Medida invariante

En matemáticas , una medida invariante es una medida que se conserva mediante alguna función . La función puede ser una transformación geométrica . Por ejemplo, un ángulo circular es invariante bajo rotación, un ángulo hiperbólico es invariante bajo una función de compresión y una diferencia de pendientes es invariante bajo una función de cizallamiento . ^[1]

La teoría ergódica es el estudio de las medidas invariantes en sistemas dinámicos . El teorema de Krylov-Bogolyubov demuestra la existencia de medidas invariantes bajo ciertas condiciones en la función y el espacio considerados.

Definición

Sea un espacio medible y sea una función medible de a sí misma. Se dice que una medida en es invariante bajo si, para cada conjunto medible en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$$

En términos de la medida de impulso , esto establece que ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

La colección de medidas (generalmente medidas de probabilidad ) que son invariantes bajo a veces se denota La colección de medidas ergódicas , es un subconjunto de Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes también es invariante, por lo que es un conjunto convexo ; consiste precisamente en los puntos extremos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle E_{f}(X),}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle M_{f}(X)}$ ${\displaystyle E_{f}(X)}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$

En el caso de un sistema dinámico donde es un espacio medible como antes, es un monoide y es el mapa de flujo, se dice que una medida en es una medida invariante si es una medida invariante para cada mapa. Explícitamente, es invariante si y solo si ${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi :T\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .}$$

Dicho de otra manera, es una medida invariante para una secuencia de variables aleatorias (quizás una cadena de Markov o la solución de una ecuación diferencial estocástica ) si, siempre que la condición inicial se distribuye de acuerdo con así lo es para cualquier momento posterior. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t.}$

Cuando el sistema dinámico puede ser descrito por un operador de transferencia , entonces la medida invariante es un vector propio del operador, correspondiente a un valor propio de este siendo el valor propio más grande según lo dado por el teorema de Frobenius-Perron . ${\displaystyle 1,}$

Ejemplos

El mapeo por compresión deja invariable el ángulo hiperbólico a medida que mueve un sector hiperbólico (púrpura) a uno de la misma área. Los rectángulos azul y verde también mantienen la misma área

• Considere la línea real con su σ-álgebra de Borel habitual ; fije y considere el mapa de traslación dado por: Entonces la medida de Lebesgue unidimensional es una medida invariante para ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T_{a}.}$
• De manera más general, el espacio euclidiano en -dimensional con su σ-álgebra de Borel habitual, la medida de Lebesgue en -dimensional es una medida invariante para cualquier isometría del espacio euclidiano, es decir, una función que se puede escribir como para alguna matriz ortogonal y un vector. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• La medida invariante en el primer ejemplo es única hasta una renormalización trivial con un factor constante. Esto no tiene por qué ser necesariamente así: considere un conjunto que consta de solo dos puntos y la función identidad que deja cada punto fijo. Entonces, cualquier medida de probabilidad es invariante. Nótese que trivialmente tiene una descomposición en componentes invariantes y ${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$ ${\displaystyle T=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle \{B\}.}$
• La medida del área en el plano euclidiano es invariante bajo el grupo lineal especial de las matrices reales de determinante ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1.}$
• Cada grupo localmente compacto tiene una medida de Haar que es invariante bajo la acción del grupo ( traducción ).

Véase también

• Medida cuasi-invariante

Referencias

1. Geometría / Ángulos unificados en Wikilibros

• John von Neumann (1999) Medidas invariantes , American Mathematical Society ISBN  978-0-8218-0912-9