Estereorradián

Unidad de ángulo sólido derivada del SI

El estereorradián (símbolo: sr ) o radián cuadrado ^{[1] [2]} es la unidad de ángulo sólido en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Se utiliza en geometría tridimensional y es análogo al radián , que cuantifica los ángulos planos . Un ángulo sólido en estereorradián, proyectado sobre una esfera, da el área de un casquete esférico en la superficie, mientras que un ángulo en radianes, proyectado sobre un círculo, da la longitud de un arco circular en la circunferencia. El nombre se deriva del griego στερεός stereos 'sólido' + radián.

En el Sistema Internacional de Unidades (Système Internationale d'unités o SI), el estereorradián se considera una unidad adimensional , el cociente del área subtendida y el cuadrado de su distancia al centro. Tanto el numerador como el denominador de esta relación tienen la longitud dimensional al cuadrado (es decir, L ² /L ² = 1 , adimensional). En el SI, "ángulo sólido" es el número de estereorradián en el ángulo sólido físico, por lo que el "estereorradián" SI es el número de estereorradián físicos en un estereorradián físico. Sin embargo, es útil distinguir entre cantidades adimensionales de un tipo diferente , como el radián (en el SI, una relación de cantidades de longitud dimensional), por lo que se utiliza el símbolo sr para indicar un ángulo sólido físico. El estereorradián se define como un radián cuadrado: sr = 1 rad ² . Por lo tanto, el "estereorradián" del SI es "sr" = (1 sr)/sr = 1. Por ejemplo, la intensidad radiante se puede medir en vatios por estereorradián (W⋅sr ⁻¹ ). El estereorradián era anteriormente una unidad complementaria del SI , pero esta categoría se abolió en 1995 y ahora se considera una unidad derivada del SI .

Ángulo sólido de países y otras entidades respecto al centro de la Tierra.

Definición

Un estereorradián se puede definir como el ángulo sólido subtendido en el centro de una esfera unitaria por una unidad de área en su superficie. Para una esfera general de radio r , cualquier porción de su superficie con área A = r ² subtiende un estereorradián en su centro. ^[3]

El ángulo sólido está relacionado con el área que corta de una esfera:

${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\ {\text{sr}}\,={\frac {2\pi h}{r}}\ {\text{sr}},}$

dónde

• Ω es el ángulo sólido
• A es el área de la superficie de la tapa esférica , ${\displaystyle 2\pi rh}$
• r es el radio de la esfera,
• h es la altura de la tapa, y
• sr es la unidad, estereorradián.

Como el área de superficie A de una esfera es 4 πr ² , la definición implica que una esfera subtiende 4 π estereorradián (≈ 12,56637 sr) en su centro, o que un estereorradián subtiende 1/4 π ≈ 0,07958 de una esfera. Por el mismo argumento, el ángulo sólido máximo que se puede subtendido en cualquier punto es 4 π sr .

Otras propiedades

Sección de cono (1) y casquete esférico (2) que subtienden un ángulo sólido de un estereorradián dentro de una esfera

El área de un casquete esférico es A = 2 πrh , donde h es la "altura" del casquete. Si A = r ² , entonces . A partir de esto, se puede calcular el ángulo de apertura del plano 2 θ de la sección transversal de un cono simple cuyo ángulo sólido es igual a un estereorradián: ${\displaystyle {\tfrac {h}{r}}={\tfrac {1}{2\pi }}}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right),}$

dando θ ≈ 0,572 rad o 32,77° y 2 θ ≈ 1,144 rad o 65,54°.

El ángulo sólido de un cono simple cuya sección transversal subtiende el ángulo 2 θ es:

${\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos \theta ){\text{ sr}}=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\text{ sr}}.}$

Un estereorradián también es igual a una esfera completa ( spat ), a ≈ 3282,80635  grados cuadrados , y al área esférica de un polígono que tiene un exceso de ángulo de 1 radián. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4\pi }}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {360^{\circ }}{2\pi }}\right)^{2}}$

Múltiplos del SI

Los milisterradianes (msr) y microstereorradianes (μsr) se utilizan ocasionalmente para describir haces de luz y partículas . ^{[4] [5]} Rara vez se utilizan otros múltiplos.

Véase también

• n -esfera
• Spat (unidad angular)
• Constelaciones designadas por la UAI por área

Referencias

1. Stutzman, Warren L; Thiele, Gary A (22 de mayo de 2012). Teoría y diseño de antenas. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9.
2. Woolard, Edgar (2 de diciembre de 2012). Astronomía esférica. Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9.
3. "Estereorradián", McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms , quinta edición, Sybil P. Parker, editora en jefe. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5 . 
4. Stephen M. Shafroth, James Christopher Austin, Física atómica basada en aceleradores: técnicas y aplicaciones , 1997, ISBN 1563964848 , pág. 333 
5. R. Bracewell, Govind Swarup, "La antena espectroheliográfica de microondas de Stanford, un interferómetro de haz de lápiz de microesteradianes" IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22-30 (1961)

Enlaces externos

• Medios relacionados con Estereorradián en Wikimedia Commons