Parámetros de dispersión

Valores que describen el comportamiento de un circuito eléctrico lineal.

Los parámetros de dispersión o parámetros S (los elementos de una matriz de dispersión o matriz S ) describen el comportamiento eléctrico de las redes eléctricas lineales cuando se someten a diversos estímulos de estado estacionario mediante señales eléctricas.

Los parámetros son útiles para varias ramas de la ingeniería eléctrica , incluida la electrónica , el diseño de sistemas de comunicación y, especialmente, la ingeniería de microondas .

Los parámetros S son miembros de una familia de parámetros similares, siendo otros ejemplos: parámetros Y , ^[1] parámetros Z , ^[2] parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^{[3] [4]} Se diferencian de estos en el sentido de que los parámetros S no utilizan condiciones de circuito abierto o de cortocircuito para caracterizar una red eléctrica lineal; en su lugar, se utilizan cargas coincidentes . Estas terminaciones son mucho más fáciles de usar en frecuencias de señal altas que las terminaciones de circuito abierto y cortocircuito. Contrariamente a la creencia popular, las cantidades no se miden en términos de potencia (excepto en los analizadores de red de seis puertos, ya obsoletos). Los analizadores de redes vectoriales modernos miden la amplitud y la fase de los fasores de ondas viajeras de voltaje utilizando esencialmente el mismo circuito que el utilizado para la demodulación de señales inalámbricas moduladas digitalmente .

Muchas propiedades eléctricas de redes de componentes ( inductores , condensadores , resistencias ) se pueden expresar utilizando parámetros S, como ganancia , pérdida de retorno , relación de onda estacionaria de voltaje (VSWR), coeficiente de reflexión y estabilidad del amplificador . El término "dispersión" es más común en la ingeniería óptica que en la ingeniería de RF, y se refiere al efecto observado cuando una onda electromagnética plana incide sobre una obstrucción o pasa a través de medios dieléctricos diferentes . En el contexto de los parámetros S, la dispersión se refiere a la forma en que las corrientes y voltajes que viajan en una línea de transmisión se ven afectados cuando se encuentran con una discontinuidad causada por la inserción de una red en la línea de transmisión. Esto equivale a que la onda encuentre una impedancia diferente de la impedancia característica de la línea .

Aunque son aplicables en cualquier frecuencia , los parámetros S se utilizan principalmente para redes que funcionan en radiofrecuencia (RF) y frecuencias de microondas . Los parámetros S de uso común, los parámetros S convencionales, son cantidades lineales (no cantidades de potencia, como en el enfoque de 'ondas de potencia' mencionado a continuación por Kaneyuki Kurokawa [  ja] (黒川兼行)). Los parámetros S cambian con la frecuencia de medición, por lo que se debe especificar la frecuencia para cualquier medición de parámetro S indicada, además de la impedancia característica o la impedancia del sistema .

Los parámetros S se representan fácilmente en forma matricial y obedecen las reglas del álgebra matricial.

Fondo

La primera descripción publicada de los parámetros S fue en la tesis de Vitold Belevitch en 1945. ^[5] El nombre utilizado por Belevitch fue matriz de repartición y consideración limitada a redes de elementos agrupados. El término matriz de dispersión fue utilizado por el físico e ingeniero Robert Henry Dicke en 1947, quien desarrolló la idea de forma independiente durante el trabajo con radar en tiempos de guerra. ^{[6] [7]} En estos parámetros S y matrices de dispersión, las ondas dispersadas son las llamadas ondas viajeras. En la década de 1960 se introdujo un tipo diferente de parámetros S. ^[8] Este último fue popularizado por Kaneyuki Kurokawa  [ja] (黒川兼行), ^[9] quien se refirió a las nuevas ondas dispersas como 'ondas de poder'. Los dos tipos de parámetros S tienen propiedades muy diferentes y no deben confundirse. ^[10] En su artículo fundamental, ^[11] Kurokawa distingue claramente los parámetros S de las ondas de potencia y los parámetros S convencionales de las ondas viajeras. Una variante de este último son los parámetros S de pseudoondas viajeras. ^[12]

En el enfoque del parámetro S, una red eléctrica se considera una " caja negra " que contiene varios componentes de circuitos eléctricos básicos interconectados o elementos agrupados como resistencias, condensadores, inductores y transistores, que interactúa con otros circuitos a través de puertos . La red se caracteriza por una matriz cuadrada de números complejos llamada matriz de parámetros S, que se puede utilizar para calcular su respuesta a las señales aplicadas a los puertos.

Para la definición del parámetro S, se entiende que una red puede contener cualquier componente siempre que toda la red se comporte linealmente con pequeñas señales incidentes. También puede incluir muchos componentes o "bloques" típicos del sistema de comunicación, como amplificadores , atenuadores , filtros , acopladores y ecualizadores , siempre que también funcionen en condiciones lineales y definidas.

Una red eléctrica que se describirá mediante parámetros S puede tener cualquier número de puertos. Los puertos son los puntos por los que las señales eléctricas entran o salen de la red. Los puertos suelen ser pares de terminales con el requisito de que la corriente que entra en un terminal sea igual a la corriente que sale del otro. ^{[13] [14]} Los parámetros S se utilizan en frecuencias donde los puertos suelen ser conexiones coaxiales o de guía de ondas .

La matriz de parámetros S que describe una red de N puertos será un cuadrado de dimensión N y, por lo tanto, contendrá elementos. En la frecuencia de prueba, cada elemento o parámetro S está representado por un número complejo sin unidades que representa magnitud y ángulo , es decir, amplitud y fase . El número complejo puede expresarse en forma rectangular o, más comúnmente, en forma polar . La magnitud del parámetro S se puede expresar en forma lineal o logarítmica . Cuando se expresa en forma logarítmica, la magnitud tiene la " unidad adimensional " de los decibelios . El ángulo del parámetro S se expresa con mayor frecuencia en grados , pero ocasionalmente en radianes . Cualquier parámetro S se puede representar gráficamente en un diagrama polar mediante un punto para una frecuencia o un lugar geométrico para un rango de frecuencias. Si se aplica a un solo puerto (que tiene la forma ), puede mostrarse en un gráfico de Smith de impedancia o admitancia normalizado a la impedancia del sistema. El gráfico de Smith permite una conversión simple entre el parámetro, equivalente al coeficiente de reflexión de voltaje y la impedancia (o admitancia) asociada (normalizada) "vista" en ese puerto. ${\displaystyle N^{2}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$ ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Se debe definir la siguiente información al especificar un conjunto de parámetros S:

1. La frecuencia
2. La impedancia característica nominal (a menudo 50 Ω)
3. La asignación de números de puerto.
4. Condiciones que pueden afectar la red, como temperatura, voltaje de control y corriente de polarización, cuando corresponda.

La matriz de parámetros S

Una definicion

Para una red multipuerto genérica, los puertos están numerados del 1 al N , donde N es el número total de puertos. Para el puerto i , la definición del parámetro S asociado es en términos de 'ondas de energía' incidentes y reflejadas, y respectivamente. ${\displaystyle a_{i}\,}$ ${\displaystyle b_{i}\,}$

Kurokawa ^[15] define la onda de energía incidente para cada puerto como

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})\,}$

y la onda reflejada para cada puerto se define como

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})\,}$

donde es la impedancia para el puerto i , es el conjugado complejo de y son , respectivamente, las amplitudes complejas del voltaje y la corriente en el puerto i , y ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}^{*}\,}$ ${\displaystyle Z_{i}\,}$ ${\displaystyle V_{i}\,}$ ${\displaystyle I_{i}\,}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}\,}$

A veces es útil suponer que la impedancia de referencia es la misma para todos los puertos, en cuyo caso las definiciones de ondas incidentes y reflejadas pueden simplificarse a

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

y

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,}$

Tenga en cuenta que, como señaló el propio Kurokawa, las definiciones anteriores de y no son únicas. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

La relación entre los vectores a y b , cuyos i -ésimos componentes son las ondas de potencia y respectivamente, se puede expresar utilizando la matriz de parámetros S S : ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} \,}$

O usando componentes explícitos:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

Reciprocidad

Una red será recíproca si es pasiva y contiene sólo materiales recíprocos que influyen en la señal transmitida. Por ejemplo, los atenuadores, cables, divisores y combinadores son redes recíprocas y, en cada caso, la matriz del parámetro S será igual a su transpuesta . Las redes que incluyen materiales no recíprocos en el medio de transmisión, como aquellas que contienen componentes de ferrita polarizados magnéticamente, no serán recíprocas. Un amplificador es otro ejemplo de red no recíproca. ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}\,}$

Sin embargo, una propiedad de las redes de 3 puertos es que no pueden ser recíprocas, estar libres de pérdidas y estar perfectamente adaptadas al mismo tiempo. ^[dieciséis]

Redes sin pérdidas

Una red sin pérdidas es aquella que no disipa energía, o: . La suma de las potencias incidentes en todos los puertos es igual a la suma de las potencias salientes (por ejemplo, "reflejadas") en todos los puertos. Esto implica que la matriz de parámetros S es unitaria , es decir , donde es la transpuesta conjugada de y es la matriz identidad . ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}(S)=(I)\,}$ ${\displaystyle (S)^{H}\,}$ ${\displaystyle (S)\,}$ ${\displaystyle (I)\,}$

Redes con pérdida

Una red pasiva con pérdidas es aquella en la que la suma de las potencias incidentes en todos los puertos es mayor que la suma de las potencias salientes (por ejemplo, "reflejadas") en todos los puertos. Por tanto, disipa potencia: . Por tanto , y es positivo definido . ^[17] ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,}$ ${\displaystyle (I)-(S)^{H}(S)\,}$

Parámetros S de dos puertos

La matriz de parámetros S para la red de 2 puertos es probablemente la más comúnmente utilizada y sirve como bloque de construcción básico para generar matrices de orden superior para redes más grandes. ^[18] En este caso, la relación entre las ondas incidentes salientes ("reflejadas") y la matriz del parámetro S viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$.

Al expandir las matrices en ecuaciones se obtiene:

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,}$

y

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,}$.

Cada ecuación proporciona la relación entre las ondas salientes (por ejemplo , reflejadas) e incidentes en cada uno de los puertos de la red, 1 y 2, en términos de los parámetros S individuales de la red, , y . Si se considera una ola incidente en el puerto 1 ( ), puede resultar que las olas salgan del puerto 1 ( ) o del puerto 2 ( ). Sin embargo, si, de acuerdo con la definición de los parámetros S, el puerto 2 termina en una carga idéntica a la impedancia del sistema ( ), entonces, según el teorema de transferencia de potencia máxima , será absorbido totalmente e igual a cero. Por lo tanto, definiendo las ondas de voltaje incidentes como y siendo las ondas salientes/reflejadas y , ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle a_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{1}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle b_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{2}\,}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$y . ${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$

De manera similar, si el puerto 1 termina en la impedancia del sistema, entonces se vuelve cero, lo que da ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$y ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$

Los parámetros S de 2 puertos tienen las siguientes descripciones genéricas:

${\displaystyle S_{11}\,}$es el coeficiente de reflexión del voltaje del puerto de entrada

${\displaystyle S_{12}\,}$es la ganancia de voltaje inverso

${\displaystyle S_{21}\,}$es la ganancia de voltaje directo

${\displaystyle S_{22}\,}$es el coeficiente de reflexión del voltaje del puerto de salida.

Si, en lugar de definir la dirección de la onda de voltaje relativa a cada puerto, se definen por su dirección absoluta como ondas directas e inversas, entonces y . Los parámetros S adquieren entonces un significado más intuitivo, como que la ganancia de tensión directa se define por la relación de las tensiones directas . ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{-}/V_{1}^{+}}$

Usando esto, la matriz anterior se puede ampliar de una manera más práctica.

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{+}\,}$

${\displaystyle V_{2}^{-}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{+}\,}$

Propiedades del parámetro S de redes de 2 puertos

Un amplificador que funciona en condiciones lineales (señal pequeña) es un buen ejemplo de red no recíproca y un atenuador adaptado es un ejemplo de red recíproca. En los siguientes casos asumiremos que las conexiones de entrada y salida son a los puertos 1 y 2 respectivamente, que es la convención más común. También se debe especificar la impedancia nominal del sistema, la frecuencia y cualquier otro factor que pueda influir en el dispositivo, como la temperatura.

Ganancia lineal compleja

La ganancia lineal compleja G viene dada por

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}\,}$.

Esa es la relación lineal de la onda de potencia reflejada de salida dividida por la onda de potencia incidente de entrada, todos los valores expresados ​​como cantidades complejas. Para redes con pérdidas es subunitario, para redes activas . Será igual a la ganancia de voltaje solo cuando el dispositivo tenga impedancias de entrada y salida iguales. ${\displaystyle |G|>1}$

Ganancia lineal escalar

La ganancia lineal escalar (o magnitud de ganancia lineal) viene dada por

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,}$.

Esto representa la magnitud de la ganancia (valor absoluto), la relación entre la onda de potencia de salida y la onda de potencia de entrada, y es igual a la raíz cuadrada de la ganancia de potencia. Se trata de una cantidad de valor real (o escalar), y se elimina la información de fase.

Ganancia logarítmica escalar

La expresión escalar logarítmica (decibeles o dB) para la ganancia (g) es:

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$dB.

Esto se usa más comúnmente que la ganancia lineal escalar y una cantidad positiva normalmente se entiende simplemente como una "ganancia", mientras que una cantidad negativa es una "ganancia negativa" (una "pérdida"), equivalente a su magnitud en dB. Por ejemplo, a 100 MHz, un cable de 10 m de longitud puede tener una ganancia de −1 dB, equivalente a una pérdida de 1 dB.

Pérdida de inserción

En caso de que los dos puertos de medición utilicen la misma impedancia de referencia, la pérdida de inserción ( IL ) es el recíproco de la magnitud del coeficiente de transmisión | S ₂₁ | expresado en decibeles. Así viene dado por: ^[19]

${\displaystyle IL=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,}$dB.

Es la pérdida extra producida por la introducción del dispositivo bajo prueba (DUT) entre los 2 planos de referencia de la medición. La pérdida adicional puede deberse a una pérdida intrínseca en el DUT y/o a un desajuste. En caso de pérdida adicional, la pérdida de inserción se define como positiva. El negativo de la pérdida de inserción expresada en decibeles se define como ganancia de inserción y es igual a la ganancia logarítmica escalar (ver: definición anterior).

Pérdida de retorno de entrada

La pérdida de retorno de entrada ( RL _en ) se puede considerar como una medida de qué tan cerca está la impedancia de entrada real de la red del valor de impedancia nominal del sistema. La pérdida de retorno de entrada expresada en decibelios viene dada por

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{S_{11}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|\,}$dB.

Tenga en cuenta que para redes pasivas de dos puertos en las que | T ₁₁ | ≤ 1 , se deduce que la pérdida de retorno es una cantidad no negativa: RL _en  ≥ 0 . También tenga en cuenta que, de manera un tanto confusa, la pérdida de devolución se utiliza a veces como el negativo de la cantidad definida anteriormente, pero este uso es, estrictamente hablando, incorrecto según la definición de pérdida. ^[20]

Pérdida de retorno de salida

La pérdida de retorno de salida ( RL _out ) tiene una definición similar a la pérdida de retorno de entrada, pero se aplica al puerto de salida (puerto 2) en lugar del puerto de entrada. esta dado por

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|\,}$dB.

Ganancia inversa y aislamiento inverso

La expresión escalar logarítmica (decibelios o dB) para ganancia inversa ( ) es: ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,}$dB.

A menudo esto se expresará como aislamiento inverso ( ), en cuyo caso se convierte en una cantidad positiva igual a la magnitud de y la expresión se convierte en: ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }\,}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }\,}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,}$dB.

Coeficiente de reflexión

El coeficiente de reflexión en el puerto de entrada ( ) o en el puerto de salida ( ) son equivalentes a y respectivamente, por lo que ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$y . ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}\,}$

Como y son cantidades complejas, también lo son y . ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$

Los coeficientes de reflexión son cantidades complejas y pueden representarse gráficamente en diagramas polares o cartas de Smith.

Consulte también el artículo Coeficiente de reflexión .

Relación de onda estacionaria de voltaje

La relación de onda estacionaria de voltaje (VSWR) en un puerto, representada por la 's' minúscula, es una medida similar de coincidencia del puerto con la pérdida de retorno, pero es una cantidad lineal escalar, la relación entre el voltaje máximo de la onda estacionaria y la onda estacionaria. tensión mínima. Por lo tanto, se relaciona con la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje y, por lo tanto, con la magnitud del puerto de entrada o del puerto de salida. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

En el puerto de entrada, el VSWR ( ) viene dado por ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,}$

En el puerto de salida, el VSWR ( ) viene dado por ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }\,}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,}$

Esto es correcto para coeficientes de reflexión con una magnitud no mayor que la unidad, que suele ser el caso. Un coeficiente de reflexión con una magnitud mayor que la unidad, como en un amplificador de diodo túnel , dará como resultado un valor negativo para esta expresión. VSWR, sin embargo, según su definición, siempre es positivo. Una expresión más correcta para el puerto k de un multipuerto es;

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}\,}$

Parámetros S de 4 puertos

Los parámetros de 4 puertos S se utilizan para caracterizar redes de 4 puertos. Incluyen información relativa a las ondas de energía reflejadas e incidentes entre los 4 puertos de la red.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

Se utilizan comúnmente para analizar un par de líneas de transmisión acopladas para determinar la cantidad de diafonía entre ellas, si son impulsadas por dos señales separadas de un solo extremo, o la potencia reflejada e incidente de una señal diferencial transmitida a través de ellas. Muchas especificaciones de señales diferenciales de alta velocidad definen un canal de comunicación en términos de parámetros S de 4 puertos, por ejemplo, los sistemas XAUI, SATA, PCI-X e InfiniBand.

Parámetros S de modo mixto de 4 puertos

Los parámetros S de modo mixto de 4 puertos caracterizan una red de 4 puertos en términos de la respuesta de la red al modo común y a señales de estímulo diferenciales. La siguiente tabla muestra los parámetros S de modo mixto de 4 puertos.

Tenga en cuenta el formato de la notación del parámetro SXYab, donde "S" significa parámetro de dispersión o parámetro S, "X" es el modo de respuesta (diferencial o común), "Y" es el modo de estímulo (diferencial o común), "a " es el puerto de respuesta (salida) y b es el puerto de estímulo (entrada). Ésta es la nomenclatura típica para los parámetros de dispersión.

El primer cuadrante se define como los 4 parámetros superiores izquierdos que describen las características de estímulo diferencial y respuesta diferencial del dispositivo bajo prueba. Este es el modo de operación real para la mayoría de las interconexiones diferenciales de alta velocidad y es el cuadrante que recibe mayor atención. Incluye pérdida de retorno diferencial de entrada (SDD11), pérdida de inserción diferencial de entrada (SDD21), pérdida de retorno diferencial de salida (SDD22) y pérdida de inserción diferencial de salida (SDD12). Algunos beneficios del procesamiento diferencial de señales son;

• susceptibilidad reducida a las interferencias electromagnéticas
• Reducción de la radiación electromagnética del circuito diferencial equilibrado.
• Productos de distorsión diferencial de orden uniforme transformados en señales de modo común.
• factor de dos aumento en el nivel de voltaje en relación con los de un solo extremo
• Rechazo al suministro en modo común y codificación de ruido de tierra en señal diferencial.

El segundo y tercer cuadrante son los 4 parámetros superior derecho e inferior izquierdo respectivamente. Estos también se conocen como cuadrantes de modo cruzado. Esto se debe a que caracterizan completamente cualquier conversión de modo que ocurra en el dispositivo bajo prueba, ya sea una conversión SDCab común a diferencial (susceptibilidad EMI para una aplicación de transmisión SDD de señal diferencial prevista) o una conversión SCDab diferencial a común (radiación EMI para una aplicación diferencial). Comprender la conversión de modo es muy útil cuando se intenta optimizar el diseño de interconexiones para el rendimiento de datos gigabit.

El cuarto cuadrante son los 4 parámetros inferiores derechos y describen las características de rendimiento de la señal de modo común SCCab que se propaga a través del dispositivo bajo prueba. Para un dispositivo diferencial SDDab diseñado correctamente, debe haber una salida mínima de modo común SCCab. Sin embargo, los datos de respuesta en modo común del cuarto cuadrante son una medida de la respuesta de transmisión en modo común y se utilizan en una proporción con la respuesta de transmisión diferencial para determinar el rechazo de modo común de la red. Este rechazo de modo común es un beneficio importante del procesamiento de señales diferenciales y puede reducirse a uno en algunas implementaciones de circuitos diferenciales. ^{[21] [22]}

Parámetros S en el diseño de amplificadores.

El parámetro de aislamiento inverso determina el nivel de retroalimentación desde la salida de un amplificador a la entrada y por lo tanto influye en su estabilidad (su tendencia a abstenerse de oscilar) junto con la ganancia directa . Un amplificador con puertos de entrada y salida perfectamente aislados entre sí tendría un aislamiento de magnitud logarítmica escalar infinita o la magnitud lineal sería cero. Se dice que un amplificador de este tipo es unilateral. Sin embargo, la mayoría de los amplificadores prácticos tendrán un aislamiento finito que permitirá que el coeficiente de reflexión "visto" en la entrada se vea influenciado hasta cierto punto por la carga conectada en la salida. Un amplificador que está diseñado deliberadamente para tener el valor más pequeño posible de a menudo se denomina amplificador buffer . ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle \left|S_{12}\right|\,}$

Supongamos que el puerto de salida de un amplificador real (no unilateral o bilateral) está conectado a una carga arbitraria con un coeficiente de reflexión de . El coeficiente de reflexión real 'visto' en el puerto de entrada vendrá dado por ^[23] ${\displaystyle \Gamma _{L}\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }\,}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\,}$.

Si el amplificador es unilateral entonces y o, para decirlo de otra manera, la carga de salida no tiene ningún efecto sobre la entrada. ${\displaystyle S_{12}=0\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,}$

Existe una propiedad similar en la dirección opuesta, en este caso si es el coeficiente de reflexión visto en el puerto de salida y es el coeficiente de reflexión de la fuente conectada al puerto de entrada. ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }\,}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}\,}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}\,}$

Condiciones de carga de puertos para que un amplificador sea incondicionalmente estable

Un amplificador es incondicionalmente estable si se puede conectar una carga o fuente de cualquier coeficiente de reflexión sin causar inestabilidad. Esta condición ocurre si las magnitudes de los coeficientes de reflexión en la fuente, la carga y los puertos de entrada y salida del amplificador son simultáneamente menores que la unidad. Un requisito importante que a menudo se pasa por alto es que el amplificador sea una red lineal sin polos en el semiplano derecho. ^[24] La inestabilidad puede causar una distorsión severa de la respuesta de frecuencia de ganancia del amplificador o, en casos extremos, oscilación. Para ser incondicionalmente estable a la frecuencia de interés, un amplificador debe satisfacer las siguientes 4 ecuaciones simultáneamente: ^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1\,}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1\,}$

La condición límite para cuando cada uno de estos valores es igual a la unidad se puede representar mediante un círculo dibujado en el diagrama polar que representa el coeficiente de reflexión (complejo), uno para el puerto de entrada y el otro para el puerto de salida. A menudo, estos se escalarán como gráficos de Smith. En cada caso, las coordenadas del centro del círculo y el radio asociado vienen dadas por las siguientes ecuaciones:

Valores de Γ _L para | Γ _en | = 1 (círculo de estabilidad de salida)

Radio ${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

Centro ${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

Valores de Γ _S para | Γ _fuera | = 1 (círculo de estabilidad de entrada)

Radio ${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

Centro ${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

En ambos casos

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21},}$

y la estrella en superíndice (*) indica un conjugado complejo .

Los círculos están en unidades complejas de coeficiente de reflexión, por lo que se pueden dibujar en gráficos de Smith basados ​​en impedancia o admitancia normalizados a la impedancia del sistema. Esto sirve para mostrar fácilmente las regiones de impedancia (o admitancia) normalizada para la estabilidad incondicional prevista. Otra forma de demostrar la estabilidad incondicional es mediante el factor de estabilidad de Rollett ( ), definido como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

La condición de estabilidad incondicional se logra cuando y ${\displaystyle K>1}$ ${\displaystyle |\Delta |<1.}$

Parámetros de transferencia de dispersión

Los parámetros de transferencia de dispersión o parámetros T de una red de 2 puertos se expresan mediante la matriz de parámetros T y están estrechamente relacionados con la matriz de parámetros S correspondiente. Sin embargo, a diferencia de los parámetros S, no existe un medio físico sencillo para medir los parámetros T en un sistema, a veces denominados ondas de Youla. La matriz de parámetros T está relacionada con el oleaje incidente y reflejado normalizado en cada uno de los puertos de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,}$

Sin embargo, podrían definirse de otra manera, de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,}$

El complemento RF Toolbox de MATLAB ^[26] y varios libros (por ejemplo, "Parámetros de dispersión de red" ^[27] ) utilizan esta última definición, por lo que es necesario tener precaución. Los párrafos "De S a T" y "De T a S" de este artículo se basan en la primera definición. La adaptación a la segunda definición es trivial (intercambiar T 11 por T 22 y T 12 por T 21 ). La ventaja de los parámetros T en comparación con los parámetros S es que, siempre que las impedancias de referencia sean conjugadas puramente reales o complejas, se pueden usar para determinar fácilmente el efecto de conectar en cascada 2 o más redes de 2 puertos simplemente multiplicando los parámetros T individuales asociados. matrices de parámetros. Si los parámetros T de, digamos, tres redes diferentes de 2 puertos 1, 2 y 3 son , y respectivamente, entonces la matriz de parámetros T para la cascada de las tres redes ( ) en orden en serie viene dada por: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,}$

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que el orden es importante. Al igual que con los parámetros S, los parámetros T son valores complejos y existe una conversión directa entre los dos tipos. Aunque los parámetros T en cascada son una simple multiplicación matricial de los parámetros T individuales, la conversión de los parámetros S de cada red a los parámetros T correspondientes y la conversión de los parámetros T en cascada nuevamente a los parámetros S en cascada equivalentes, que normalmente se requieren, no es trivial. Sin embargo, una vez completada la operación, se tendrán en cuenta las complejas interacciones de onda completa entre todos los puertos en ambas direcciones. Las siguientes ecuaciones proporcionarán la conversión entre los parámetros S y T para redes de 2 puertos. ^[28]

De S a T:

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,}$

Donde indica el determinante de la matriz , ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$.

De la T a la S

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,}$

Donde indica el determinante de la matriz . ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21},}$

Parámetros S de 1 puerto

El parámetro S para una red de 1 puerto viene dado por una matriz simple de 1 × 1 de la forma donde n es el número de puerto asignado. Para cumplir con la definición de linealidad del parámetro S, normalmente se trataría de una carga pasiva de algún tipo. Una antena es una red común de un puerto para la cual valores pequeños de indican que la antena irradiará o disipará/almacenará energía. ${\displaystyle (s_{nn})\,}$ ${\displaystyle s_{11}}$

Matrices de parámetros S de orden superior

Parámetros S de orden superior para pares de puertos diferentes ( ), que se pueden deducir de manera similar a los de redes de 2 puertos considerando pares de puertos por turno, asegurándose en cada caso de que todos los puertos restantes (no utilizados) estén cargados con un impedancia idéntica a la impedancia del sistema. De esta manera la onda de energía incidente para cada uno de los puertos no utilizados se vuelve cero, generando expresiones similares a las obtenidas para el caso de 2 puertos. Los parámetros S relacionados solo con puertos individuales ( ) requieren que todos los puertos restantes se carguen con una impedancia idéntica a la impedancia del sistema, por lo que todas las ondas de energía incidentes son cero, excepto la del puerto en consideración. En general tenemos por lo tanto: ${\displaystyle S_{mn}\,}$ ${\displaystyle m\neq \;n\,}$ ${\displaystyle S_{mm}\,}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,}$

y

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,}$

Por ejemplo, una red de 3 puertos, como un divisor de 2 vías, tendría las siguientes definiciones de parámetros S

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,}$

con

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,}$ ;  ; ${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,}$ ${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,}$

donde se refiere a la ola saliente en el puerto m inducida por la ola incidente en el puerto n. ${\displaystyle S_{mn}}$

Medición de parámetros S

Los parámetros S se miden más comúnmente con un analizador de redes vectoriales (VNA).

Formato de salida de datos de parámetros S medidos y corregidos

Los datos de prueba del parámetro S se pueden proporcionar en muchos formatos alternativos, por ejemplo: lista, gráfico ( gráfico de Smith o diagrama polar ).

Formato de lista

En formato de lista, los parámetros S medidos y corregidos se tabulan en función de la frecuencia. El formato de lista más común se conoce como Touchstone o S n P, donde n es el número de puertos. Normalmente, los archivos de texto que contienen esta información tendrían la extensión de nombre de archivo '.s2p'. A continuación se muestra un ejemplo de una lista de archivos Touchstone para los datos completos de parámetros S de 2 puertos obtenidos para un dispositivo:

! Creado el viernes 21 de julio, 14:28:50 2005# MHZ S DB R 50! SP1.SP50 -15,4 100,2 10,2 173,5 -30,1 9,6 -13,4 57,251 -15,8 103,2 10,7 177,4 -33,1 9,6 -12,4 63,452 -15,9 105,5 11,2 179,1 -35,7 9,6 -14,4 66,953 -16,4 107,0 10,5 183,1 -36,6 9,6 -14,7 70,354 -16,6 109,3 10,6 187,8 -38,1 9,6 -15,3 71,4

Las filas que comienzan con un signo de exclamación solo contienen comentarios. La fila que comienza con el símbolo de almohadilla indica que en este caso las frecuencias están en megahercios (MHZ), los parámetros S se enumeran (S), las magnitudes están en dB log magnitud (DB) y la impedancia del sistema es 50 ohmios (R 50). Hay 9 columnas de datos. La columna 1 es la frecuencia de prueba en megahercios en este caso. Las columnas 2, 4, 6 y 8 son las magnitudes de , y respectivamente en dB. Las columnas 3 , 5, 7 y 9 son los ángulos de , y respectivamente en grados. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

Gráfico (gráfico de Smith)

Cualquier parámetro S de 2 puertos se puede mostrar en una carta de Smith usando coordenadas polares, pero lo más significativo sería y dado que cualquiera de estos se puede convertir directamente en una impedancia (o admitancia) normalizada equivalente usando la impedancia característica de la carta de Smith. (o admitancia) escala apropiada a la impedancia del sistema. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$

Gráfico (diagrama polar)

Cualquier parámetro S de 2 puertos se puede mostrar en un diagrama polar utilizando coordenadas polares.

En cualquiera de los formatos gráficos, cada parámetro S en una frecuencia de prueba particular se muestra como un punto. Si la medición es un barrido de varias frecuencias, aparecerá un punto para cada una.

Medición de parámetros S de una red de un puerto

La matriz de parámetros S para una red con un solo puerto tendrá solo un elemento representado en la forma , donde n es el número asignado al puerto. La mayoría de los VNA proporcionan una capacidad de calibración simple de un puerto para la medición de un puerto para ahorrar tiempo si eso es todo lo que se requiere. ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Medición de parámetros S de redes con más de 2 puertos

Los VNA diseñados para la medición simultánea de los parámetros S de redes con más de dos puertos son viables, pero rápidamente se vuelven prohibitivamente complejos y costosos. Normalmente su compra no está justificada ya que las medidas requeridas se pueden obtener utilizando un VNA estándar calibrado de 2 puertos con medidas adicionales seguidas de la correcta interpretación de los resultados obtenidos. La matriz de parámetros S requerida se puede ensamblar a partir de mediciones sucesivas de dos puertos en etapas, dos puertos a la vez, en cada ocasión con los puertos no utilizados terminados en cargas de alta calidad iguales a la impedancia del sistema. Un riesgo de este enfoque es que la pérdida de retorno o VSWR de las cargas mismas debe especificarse adecuadamente para que esté lo más cerca posible de 50 ohmios perfectos, o cualquiera que sea la impedancia nominal del sistema. Para una red con muchos puertos, puede existir la tentación, por motivos de coste, de especificar inadecuadamente los VSWR de las cargas. Será necesario realizar algún análisis para determinar cuál será el peor VSWR aceptable de las cargas.

Suponiendo que las cargas adicionales se especifican adecuadamente, si es necesario, dos o más de los subíndices del parámetro S se modifican de los relacionados con el VNA (1 y 2 en el caso considerado anteriormente) a los relacionados con la red bajo prueba (1 a N, si N es el número total de puertos DUT). Por ejemplo, si el DUT tiene 5 puertos y un VNA de dos puertos está conectado con el puerto 1 del VNA al puerto 3 del DUT y el puerto 2 del VNA al puerto 5 del DUT, los resultados medidos del VNA ( , , y ) serían equivalentes a , y respectivamente , asumiendo que los puertos 1, 2 y 4 del DUT terminaron en cargas adecuadas de 50 ohmios. Esto proporcionaría 4 de los 25 parámetros S necesarios. ${\displaystyle S_{11}\,}$ ${\displaystyle S_{12}\,}$ ${\displaystyle S_{21}\,}$ ${\displaystyle S_{22}\,}$ ${\displaystyle S_{33}\,}$ ${\displaystyle S_{35}\,}$ ${\displaystyle S_{53}\,}$ ${\displaystyle S_{55}\,}$

Ver también

• Parámetros de admitancia
• Parámetros de impedancia
• Red de dos puertos
• Parámetros X , un superconjunto no lineal de parámetros S
• teorema de belevitch

Referencias

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