107 (2): 407–437. CiteSeerX 10.1.1.335.6159 . doi :10.2307/2118477. JSTOR  2118477. S2CID  1369978. 
21. Klenow, Peter J.; Rodríguez-Clare, Andrés (enero de 1997). "El renacimiento neoclásico de la economía del crecimiento: ¿ha ido demasiado lejos?". En Bernanke, Ben S.; Rotemberg, Julio (eds.). NBER Macroeconomics Annual 1997, Volumen 12. Oficina Nacional de Investigaciones Económicas. págs. 73-114. ISBN 978-0-262-02435-8.
22. Bretón, TR (2013). "¿Tenían razón Mankiw, Romer y Weil? Una conciliación de los efectos micro y macro de la escolarización sobre los ingresos" (PDF) . Dinámica Macroeconómica . 17 (5): 1023-1054. doi :10.1017/S1365100511000824. hdl : 10784/578 . S2CID  154355849.
23. Bretón, TR (2013). "El papel de la educación en el crecimiento económico: teoría, historia y rendimientos actuales". Investigacion Educativa . 55 (2): 121-138. doi :10.1080/00131881.2013.801241. S2CID  154380029.
24. Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas". Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 37–51. ISBN 978-0-262-02553-9.
25. Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas". Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 461–509. ISBN 978-0-262-02553-9.

Otras lecturas

• Agénor, Pierre-Richard (2004). "Crecimiento y progreso tecnológico: el modelo de Solow-Swan". La economía del ajuste y el crecimiento (Segunda ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 439–462. ISBN 978-0-674-01578-4.
• Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas". Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 23–84. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Burmeister, Edwin; Dobell, A.Rodney (1970). "Modelos de crecimiento unisectorial". Teorías matemáticas del crecimiento económico . Nueva York: Macmillan. págs. 20–64.
• Dornbusch, Rüdiger ; Fischer, Stanley ; Startz, Richard (2004). "Teoría del crecimiento: el modelo neoclásico". Macroeconomía (Novena ed.). Nueva York: McGraw-Hill Irwin. págs. 61–75. ISBN 978-0-07-282340-0.
• Granjero, Roger EA (1999). "Teoría del crecimiento neoclásico". Macroeconomía (Segunda ed.). Cincinnati: suroeste. págs. 333–355. ISBN 978-0-324-12058-5.
• Ferguson, Brian S.; Lim, GC (1998). Introducción a los modelos económicos dinámicos. Manchester: Prensa de la Universidad de Manchester. págs. 42–48. ISBN 978-0-7190-4996-5.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). "El modelo de crecimiento neoclásico". Dinámica económica (Tercera ed.). Berlín: Springer. págs. 175–189. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Halsmayer, Verena (2014). "Del modelado exploratorio a la experiencia técnica: el modelo de crecimiento de Solow como diseño multipropósito". Historia de la Economía Política . 46 (Suplemento 1, MIT y la transformación de la economía estadounidense ): 229–251. doi : 10.1215/00182702-2716181 . Consultado el 29 de noviembre de 2017 .
• Intriligador, Michael D. (1971). Optimización Matemática y Teoría Económica. Acantilados de Englewood: Prentice-Hall. págs. 398–416. ISBN 978-0-13-561753-3.
• van Rijckeghem Willy (1963): La estructura de algunos modelos de crecimiento macroeconómico: una comparación. Weltwirtschaftliches Archiv volumen 91 págs. 84-100

enlaces externos

• Videos del modelo de Solow: más de 20 videos que explican la derivación de las conclusiones del modelo de crecimiento de Solow
• Explicación en video de la Universidad Revolución Marginal.
• Subprograma de Java donde puede experimentar con parámetros y aprender sobre el modelo de Solow
• Modelo de crecimiento de Solow de Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project .
• Una explicación paso a paso de cómo entender el Modelo de Solow
• Curso del profesor José-Víctor Ríos-Rull en la Universidad de Minnesota