Esfera media

Un poliedro blanco opaco con cuatro caras triangulares y cuatro caras cuadriláteras está atravesado por una esfera azul transparente de aproximadamente el mismo tamaño, tangente a cada arista del poliedro. Las porciones visibles de la esfera, fuera del poliedro, forman tapas circulares en cada cara del poliedro, de dos tamaños: más pequeñas en las caras triangulares y más grandes en las caras cuadriláteras. Los círculos rojos en la superficie de la esfera, que pasan a través de estas tapas, marcan los horizontes visibles desde cada vértice del poliedro. Los círculos rojos tienen los mismos dos tamaños que las tapas circulares: círculos más pequeños rodean los vértices del poliedro donde se encuentran tres caras, y círculos más grandes rodean los vértices donde se encuentran cuatro caras. — Un poliedro y su esfera media. Los círculos rojos son los límites de los casquetes esféricos dentro de los cuales se puede ver la superficie de la esfera desde cada vértice.

En geometría , la esfera media o interesfera de un poliedro convexo es una esfera que es tangente a cada arista del poliedro. No todos los poliedros tienen una esfera media, pero los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasirregulares y semirregulares y sus duales ( sólidos Catalans ), todos tienen esferas medias. El radio de la esfera media se llama radio medio. Se dice que un poliedro que tiene una esfera media está inscrito en torno a esta esfera. ^[1]

Cuando un poliedro tiene una esfera media, se pueden formar dos empaquetamientos circulares perpendiculares sobre la esfera media, uno correspondiente a las adyacencias entre los vértices del poliedro, y el otro correspondiente de la misma manera a su poliedro polar , que tiene la misma esfera media. La longitud de cada arista del poliedro es la suma de las distancias desde sus dos puntos extremos a sus círculos correspondientes en este empaquetamiento circular.

Todo poliedro convexo tiene un poliedro combinatoriamente equivalente, el poliedro canónico , que sí tiene una esfera media, centrada en el centroide de los puntos de tangencia de sus aristas. Los algoritmos de aproximación numérica pueden construir el poliedro canónico, pero sus coordenadas no pueden representarse exactamente como una expresión de forma cerrada . Cualquier poliedro canónico y su dual polar pueden usarse para formar dos caras opuestas de un antiprisma de cuatro dimensiones .

Definición y ejemplos

Una esfera media de un poliedro convexo tridimensional se define como una esfera que es tangente a cada arista del poliedro. Es decir, cada arista debe tocarla, en un punto interior de la arista, sin cruzarla. Equivalentemente, es una esfera que contiene el círculo inscrito de cada cara del poliedro. ^[2] Cuando existe una esfera media, es única. No todo poliedro convexo tiene una esfera media; para tener una esfera media, cada cara debe tener un círculo inscrito (es decir, debe ser un polígono tangencial ), y todos estos círculos inscritos deben pertenecer a una única esfera. Por ejemplo, un cuboide rectangular tiene una esfera media solo cuando es un cubo, porque de lo contrario tiene rectángulos no cuadrados como caras, y estos no tienen círculos inscritos. ^[3]

Para un cubo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesianas , con vértices en los ocho puntos , los puntos medios de las aristas están a una distancia del origen. Por lo tanto, para este cubo, la esfera media está centrada en el origen, con un radio . Este es mayor que el radio de la esfera inscrita , , y menor que el radio de la esfera circunscrita , . De manera más general, para cualquier sólido platónico de longitud de arista , el radio medio es ^[4] ${\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ $1{\big /}\!{\sqrt {2}}$ ${\textstyle 1{\big /}\!{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1/2}$ ${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$ $\ell$

${\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ para un tetraedro regular ,
${\frac {1}{2}}\ell$ para un octaedro regular ,
${\frac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ para un cubo regular,
${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$ para un icosaedro regular , donde denota la proporción áurea , y ${\estilo de visualización \varphi}$
${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ para un dodecaedro regular .

Los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasirregulares y semirregulares y sus duales , tienen esferas medias. En los poliedros regulares, la esfera inscrita, la esfera media y la esfera circunscrita existen y son concéntricas , ^[5] y la esfera media toca cada arista en su punto medio. ^[6]

No todos los tetraedros irregulares tienen una esfera media. Los tetraedros que tienen una esfera media han sido llamados "tetraedros de Crelle"; forman una subfamilia de cuatro dimensiones del espacio de seis dimensiones de todos los tetraedros (tal como se parametriza por sus seis longitudes de arista). Más precisamente, los tetraedros de Crelle son exactamente los tetraedros formados por los centros de cuatro esferas que son todas tangentes externamente entre sí. En este caso, las seis longitudes de arista del tetraedro son las sumas por pares de los cuatro radios de estas esferas. ^[7] La esfera media de un tetraedro de este tipo toca sus aristas en los puntos donde dos de las cuatro esferas generadoras son tangentes entre sí, y es perpendicular a las cuatro esferas generadoras. ^[8]

Propiedades

Círculos tangentes

Si $O$ es la esfera media de un poliedro convexo $P$ , entonces la intersección de $O$ con cualquier cara de $P$ es un círculo que se encuentra dentro de la cara y es tangente a sus bordes en los mismos puntos donde la esfera media es tangente. Por lo tanto, cada cara de $P$ tiene un círculo inscrito y estos círculos son tangentes entre sí exactamente cuando las caras en las que se encuentran comparten un borde. (Sin embargo, no todos los sistemas de círculos con estas propiedades provienen de esferas medias). ^[1]

Dualmente, si $v$ es un vértice de $P$ , entonces existe un cono que tiene su vértice en $v$ y que es tangente a $O$ en un círculo; este círculo forma el límite de un casquete esférico dentro del cual la superficie de la esfera es visible desde el vértice. Es decir, el círculo es el horizonte de la esfera media, vista desde el vértice. Los círculos formados de esta manera son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden están conectados por una arista. ^[9]

Dualidad

Si un poliedro $P$ tiene una esfera media $O$ , entonces el poliedro polar con respecto a $O$ también tiene $a O$ como su esfera media. Los planos de las caras del poliedro polar pasan por los círculos de $O$ que son tangentes a los conos que tienen como vértices a $P$ . ^[2] Las aristas del poliedro polar tienen los mismos puntos de tangencia con la esfera media, en los que son perpendiculares a las aristas de $P$ . ^[10]

Longitudes de los bordes

Para un poliedro con una esfera media, es posible asignar un número real a cada vértice (la potencia del vértice con respecto a la esfera media) que sea igual a la distancia desde ese vértice hasta el punto de tangencia de cada arista que lo toca. Para cada arista, la suma de los dos números asignados a sus extremos es simplemente la longitud de la arista. Por ejemplo, los tetraedros de Crelle pueden parametrizarse mediante los cuatro números asignados de esta manera a sus cuatro vértices, lo que demuestra que forman una familia de cuatro dimensiones. ^[11]

Como ejemplo, los cuatro puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) forman uno de los tetraedros de Crelle, con tres triángulos rectángulos isósceles y un triángulo equilátero como cara. Estos cuatro puntos son los centros de cuatro esferas tangentes por pares, con radios para los tres puntos distintos de cero en el triángulo equilátero y para el origen. Estos cuatro números (tres iguales y uno menor) son los cuatro números que parametrizan este tetraedro. Tres de las aristas del tetraedro conectan dos puntos que tienen ambos el radio mayor; la longitud de estas aristas es la suma de estos radios iguales, . Las otras tres aristas conectan dos puntos con radios diferentes que suman uno. ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\aproximadamente 0,707$ $1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\aproximadamente 0,293$ ${\sqrt {2}}$

Cuando un poliedro con una esfera media tiene un ciclo hamiltoniano , la suma de las longitudes de las aristas del ciclo se puede subdividir de la misma manera en el doble de la suma de las potencias de los vértices. Como esta suma de potencias de los vértices no depende de la elección de las aristas del ciclo, todos los ciclos hamiltonianos tienen longitudes iguales. ^[12]

Poliedro canónico

Una forma más fuerte del teorema de empaquetamiento de círculos , al representar grafos planares mediante sistemas de círculos tangentes, establece que cada grafo poliédrico puede ser representado por los vértices y aristas de un poliedro con una esfera media. De manera equivalente, cualquier poliedro convexo puede transformarse en una forma combinatoriamente equivalente, con vértices, aristas y caras correspondientes, que tiene una esfera media. Los círculos del horizonte del poliedro resultante pueden transformarse, mediante proyección estereográfica , en un empaquetamiento de círculos en el plano euclidiano cuyo grafo de intersección es el grafo dado: sus círculos no se cruzan entre sí y son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden son adyacentes. ^[13] Aunque cada poliedro tiene una forma combinatoriamente equivalente con una esfera media, algunos poliedros no tienen ninguna forma equivalente con una esfera inscrita, o con una esfera circunscrita. ^[14]

Dos poliedros convexos cualesquiera con la misma red de caras y la misma esfera media pueden transformarse entre sí mediante una transformación proyectiva del espacio tridimensional que deja la esfera media en la misma posición. Esta transformación deja la esfera en su lugar, pero mueve puntos dentro de la esfera según una transformación de Möbius . ^[15] Cualquier poliedro con una esfera media, escalado de modo que la esfera media sea la esfera unidad, puede transformarse de esta manera en un poliedro para el cual el centroide de los puntos de tangencia está en el centro de la esfera. El resultado de esta transformación es una forma equivalente del poliedro dado, llamado poliedro canónico , con la propiedad de que todos los poliedros combinatoriamente equivalentes producirán los mismos poliedros canónicos entre sí, hasta la congruencia . ^[16] Una elección diferente de transformación convierte cualquier poliedro con una esfera media en uno que maximiza la distancia mínima de un vértice desde la esfera media. Se puede encontrar en tiempo lineal , y el poliedro canónico definido de esta manera alternativa tiene simetría máxima entre todas las formas combinatoriamente equivalentes del mismo poliedro. ^[17] Para poliedros con un grupo no cíclico de simetrías que preservan la orientación, las dos opciones de transformación coinciden. ^[18] Por ejemplo, el poliedro canónico de un cuboide , definido de cualquiera de estas dos maneras, es un cubo, con la distancia desde su centroide hasta los puntos medios de sus aristas igual a uno y su longitud de arista igual a . ^[19] ${\sqrt {2}}$

Construcción

Se puede construir una aproximación numérica al poliedro canónico para un grafo poliédrico dado representando el grafo y su grafo dual como empaquetamientos de círculos perpendiculares en el plano euclidiano, ^[20] aplicando una proyección estereográfica para transformarlo en un par de empaquetamientos de círculos en una esfera, buscando numéricamente una transformación de Möbius que lleve el centroide de los puntos de cruce al centro de la esfera y colocando los vértices del poliedro en puntos en el espacio que tengan los círculos duales del empaquetamiento transformado como sus horizontes. Sin embargo, las coordenadas y los radios de los círculos en el paso de empaquetamiento de círculos pueden ser números no construibles que no tienen una expresión exacta en forma cerrada utilizando operaciones aritméticas y de raíz $n$ -ésima. ^[21]

Como alternativa, un método numérico más simple para construir el poliedro canónico propuesto por George W. Hart trabaja directamente con las coordenadas de los vértices del poliedro, ajustando sus posiciones en un intento de hacer que las aristas tengan la misma distancia desde el origen, hacer que los puntos de distancia mínima desde el origen tengan el origen como su centroide y hacer que las caras del poliedro permanezcan planas. A diferencia del método de empaquetamiento de círculos, no se ha demostrado que este converja al poliedro canónico, y ni siquiera se garantiza que produzca un poliedro combinatoriamente equivalente al dado, pero parece funcionar bien en ejemplos pequeños. ^[19]

Aplicaciones

El poliedro canónico y su dual polar pueden utilizarse para construir un análogo cuatridimensional de un antiprisma , una de cuyas dos caras opuestas es combinatoriamente equivalente a cualquier poliedro tridimensional dado. Se desconoce si cada poliedro tridimensional puede utilizarse directamente como cara de un antiprisma cuatridimensional, sin reemplazarlo por su poliedro canónico, pero no siempre es posible hacerlo utilizando tanto un poliedro tridimensional arbitrario como su dual polar. ^[1]

Enjaulando un huevo

La esfera media en la construcción del poliedro canónico puede ser reemplazada por cualquier cuerpo liso y convexo . Dado un cuerpo así, cada poliedro tiene una realización combinatoriamente equivalente cuyos bordes son tangentes a este cuerpo. Esto se ha descrito como "enjaular un huevo": el cuerpo liso es el huevo y la realización poliédrica es su jaula. ^[22] Además, fijar tres bordes de la jaula para que tengan tres puntos específicos de tangencia en el huevo hace que esta realización se vuelva única. ^[23]

Véase también

Poliedro ideal , un poliedro hiperbólico en el que cada vértice se encuentra en la esfera en el infinito.

Notas

^ abc Grünbaum (2005).
^Por Coxeter (1973).
^ Rueda (1958).
^ Coxeter (1973), Tabla I(i), págs. 292-293. Véase la columna " ", donde es la notación de Coxeter para el radio medio, teniendo en cuenta también que Coxeter utiliza como longitud de arista (véase pág. 2). ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R}$ ${\estilo de visualización 2\ell}$
^ Coxeter (1973) afirma esto para los poliedros regulares; Cundy y Rollett 1961 para los poliedros arquimedianos.
^ Pugh (1976).
^ László (2017). Los tetraedros irregulares con esfera media proporcionan un contraejemplo a una afirmación incorrecta de Pugh (1976): no es cierto que solo los poliedros regulares tienen las tres características de esfera media, esfera interna y circunferencial.
^ Byer y Smeltzer (2015).
^ Ziegler (2007).
^ Cundy y Rollett (1961).
^ László (2017).
^ Grillete (2012).
^ Schramm (1992); Sachs (1994). Schramm afirma que Koebe (1936) afirmó la existencia de un poliedro equivalente con una esfera media, pero que Koebe solo demostró este resultado para poliedros con caras triangulares. Schramm atribuye el resultado completo a William Thurston , pero la parte relevante de las notas de la conferencia de Thurston [1] Archivado el 21 de enero de 2021 en Wayback Machine nuevamente solo establece el resultado explícitamente para poliedros triangulados.
^ Schramm (1992); Steinitz (1928).
^ Sachs (1994).
^ Ziegler (1995).
^ Berna y Eppstein (2001).
^ Nacido en primavera (2005).
^ por Hart (1997).
^ Mohar (1993).
^ Bannister y otros (2015).
^ Schramm (1992).
^ Liu y Zhou (2016).

Referencias

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