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Promedio

Promedio de acordes

En lenguaje corriente , un promedio es un número o valor único que representa mejor un conjunto de datos. El tipo de promedio que se toma como más representativo de una lista de números es la media aritmética  : la suma de los números dividida por la cantidad de números que hay en la lista. Por ejemplo, la media media de los números 2, 3, 4, 7 y 9 (que suman 25) es 5. Dependiendo del contexto, la estadística más representativa que se tomará como promedio podría ser otra medida de tendencia central , como el rango medio , la mediana , la moda o la media geométrica . Por ejemplo, el ingreso personal promedio a menudo se da como la mediana (el número por debajo del cual se encuentran el 50% de los ingresos personales y por encima del cual se encuentran el 50% de los ingresos personales) porque la media sería más alta al incluir los ingresos personales de unos pocos multimillonarios . Por esta razón, se recomienda evitar el uso de la palabra "promedio" cuando se habla de medidas de tendencia central y especificar qué medida promedio se está utilizando.

Propiedades generales

Si todos los números de una lista son el mismo número, entonces su promedio también es igual a este número. Esta propiedad es compartida por cada uno de los muchos tipos de promedio.

Otra propiedad universal es la monotonía : si dos listas de números A y B tienen la misma longitud, y cada entrada de la lista A es al menos tan grande como la entrada correspondiente en la lista B , entonces el promedio de la lista A es al menos el de la lista B. Además, todos los promedios satisfacen la homogeneidad lineal : si todos los números de una lista se multiplican por el mismo número positivo, entonces su promedio cambia por el mismo factor.

En algunos tipos de promedio, a los elementos de la lista se les asignan diferentes pesos antes de determinar el promedio. Estos incluyen la media aritmética ponderada , la media geométrica ponderada y la mediana ponderada . Además, para algunos tipos de promedio móvil , el peso de un elemento depende de su posición en la lista. Sin embargo, la mayoría de los tipos de promedio satisfacen la insensibilidad a la permutación : todos los elementos cuentan por igual para determinar su valor promedio y sus posiciones en la lista son irrelevantes; el promedio de (1, 2, 3, 4, 6) es el mismo que el de (3, 2, 6, 4, 1).

Pitagórico significa

La media aritmética , la media geométrica y la media armónica se conocen colectivamente como medias pitagóricas .

Ubicación estadística

La moda , la mediana y el rango medio se utilizan a menudo, además de la media , como estimaciones de la tendencia central en las estadísticas descriptivas . Todas ellas pueden considerarse como una forma de minimizar la variación en alguna medida; consulte Tendencia central § Soluciones a los problemas variacionales .

Modo

Comparación de la media aritmética , la mediana y la moda de dos distribuciones log-normales con diferente asimetría

El número que aparece con más frecuencia en una lista se denomina moda. Por ejemplo, la moda de la lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) es 3. Puede ocurrir que haya dos o más números que aparezcan con la misma frecuencia y con más frecuencia que cualquier otro número. En este caso, no hay una definición consensuada de moda. Algunos autores dicen que todos son modas y otros que no hay moda.

Mediana

La mediana es el número del medio del grupo cuando se ordenan los números. (Si hay un número par de números, se toma la media de los dos del medio).

Para hallar la mediana, ordena la lista según la magnitud de sus elementos y luego elimina repetidamente el par formado por los valores más alto y más bajo hasta que queden uno o dos valores. Si queda exactamente un valor, es la mediana; si quedan dos valores, la mediana es la media aritmética de estos dos. Este método toma la lista 1, 7, 3, 13 y la ordena para que se lea 1, 3, 7, 13. Luego se eliminan el 1 y el 13 para obtener la lista 3, 7. Como hay dos elementos en esta lista restante, la mediana es su media aritmética, (3 + 7)/2 = 5.

Gama media

El rango medio es la media aritmética de los valores más altos y más bajos de un conjunto.

Resumen de tipos

La tabla de símbolos matemáticos explica los símbolos utilizados a continuación.

Tipos varios

Otros promedios más sofisticados son: trimeana , trimediana y media normalizada, con sus generalizaciones. [1]

Se puede crear una métrica promedio propia utilizando la f -media generalizada :

donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto, utilizando f ( x ) = 1/ x , y la media geométrica es otro, utilizando f ( x ) = log  x .

Sin embargo, este método para generar medias no es lo suficientemente general como para capturar todos los promedios. Un método más general [2] [ verificación fallida ] para definir un promedio toma cualquier función g ( x 1x 2 , ...,  x n ) de una lista de argumentos que es continua , estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo la permutación de los argumentos). El promedio y es entonces el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, da como resultado el mismo valor de la función: g ( y , y , ..., y ) = g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) . Esta definición más general aún captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento en sí. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 + x 2 + ··· + x n proporciona la media aritmética. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) −1 ) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media armónica. [2]

Porcentaje de rendimiento promedio y CAGR

Un tipo de promedio utilizado en finanzas es el rendimiento porcentual promedio. Es un ejemplo de media geométrica. Cuando los rendimientos son anuales, se denomina tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR). Por ejemplo, si consideramos un período de dos años y el rendimiento de la inversión en el primer año es de −10% y el rendimiento en el segundo año es de +60%, entonces el rendimiento porcentual promedio o CAGR, R , se puede obtener resolviendo la ecuación: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R ) × (1 + R ) . El valor de R que hace que esta ecuación sea verdadera es 0,2, o 20%. Esto significa que el rendimiento total durante el período de 2 años es el mismo que si hubiera habido un crecimiento del 20% cada año. El orden de los años no hace ninguna diferencia: los rendimientos porcentuales promedio de +60% y −10% son el mismo resultado que los de −10% y +60%.

Este método se puede generalizar a ejemplos en los que los períodos no son iguales. Por ejemplo, considere un período de medio año para el cual el rendimiento es −23% y un período de dos años y medio para el cual el rendimiento es +13%. El rendimiento porcentual promedio para el período combinado es el rendimiento de un solo año, R , que es la solución de la siguiente ecuación: (1 − 0,23) 0,5 × (1 + 0,13) 2,5 = (1 + R ) 0,5+2,5 , dando un rendimiento promedio R de 0,0600 o 6,00%.

Promedio móvil

Dada una serie temporal , como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, la gente suele querer crear una serie más suave. [3] Esto ayuda a mostrar tendencias subyacentes o quizás comportamiento periódico. Una forma sencilla de hacerlo es la media móvil : se elige un número n y se crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primeros n valores, luego se avanza un lugar eliminando el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro extremo de la lista, y así sucesivamente. Esta es la forma más simple de media móvil. Las formas más complicadas implican el uso de una media ponderada . La ponderación se puede utilizar para mejorar o suprimir varios comportamientos periódicos y hay un análisis muy extenso de qué ponderaciones utilizar en la literatura sobre filtrado . En el procesamiento de señales digitales, el término "media móvil" se utiliza incluso cuando la suma de los pesos no es 1,0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de los promedios). [4] La razón de esto es que el analista suele estar interesado solo en la tendencia o el comportamiento periódico.

Historia

Origen

La primera vez registrada en que la media aritmética se extendió de 2 a n casos para el uso de la estimación fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, gradualmente se convirtió en un método común para usar para reducir errores de medición en varias áreas. [5] [6] En ese momento, los astrónomos querían saber un valor real a partir de una medición ruidosa, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna. Usando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores suman un número relativamente pequeño cuando se comparan con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación fue de hecho desarrollado principalmente en astronomía. [5] [7] Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (la media de los dos valores extremos), utilizado por ejemplo en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en la metalurgia y la navegación. [6]

Sin embargo, existen varias referencias más antiguas y vagas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero que podrían tener que ver razonablemente con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado): [8]

En primer lugar, debemos colocar en fila la secuencia de números desde la mónada hasta el nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar la cantidad de todos ellos juntos, y como la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está naturalmente presente entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [una] novena [de la suma] pertenece sólo a la media [aritmética] misma...

Existen referencias incluso más antiguas. Hay registros de que, desde aproximadamente el año 700 a. C., los comerciantes y los transportistas acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños causados ​​por el mar) debían ser compartidos equitativamente entre ellos. [7] Esto podría haberse calculado utilizando el promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.

Etimología

La raíz se encuentra en árabe como عوار ʿawār , un defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluyendo mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʿawārī (también عوارة ʿawāra ) = "de o relacionado con ʿawār , un estado de daño parcial". [a] Dentro de las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo. Génova de los siglos XII y XIII El latín avaria significaba "daño, pérdida y gastos anormales que surgen en relación con un viaje marítimo mercante"; y el mismo significado de avaria está en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a fines del siglo XIII. [b] La palabra francesa avarie del siglo XV tenía el mismo significado, y engendró la palabra inglesa "averay" (1491) y la palabra inglesa "average" (1502) con el mismo significado. Hoy en día, la palabra italiana avaria , la palabra catalana avaria y la palabra francesa avarie todavía tienen el significado principal de "daño". La enorme transformación del significado en inglés comenzó con la práctica en los contratos de derecho marítimo mercante occidental de finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna según la cual si el barco se encontraba con una fuerte tormenta y algunas de las mercancías debían arrojarse por la borda para que el barco fuera más liviano y seguro, entonces todos los comerciantes cuyas mercancías estuvieran en el barco debían sufrir proporcionalmente (y no las mercancías de quienes fueran arrojadas por la borda); y más generalmente debía haber una distribución proporcional de cualquier avaria . A partir de allí, la palabra fue adoptada por los aseguradores, acreedores y comerciantes británicos para hablar de sus pérdidas como si se distribuyeran en toda su cartera de activos y tuvieran una proporción media. El significado actual se desarrolló a partir de eso, y comenzó a mediados del siglo XVIII, y comenzó en inglés. [b] [9]

Los daños marítimos se clasifican en avería particular , que recae únicamente sobre el propietario de la propiedad dañada, o en avería gruesa , en la que el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes en la operación marítima. El tipo de cálculos utilizados para ajustar la avería gruesa dio lugar al uso de "promedio" para significar "media aritmética".

Un segundo uso en inglés, documentado ya en 1674 y a veces escrito "averish", es como residuo y segundo crecimiento de cultivos de campo, que se consideraban adecuados para el consumo de animales de tiro ("avers"). [10]

Hay un uso anterior (al menos del siglo XI) de la palabra, que no guarda relación con el caso. Parece ser un antiguo término legal que designaba la obligación de un arrendatario de trabajar por día ante un alguacil, probablemente anglicanizado a partir de "avera", que se encuentra en el Domesday Book inglés (1085).

Sin embargo, el Oxford English Dictionary dice que las derivaciones del alemán hafen haven y del árabe ʿawâr loss, daño, han sido "completamente descartadas" y la palabra tiene un origen romance. [11]

Los promedios como herramienta retórica

Debido a la naturaleza coloquial antes mencionada del término "promedio", el término puede usarse para ofuscar el verdadero significado de los datos y sugerir respuestas variables a preguntas basadas en el método de promediado (más frecuentemente la media aritmética, la mediana o la moda) utilizado. En su artículo "Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof", Daniel Libertz, miembro de la facultad de la Universidad de Pittsburgh, comenta que la información estadística es frecuentemente descartada de los argumentos retóricos por esta razón. [12] Sin embargo, debido a su poder persuasivo, los promedios y otros valores estadísticos no deben descartarse por completo, sino que deben usarse e interpretarse con cautela. Libertz nos invita a involucrarnos críticamente no solo con la información estadística como los promedios, sino también con el lenguaje utilizado para describir los datos y sus usos, diciendo: "Si las estadísticas se basan en la interpretación, los retóricos deben invitar a su audiencia a interpretar en lugar de insistir en una interpretación". [12] En muchos casos, se proporcionan datos y cálculos específicos para ayudar a facilitar esta interpretación basada en la audiencia.

Véase también

Notas

  1. ^ El árabe medieval tenía عور ʿawr que significa "ciego de un ojo" y عوار ʿawār que significa "cualquier defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada". Algunos diccionarios de árabe medieval están en Baheth.info Archivado el 29 de octubre de 2013 en Wayback Machine , y algunas traducciones al inglés de lo que está en los diccionarios de árabe medieval están en Lane's Arabic-English Lexicon, páginas 2193 y 2195. Los diccionarios medievales no enumeran la forma de palabra عوارية ʿawārīa . ʿAwārīa se puede formar naturalmente en la gramática árabe para referirse a cosas que tienen ʿawār , pero en la práctica, en los textos árabes medievales, ʿawārīa es una rareza o no existe, mientras que las formas عواري ʿawārī y عوارة ʿawāra se usan con frecuencia cuando se hace referencia a cosas que tienen ʿawār o daño; esto se puede ver en la colección de búsqueda de textos medievales en AlWaraq.net (los enlaces de los libros se pueden hacer clic en el lado derecho).
  2. ^ ab El origen árabe de avaria fue reportado por primera vez por Reinhart Dozy en el siglo XIX. El resumen original de Dozy está en su libro de 1869 Glossaire. Información resumida sobre los primeros registros de la palabra en latín-italiano, italiano, catalán y francés está en [email protected] Archivado el 6 de enero de 2019 en Wayback Machine . El puerto marítimo de Génova es la ubicación del registro más antiguo conocido en idiomas europeos, año 1157. Un conjunto de registros latinos medievales de avaria en Génova está en el léxico descargable Vocabolario Ligure, por Sergio Aprosio, año 2001, avaria en el Volumen 1 páginas 115-116. Muchos más registros en latín medieval en Génova están en StoriaPatriaGenova.it, generalmente en los plurales avariis y avarias . En el puerto de Marsella, en la primera mitad del siglo XIII, los contratos comerciales notariados contienen decenas de ejemplos de la palabra latina avariis (ablativo plural de avaria ), como se publicó en Blancard en el año 1884. Alguna información sobre la palabra inglesa a lo largo de los siglos se encuentra en NED (año 1888). Véase también la definición de "average" en inglés en los diccionarios ingleses publicados a principios del siglo XVIII, es decir, en el período de tiempo inmediatamente anterior a la gran transformación del significado: diccionario de Kersey-Phillips (1706), diccionario de Blount (edición de 1707), diccionario de Hatton (1712), diccionario de Bailey (1726), diccionario de Martin (1749). Algunas complejidades que rodean la historia de la palabra inglesa se discuten en Hensleigh Wedgwood año 1882 página 11 y Walter Skeat año 1888 página 781. Hoy hay consenso en que: (#1) el "promedio" inglés actual desciende del italiano medieval avaria , catalán avaria , y (#2) entre los latinos la palabra avaria comenzó en el siglo XII y comenzó como un término de comercio marítimo mediterráneo, y (#3) no hay ninguna raíz para avaria que se pueda encontrar en latín, y (#4) un número sustancial de palabras árabes ingresaron al italiano, catalán y provenzal en los siglos XII y XIII comenzando como términos de comercio marítimo mediterráneo, y (#5) el árabe ʿawār | ʿawārī es fonéticamente una buena coincidencia para avaria , ya que la conversión de w a v era habitual en latín e italiano, y -ia es un sufijo en italiano, y los primeros registros de la palabra occidental se encuentran en lugares de habla italiana (escritura en latín). Y la mayoría de los comentaristas coinciden en que (#6) el árabe ʿawār | ʿawārī = "daño | relacionado con el daño" es semánticamente una buena coincidencia para avaria = "daño o gastos de daños".Una minoría de comentaristas se han mostrado escépticos al respecto, basándose en que los primeros registros de la avaria italo-latinatienen, en algunos casos, un significado de "un gasto" en un sentido más general - ver TLIO (en italiano). La opinión mayoritaria es que el significado de "un gasto" era una expansión de "daño y gasto por daños", y el orden cronológico de los significados en los registros respalda esta opinión, y el significado amplio "un gasto" nunca fue el significado más comúnmente usado. Sobre la base de los puntos anteriores, se realiza el paso inferencial de que la palabra latina proviene o probablemente proviene de la palabra árabe.

Referencias

  1. ^ Merigo, Jose M.; Cananovas, Montserrat (2009). "El operador de promedio híbrido generalizado y su aplicación en la toma de decisiones". Revista de métodos cuantitativos para la economía y la administración de empresas . 9 : 69–84. ISSN  1886-516X.
  2. ^ ab Bibby, John (1974). "Axiomatizaciones del promedio y una generalización adicional de secuencias monótonas". Glasgow Mathematical Journal . 15 : 63–65. doi : 10.1017/s0017089500002135 .
  3. ^ Box, George EP; Jenkins, Gwilym M. (1976). Análisis de series temporales: pronóstico y control (edición revisada). Holden-Day. ISBN 0816211043.
  4. ^ Haykin, Simon (1986). Teoría del filtro adaptativo . Prentice-Hall. ISBN 0130040525.
  5. ^ ab Plackett, RL (1958). "Estudios en la historia de la probabilidad y la estadística: VII. El principio de la media aritmética". Biometrika . 45 (1/2): 130–135. doi :10.2307/2333051. JSTOR  2333051.
  6. ^ ab Eisenhart, Churchill. "El desarrollo del concepto de la mejor media de un conjunto de mediciones desde la antigüedad hasta nuestros días". Discurso presidencial inédito, Asociación Estadounidense de Estadística, 131.ª Reunión Anual, Fort Collins, Colorado, 1971.
  7. ^ ab "Bakker, Arthur. "La historia temprana de los valores promedio y sus implicaciones para la educación". Journal of Statistics Education 11.1 (2003): 17-26". Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2015. Consultado el 22 de octubre de 2015 .
  8. ^ "Waterfield, Robin. "La teología de la aritmética". Sobre el simbolismo místico, matemático y cosmológico de los diez primeros números (1988). página 70" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Consultado el 27 de noviembre de 2018 .
  9. ^ "promedio". Dictionary.com Unabridged (en línea). nd . Consultado el 25 de mayo de 2023 .
  10. ^ Ray, John (1674). Una colección de palabras inglesas que no se usan generalmente. Londres: H. Bruges . Consultado el 18 de mayo de 2015 .
  11. ^ "promedio, n.º 2" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . Septiembre de 2019 . Consultado el 5 de septiembre de 2019 . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
  12. ^ ab Libertz, Daniel (31 de diciembre de 2018). "Enmarcado por mentir: la estadística como prueba in/artística". Res Rhetorica . 5 (4). doi : 10.29107/rr2018.4.1 . ISSN  2392-3113.

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