protocolo KLM

El esquema KLM o protocolo KLM es una implementación de la computación cuántica óptica lineal (LOQC) desarrollada en el año 2000 por Emanuel Knill, Raymond Laflamme y Gerard J. Milburn . Este protocolo permite la creación de computadoras cuánticas universales utilizando únicamente herramientas ópticas lineales . ^[1] El protocolo KLM utiliza elementos ópticos lineales, fuentes de fotón único y detectores de fotones como recursos para construir un esquema de computación cuántica que involucra solo recursos auxiliares , teletransportaciones cuánticas y correcciones de errores .

Descripción general

El esquema KLM induce una interacción efectiva entre fotones mediante la realización de mediciones proyectivas con fotodetectores , lo que entra en la categoría de computación cuántica no determinista . Se basa en un cambio de signo no lineal entre dos qubits que utiliza dos fotones ancilla y post-selección. ^[2] También se basa en las demostraciones de que la probabilidad de éxito de las puertas cuánticas puede acercarse a uno mediante el uso de estados entrelazados preparados de forma no determinista y la teletransportación cuántica con operaciones de un solo qubit. ^{[3] [4]} Sin una tasa de éxito suficientemente alta de una sola unidad de puerta cuántica, puede requerir una cantidad exponencial de recursos informáticos. El esquema KLM se basa en el hecho de que una codificación cuántica adecuada puede reducir los recursos para obtener qubits codificados con precisión de manera eficiente con respecto a la precisión lograda, y puede hacer que el LOQC sea tolerante a fallas por pérdida de fotones , ineficiencia del detector y decoherencia de fase . LOQC se puede implementar de manera sólida a través del esquema KLM con un requisito de recursos lo suficientemente bajo como para sugerir una escalabilidad práctica, lo que la convierte en una tecnología para el procesamiento de información cuántica tan prometedora como otras implementaciones conocidas.

Elementos del LOQC en el esquema KLM

Qubits y modos

Para evitar perder generalidad, la discusión siguiente no se limita a un caso particular de representación modal. Un estado escrito como significa un estado con cero fotones en modo (podría ser el canal de polarización "vertical") y un fotón en el modo (podría ser el canal de polarización "horizontal"). ${\displaystyle |0,1\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$

En el protocolo KLM, cada uno de los fotones suele estar en uno de dos modos, y los modos son diferentes entre los fotones (la posibilidad de que un modo esté ocupado por más de un fotón es cero). Este no es el caso sólo durante las implementaciones de puertas cuánticas controladas como CNOT. Cuando el estado del sistema es el descrito, los fotones se pueden distinguir, ya que están en diferentes modos, y por lo tanto un estado de qubit se puede representar usando un solo fotón en dos modos, vertical (V) y horizontal (H): por ejemplo, y . Es común referirse a los estados definidos mediante ocupación de modos como estados de Fock . ${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$

Estas notaciones son útiles en computación cuántica , comunicación cuántica y criptografía cuántica . Por ejemplo, es muy fácil considerar la pérdida de un solo fotón usando estas notaciones, simplemente sumando el estado de vacío que contiene cero fotones en esos dos modos. Como otro ejemplo, cuando se tienen dos fotones en dos modos separados (por ejemplo, dos intervalos de tiempo o dos brazos de un interferómetro ), es fácil describir un estado entrelazado de los dos fotones. El estado singlete (dos fotones enlazados con un número cuántico de espín general ) se puede describir de la siguiente manera: si y describen los estados básicos de los dos modos separados, entonces el estado singlete es ${\displaystyle |0,0\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{a},|0,1\rangle _{VH}^{a}}$ ${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{b},|0,1\rangle _{VH}^{b}}$ ${\displaystyle (|1,0\rangle _{VH}^{a}|0,1\rangle _{VH}^{b}-|0,1\rangle _{VH}^{a}|1,0\rangle _{VH}^{b})/{\sqrt {2}}.}$

Medición/lectura del estado

En el protocolo KLM, se puede leer o medir un estado cuántico utilizando detectores de fotones en modos seleccionados. Si un fotodetector detecta una señal de fotón en un modo determinado, significa que el estado del modo correspondiente es un estado de 1 fotón antes de la medición. Como se analiza en la propuesta de KLM, ^[1] la pérdida de fotones y la eficiencia de detección influyen dramáticamente en la confiabilidad de los resultados de las mediciones. El problema de falla correspondiente y los métodos de corrección de errores se describirán más adelante.

En los diagramas de circuitos se utilizará un triángulo que apunta hacia la izquierda para representar el operador de lectura de estado en este artículo. ^[1]

Implementaciones de puertas cuánticas elementales.

Haciendo caso omiso de la corrección de errores y otras cuestiones, el principio básico en las implementaciones de puertas cuánticas elementales utilizando sólo espejos, divisores de haz y desfasadores es que, utilizando estos elementos ópticos lineales , se puede construir cualquier operación unitaria arbitraria de 1 qubit; en otras palabras, esos elementos ópticos lineales admiten un conjunto completo de operadores en cualquier qubit.

La matriz unitaria asociada a un divisor de haz es: ${\displaystyle \mathbf {B} _{\theta ,\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$,

donde y están determinados por la amplitud de reflexión y la amplitud de transmisión (la relación se dará más adelante para un caso más simple). Para un divisor de haz simétrico, que tiene un desplazamiento de fase bajo la condición de transformación unitaria y , se puede demostrar que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$ ${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$,

que es una rotación del estado de qubit único alrededor del eje en la esfera de Bloch . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)}$

Un espejo es un caso especial donde la tasa de reflexión es 1, de modo que el operador unitario correspondiente es una matriz de rotación dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Para la mayoría de los casos de divisores de haz utilizados en QIP, el ángulo de incidencia . ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$

De manera similar, un operador desfasador se asocia con un operador unitario descrito por , o, si está escrito en un formato de 2 modos ${\displaystyle \mathbf {P} _{\phi }}$ ${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(global phase ignored)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$,

lo que equivale a una rotación alrededor del eje. ${\displaystyle -\phi }$ ${\displaystyle z}$

Dado que dos rotaciones cualesquiera a lo largo de ejes de rotación ortogonales pueden generar rotaciones arbitrarias en la esfera de Bloch, se puede utilizar un conjunto de espejos y divisores de haz simétricos para realizar operadores arbitrarios para QIP. Las siguientes figuras son ejemplos de implementación de una puerta Hadamard y una puerta Pauli-X (NO puerta) mediante el uso de divisores de haz (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas de cruce con parámetros y ) y espejos (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas de cruce). líneas con parámetro ). ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R(\theta )}$

En las figuras anteriores, un qubit se codifica utilizando dos canales de modo (líneas horizontales): representa un fotón en el modo superior y representa un fotón en el modo inferior. ${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

En el esquema KLM, las manipulaciones de qubits se realizan mediante una serie de operaciones no deterministas con una probabilidad de éxito cada vez mayor. La primera mejora de esta implementación que se discutirá es la puerta invertida de signo condicional no determinista.

Implementación de puerta abatible de signo condicional no determinista

Un elemento importante del esquema KLM es el cambio de signo condicional o la puerta de cambio de signo no lineal ( puerta NS ), como se muestra en la figura siguiente a la derecha. Proporciona un cambio de fase no lineal en un modo condicionado a dos modos auxiliares.

Implementación de óptica lineal de NS-gate. Los elementos enmarcados en el cuadro con borde discontinuo son la implementación de la óptica lineal con tres divisores de haz y un desfasador (ver texto para parámetros). Los modos 2 y 3 son modos auxiliares.

En la imagen de la derecha, las etiquetas a la izquierda del cuadro inferior indican los modos. La salida se acepta solo si se detecta un fotón en el modo 2 y cero fotones en el modo 3, donde los modos auxiliares 2 y 3 están preparados como estado. El subíndice es el cambio de fase de la salida y está determinado por los parámetros de los elementos ópticos internos elegidos. ^[1] Para el caso, se utilizan los siguientes parámetros: , , , , , y . Para el caso, los parámetros se pueden elegir como , , , , , y . De manera similar, al cambiar los parámetros de los divisores de haz y los desfasadores, o al combinar múltiples puertas NS, se pueden crear varias puertas cuánticas. Al compartir dos modos ancilla, Knill inventó la siguiente puerta Z controlada (ver la figura de la derecha) con una tasa de éxito de 2/27. ^[5] ${\displaystyle |1,0\rangle _{2,3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle \theta _{1}=22.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}=65.5302^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{3}=-22.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{3}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{4}=180^{\circ }}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /2}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=36.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{1}=88.24^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}=62.25^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{2}=-66.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{3}=-36.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{3}=-11.25^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{4}=102.24^{\circ }}$

Implementación de óptica lineal de Controlled-Z Gate con modos auxiliares etiquetados como 2 y 3. y . ${\displaystyle \theta =54.74^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta '=17.63^{\circ }}$

La ventaja de usar puertas NS es que se puede garantizar que la salida se procese condicionalmente con una tasa de éxito que se puede mejorar a casi 1. Usando la configuración como se muestra en la figura anterior a la derecha, la tasa de éxito de una puerta NS es . Para mejorar aún más la tasa de éxito y resolver el problema de escalabilidad, es necesario utilizar la teletransportación de puerta, que se describe a continuación. ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle 1/4}$

Teletransportación de puertas y puertas casi deterministas.

Dado el uso de puertas cuánticas no deterministas para KLM, puede haber solo una probabilidad muy pequeña de que un circuito con puertas con una posibilidad de éxito de una sola puerta funcione perfectamente ejecutando el circuito una vez. Por lo tanto, las operaciones deben repetirse en promedio en el orden de veces o dichos sistemas deben ejecutarse en paralelo. De cualquier manera, el tiempo requerido o los recursos del circuito aumentan exponencialmente. ^{[ cita necesaria ]} En 1999, Gottesman y Chuang señalaron que se pueden preparar las puertas probabilísticas fuera de línea del circuito cuántico mediante el uso de teletransportación cuántica . ^[4] La idea básica es que cada puerta probabilística se prepara fuera de línea y la señal del evento exitoso se teletransporta de regreso al circuito cuántico. En la figura de la derecha se muestra una ilustración de la teletransportación cuántica. Como puede verse, el estado cuántico en el modo 1 se teletransporta al modo 3 a través de una medición de Bell y un estado de Bell de recurso entrelazado , donde el estado 1 puede considerarse como preparado fuera de línea. ${\displaystyle p^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{-N}}$ ${\displaystyle p^{-N}}$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$

El estado de Bell del recurso se puede generar a partir del estado mediante el uso de un espejo con el parámetro ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}.}$

Representación del circuito cuántico de teletransportación cuántica.

Mediante el uso de la teletransportación, se pueden preparar muchas puertas probabilísticas en paralelo con estados entrelazados de fotones , enviando una señal de control al modo de salida. Mediante el uso de puertas probabilísticas en paralelo fuera de línea, se puede obtener una tasa de éxito de , que se acerca a 1 a medida que aumenta. El número de puertas necesarias para lograr una cierta precisión aumenta de forma polinomial en lugar de exponencial. En este sentido, el protocolo KLM ahorra recursos. En 2011 se demostró un experimento que utilizó la puerta NO controlada originalmente propuesta por KLM con entrada de cuatro fotones, ^[6] y arrojó una fidelidad promedio de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F=0.82\pm 0.01}$

Detección y corrección de errores

Como se analizó anteriormente, la probabilidad de éxito de las puertas de teletransportación se puede acercar arbitrariamente a 1 preparando estados entrelazados más grandes . Sin embargo, el enfoque asintótico de la probabilidad de 1 es bastante lento con respecto al número de fotones . Un enfoque más eficiente es codificar contra fallas de puerta (error) basándose en el modo de falla bien definido de los teletransportadores. En el protocolo KLM, la falla del teletransportador se puede diagnosticar si se detectan cero o fotones. Si el dispositivo informático puede codificarse contra mediciones accidentales de un cierto número de fotones, entonces será posible corregir las fallas de la puerta y aumentará la probabilidad de aplicar la puerta con éxito. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

Se han llevado a cabo muchos ensayos experimentales utilizando esta idea (ver, por ejemplo, Refs ^{[7] [8] [9]} ). Sin embargo, todavía se necesita una gran cantidad de operaciones para lograr una probabilidad de éxito muy cercana a 1. Para promover el protocolo KLM como una tecnología viable, se necesitan puertas cuánticas más eficientes. Este es el tema de la siguiente parte.

Mejoras

En este apartado se analizan las mejoras del protocolo KLM que se han estudiado tras la propuesta inicial.

Hay muchas maneras de mejorar el protocolo KLM para LOQC y hacer que LOQC sea más prometedor. A continuación se presentan algunas propuestas del artículo de revisión Ref. ^[10] y otros artículos posteriores:

• Uso de estados de clúster en computación cuántica óptica .
• Revisión de la computación cuántica óptica basada en circuitos .
• Uso de purificación por entrelazamiento multipartito determinista de un solo paso con óptica lineal para generar estados de fotones entrelazados. ^[11]

Existen varios protocolos para usar estados de clúster para mejorar el protocolo KLM, el modelo de cálculo con esos protocolos es una implementación LOQC de la computadora cuántica unidireccional :

• El protocolo Yoran-Reznik: este protocolo utiliza cadenas de clústeres para aumentar la probabilidad de éxito de la teletransportación.
• El protocolo Nielsen: este protocolo mejora el protocolo Yoran-Reznik al usar primero la teletransportación para agregar qubits a las cadenas de clústeres y luego usa las cadenas de clústeres ampliadas para aumentar aún más la probabilidad de éxito de la teletransportación.
• El protocolo Browne-Rudolph: este protocolo mejora el protocolo Nielsen al utilizar la teletransportación no solo para agregar qubits a las cadenas de clústeres sino también para fusionarlos.

Ver también

• Muestreo de bosones

Referencias

1. , E.; Laflamme, R.; Milburn, GJ (2001). "Un esquema para la computación cuántica eficiente con óptica lineal". Naturaleza . 409 (6816). Grupo editorial de la naturaleza: 46–52. Código Bib :2001Natur.409...46K. doi :10.1038/35051009. PMID  11343107. S2CID  4362012.
2. Adleman, Leonard M.; DeMarrais, Jonathan; Huang, Ming-Deh A. (1997). "Computabilidad cuántica". Revista SIAM de Computación . 26 (5): 1524-1540. doi :10.1137/S0097539795293639. ISSN  0097-5397.
3. Bennett, Charles H.; Brassard, Gilles; Crepeau, Claude; Jozsa, Richard; Peres, Asher; Wootters, William K. (29 de marzo de 1993). "Teletransportar un estado cuántico desconocido a través de canales duales clásicos y de Einstein-Podolsky-Rosen". Cartas de revisión física . 70 (13): 1895–1899. Código bibliográfico : 1993PhRvL..70.1895B. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1895 . PMID  10053414.
4. Gottesman, Daniel; Chuang, Isaac L. (25 de noviembre de 1999). "Demostrar la viabilidad de la computación cuántica universal mediante teletransportación y operaciones de un solo qubit". Naturaleza . 402 (6760): 390–393. arXiv : quant-ph/9908010 . Código Bib :1999Natur.402..390G. doi :10.1038/46503. ISSN  0028-0836. S2CID  4411647.
5. Knill, E. (14 de noviembre de 2002). "Puertas cuánticas mediante óptica lineal y postselección". Revisión física A. 66 (5): 052306. arXiv : quant-ph/0110144 . Código Bib : 2002PhRvA..66e2306K. doi : 10.1103/PhysRevA.66.052306. S2CID  119529530.
6. Okamoto, Ryo; O'Brien, Jeremy L.; Hofmann, Holger F.; Takeuchi, Shigeki (21 de junio de 2011). "Realización de un circuito cuántico NO fotónico controlado por Knill-Laflamme-Milburn que combina no linealidades ópticas efectivas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (25): 10067–10071. arXiv : 1006.4743 . Código Bib : 2011PNAS..10810067O. doi : 10.1073/pnas.1018839108 . ISSN  0027-8424. PMC 3121828 . PMID  21646543. 
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