Modelo de Cox-Ingersoll-Ross

Modelo estocástico para la evolución de los tipos de interés financieros

Tres trayectorias de procesos CIR

En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de los tipos de interés . Es un tipo de "modelo de un factor" ( modelo de tasa corta ), ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados ​​por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tipos de interés . Fue introducido en 1985 ^[1] por John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross como una extensión del modelo Vasicek , en sí mismo un proceso Ornstein-Uhlenbeck .

El modelo

proceso CIR

El modelo CIR describe la tasa de interés instantánea con un proceso de raíz cuadrada de Feller , cuya ecuación diferencial estocástica es ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$

donde es un proceso de Wiener (que modela el factor de riesgo de mercado aleatorio) y , y son los parámetros . El parámetro corresponde a la velocidad de ajuste a la media y a la volatilidad. El factor de deriva, , es exactamente el mismo que en el modelo de Vasicek. Garantiza la reversión media del tipo de interés hacia el valor de largo plazo , con la velocidad de ajuste regida por el parámetro estrictamente positivo . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

El factor de desviación estándar , evita la posibilidad de tasas de interés negativas para todos los valores positivos de y . También se excluye un tipo de interés cero si se cumple la condición ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

se cumple. De manera más general, cuando la tasa ( ) es cercana a cero, la desviación estándar ( ) también se vuelve muy pequeña, lo que amortigua el efecto del shock aleatorio sobre la tasa. En consecuencia, cuando el tipo se acerca a cero, su evolución queda dominada por el factor de deriva, que empuja el tipo hacia arriba (hacia el equilibrio ). ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

En el caso , el proceso de raíz cuadrada de Feller se puede obtener a partir del cuadrado de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck . Es ergódico y posee una distribución estacionaria. Se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica. ${\displaystyle 2ab=\sigma ^{2}\,}$

Distribución

• Distribución futura

La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular de forma cerrada:

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

donde , e Y es una distribución chi-cuadrado no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad . Formalmente la función de densidad de probabilidad es: ${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

donde , , y es una función de Bessel modificada de primer tipo . ${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$ ${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$ ${\displaystyle v=cr_{t+T}}$ ${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$ ${\displaystyle q}$

• Distribución asintótica

Debido a la reversión de la media, a medida que el tiempo aumenta, la distribución de se acercará a una distribución gamma con la densidad de probabilidad de: ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

dónde y . ${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

Propiedades

• Reversión media ,
• Volatilidad dependiente del nivel ( ), ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• Para un positivo dado, el proceso nunca tocará cero, si ; de lo contrario, ocasionalmente puede tocar el punto cero, ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$, por lo que la media a largo plazo es , ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

Calibración

• Mínimos cuadrados ordinarios

El SDE continuo se puede discretizar de la siguiente manera

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

que es equivalente a

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

proporcionado es niid (0,1). Esta ecuación se puede utilizar para una regresión lineal. ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• Estimación de martingala
• Máxima verosimilitud

Simulación

La simulación estocástica del proceso CIR se puede lograr mediante dos variantes:

• Discretización
• Exacto

Precio de los bonos

Bajo el supuesto de no arbitraje , se puede fijar el precio de un bono utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es afín exponencialmente a la tasa de interés:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}$

dónde

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Extensiones

El modelo CIR utiliza un caso especial de difusión por salto afín básica , que aún permite una expresión cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir en el modelo funciones variables en el tiempo que reemplacen a los coeficientes para hacerlo consistente con una estructura temporal preasignada de tasas de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). ^[2] Un enfoque más manejable es el de Brigo y Mercurio (2001b) ^[3], donde se añade al modelo un cambio externo dependiente del tiempo para mantener la coherencia con una estructura de tasas de entrada.

Lin Chen (1996) ofrece una extensión significativa del modelo CIR al caso de media estocástica y volatilidad estocástica y se conoce como modelo de Chen . Una extensión más reciente para manejar la volatilidad de los clusters, las tasas de interés negativas y las diferentes distribuciones es el llamado "CIR #" de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, ^[4] 2019, ^{[5] [6]} 2020, ^[7] 2021 , ^[8] 2023 ^{[9] ) y Di Francesco y Kamm (2021, [10]} 2022 ^[11] ), propuestos como modelos CIR y CIR, propusieron una extensión más simple centrada en los tipos de interés negativos. .

Ver también

• Modelo casco-blanco
• modelo vasicek
• modelo chen

Referencias

1. "Una teoría de la estructura temporal de los tipos de interés: la sociedad econométrica". www.econometricsociety.org . Consultado el 14 de octubre de 2023 .
2. Maghsoodi, Yoosef (enero de 1996). "Solución de la Estructura de Plazo Cir Extendido y Valoración de Opciones de Bonos". Finanzas Matemáticas . 6 (1): 89-109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x. ISSN  0960-1627.
3. Brigo, Damián; Mercurio, Fabio (1 de julio de 2001). "Una extensión de cambio determinista de modelos de tasa corta analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo". Finanzas y Estocástica . 5 (3): 369–387. doi :10.1007/PL00013541. ISSN  0949-2984. S2CID  35316609.
4. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Búfalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para el modelado de tasas CIR a corto plazo". Nuevos métodos en modelado de renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Publicaciones internacionales Springer. págs. 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
5. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar los tipos de interés del mercado mediante el modelo CIR". Estudios de Economía y Finanzas . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
6. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tipos de interés con un modelo CIR". La Revista de Finanzas de Riesgo . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
7. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Previsión de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Revista de previsión . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/para.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
8. Orlando, Giuseppe; Búfalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Previsión de tipos de interés: entre Hull y White y el CIR#: cómo hacer que funcione un modelo de un solo factor". Revista de previsión . 40 (8): 1566-1580. doi : 10.1002/para.2783 . ISSN  0277-6693.
9. Orlando, Giuseppe; Búfalo, Michele (14 de julio de 2023). "Previsión de series temporales con el modelo CIR#: de los sentimientos agitados de los mercados al turismo estacional regular". Desarrollo Tecnológico y Económico de la Economía . 29 (4): 1216-1238. doi : 10.3846/tede.2023.19294 . ISSN  2029-4921.
10. Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (4 de octubre de 2021). "Cómo manejar los tipos de interés negativos en un marco CIR". Diario SeMa . 79 (4): 593–618. arXiv : 2106.03716 . doi : 10.1007/s40324-021-00267-w . S2CID  235358123.
11. Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (2022). "Sobre el modelo CIR extendido de cambio determinista en un marco de tipos de interés negativos". Revista Internacional de Estudios Financieros . 10 (2): 38. doi : 10.3390/ijfs10020038 . hdl : 11585/916048 .

Referencias adicionales

• Casco, John C. (2003). Opciones, Futuros y Otros Derivados . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
• Cox, JC, JE Ingersoll y SA Ross (1985). "Una teoría de la estructura temporal de los tipos de interés". Econométrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR  1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la Estructura de Plazos CIR ampliada y Valoración de Opciones de Bonos". Finanzas Matemáticas . 6 (6): 89-109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x.
• Damián Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed., edición de 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Brigo, Damián; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión de cambio determinista de modelos de tasa corta analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo". Finanzas y estocástica . 5 (3): 369–388. doi :10.1007/PL00013541. S2CID  35316609.
• Biblioteca de código abierto que implementa el proceso CIR en Python
• Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Búfalo, Michele (2020). "Previsión de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Revista de previsión . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/para.2642. ISSN  1099-131X. S2CID  126507446.