Intuitivamente, la matriz de covarianza generaliza la noción de varianza a múltiples dimensiones. Como ejemplo, la variación en una colección de puntos aleatorios en un espacio bidimensional no puede caracterizarse completamente por un solo número, ni las variaciones en las direcciones y contendrían toda la información necesaria; Sería necesaria una matriz para caracterizar completamente la variación bidimensional.
La matriz de covarianza de un vector aleatorio normalmente se denota por , o .
Definición
A lo largo de este artículo, las letras en negrita y sin subíndice se utilizan para referirse a vectores aleatorios, y las con subíndice romano y se utilizan para referirse a variables aleatorias escalares.
Las nomenclaturas difieren. Algunos estadísticos, siguiendo al probabilista William Feller en su libro de dos volúmenes Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , [2] llaman a la matriz la varianza del vector aleatorio , porque es la generalización natural a dimensiones superiores del sistema unidimensional. diferencia. Otros la llaman matriz de covarianzas , porque es la matriz de covarianzas entre los componentes escalares del vector .
Ambas formas son bastante estándar y no hay ambigüedad entre ellas. La matriz también suele denominarse matriz de varianza-covarianza , ya que los términos de la diagonal son en realidad varianzas.
La matriz de autocovarianza está relacionada con la matriz de autocorrelación por
donde la matriz de autocorrelación se define como .
Relación con la matriz de correlación
Una entidad estrechamente relacionada con la matriz de covarianza es la matriz de coeficientes de correlación momento-producto de Pearson entre cada una de las variables aleatorias en el vector aleatorio , que se puede escribir como
¿dónde está la matriz de los elementos diagonales de (es decir, una matriz diagonal de las variaciones de for ).
Cada elemento en la diagonal principal de una matriz de correlación es la correlación de una variable aleatoria consigo misma, que siempre es igual a 1. Cada elemento fuera de la diagonal está entre −1 y +1 inclusive.
Inversa de la matriz de covarianza
La inversa de esta matriz, si existe, es la matriz de covarianza inversa (o matriz de concentración inversa), también conocida como matriz de precisión (o matriz de concentración ). [3]
Así como la matriz de covarianza se puede escribir como el cambio de escala de una matriz de correlación por las varianzas marginales:
Entonces, utilizando la idea de correlación parcial y varianza parcial, la matriz de covarianza inversa se puede expresar de manera análoga:
esta dualidad motiva una serie de otras dualidades entre marginación y condicionamiento para variables aleatorias gaussianas.
Propiedades básicas
Para y , donde es una variable aleatoria de dimensiones, se aplican las siguientes propiedades básicas: [4]
La matriz se conoce como matriz de coeficientes de regresión , mientras que en álgebra lineal es el complemento de Schur de in .
La matriz de coeficientes de regresión a menudo se puede dar en forma transpuesta, adecuada para multiplicar posteriormente un vector fila de variables explicativas en lugar de multiplicar previamente un vector columna . De esta forma corresponden a los coeficientes obtenidos al invertir la matriz de las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
Matriz de covarianza parcial
Una matriz de covarianza con todos los elementos distintos de cero nos dice que todas las variables aleatorias individuales están interrelacionadas. Esto significa que las variables no sólo están directamente correlacionadas, sino también indirectamente a través de otras variables. A menudo, estas correlaciones indirectas y de modo común son triviales y poco interesantes. Se pueden suprimir calculando la matriz de covarianza parcial, es decir, la parte de la matriz de covarianza que muestra sólo la parte interesante de las correlaciones.
Si dos vectores de variables aleatorias están correlacionados a través de otro vector , las últimas correlaciones se suprimen en una matriz [6]
La matriz de covarianza parcial es efectivamente la matriz de covarianza simple como si las variables aleatorias no interesantes se mantuvieran constantes.
Matriz de covarianza como parámetro de una distribución.
Aplicada a un vector, la matriz de covarianza asigna una combinación lineal c de las variables aleatorias X a un vector de covarianzas con esas variables: . Tratada como una forma bilineal , produce la covarianza entre las dos combinaciones lineales: . La varianza de una combinación lineal es entonces su covarianza consigo misma.
De manera similar, la matriz de covarianza (pseudo)inversa proporciona un producto interno , que induce la distancia de Mahalanobis , una medida de la "improbabilidad" de c . [ cita necesaria ]
¿Qué matrices son matrices de covarianza?
De la identidad anterior, sea un vector de valor real, entonces
el cual siempre debe ser no negativo, ya que es la varianza de una variable aleatoria de valor real, por lo que una matriz de covarianza es siempre una matriz semidefinida positiva .
El argumento anterior se puede ampliar de la siguiente manera: donde la última desigualdad se deriva de la observación de que es un escalar.
Por el contrario, toda matriz semidefinida positiva simétrica es una matriz de covarianza. Para ver esto, supongamos que es una matriz semidefinida positiva simétrica. Del caso de dimensión finita del teorema espectral , se deduce que tiene una raíz cuadrada simétrica no negativa , que puede denotarse por M 1/2 . Sea cualquier variable aleatoria columna con valor vectorial cuya matriz de covarianza sea la matriz identidad. Entonces
Vectores aleatorios complejos
La varianza de una variable aleatoria compleja con valor escalar con valor esperado se define convencionalmente mediante conjugación compleja : donde se denota
el conjugado complejo de un número complejo ; por tanto, la varianza de una variable aleatoria compleja es un número real.
Si es un vector columna de variables aleatorias de valores complejos, entonces la transpuesta conjugada se forma transponiendo y conjugando. En la siguiente expresión, el producto de un vector con su transpuesta conjugada da como resultado una matriz cuadrada llamada matriz de covarianza , según su expectativa: [7] : 293
La matriz así obtenida será hermitiana positiva-semidefinida , [8] con números reales en la diagonal principal y números complejos fuera de la diagonal.
Propiedades
La matriz de covarianza es una matriz hermitiana , es decir . [1] : 179
Los elementos diagonales de la matriz de covarianza son reales. [1] : 179
Matriz de pseudocovarianza
Para vectores aleatorios complejos, otro tipo de segundo momento central, la matriz de pseudocovarianza (también llamada matriz de relaciones ) se define de la siguiente manera:
A diferencia de la matriz de covarianza definida anteriormente, la transposición hermitiana se reemplaza por transposición en la definición. Sus elementos diagonales pueden tener valores complejos; es una matriz simétrica compleja .
Estimacion
Si y son matrices de datos centradas de dimensión y respectivamente, es decir, con n columnas de observaciones de p y q filas de variables, de las cuales se han restado las medias de las filas, entonces, si las medias de las filas se estimaron a partir de los datos, las matrices de covarianza de la muestra y se puede definir como
o, si las medias de las filas se conocieran a priori,
Estas matrices de covarianza de muestra empírica son los estimadores más sencillos y más utilizados para las matrices de covarianza, pero también existen otros estimadores, incluidos los estimadores regularizados o de contracción, que pueden tener mejores propiedades.
La estrategia de evolución , una familia particular de heurísticas de búsqueda aleatoria, se basa fundamentalmente en una matriz de covarianza en su mecanismo. El operador de mutación característico extrae el paso de actualización de una distribución normal multivariada utilizando una matriz de covarianza en evolución. Existe una prueba formal de que la matriz de covarianza de la estrategia de evolución se adapta a la inversa de la matriz de Hesse del panorama de búsqueda, hasta un factor escalar y pequeñas fluctuaciones aleatorias (probado para una estrategia monoparental y un modelo estático, como el el tamaño de la población aumenta, basándose en la aproximación cuadrática). [9]
Intuitivamente, este resultado está respaldado por el razonamiento de que la distribución de covarianza óptima puede ofrecer pasos de mutación cuyos contornos de probabilidad de equidensidad coinciden con los conjuntos de niveles del paisaje y, por lo tanto, maximizan la tasa de progreso.
Mapeo de covarianza
En el mapeo de covarianza, los valores de la matriz o se trazan como un mapa bidimensional. Cuando los vectores y son funciones aleatorias discretas , el mapa muestra relaciones estadísticas entre diferentes regiones de las funciones aleatorias. Las regiones estadísticamente independientes de las funciones aparecen en el mapa como llanuras de nivel cero, mientras que las correlaciones positivas o negativas aparecen, respectivamente, como colinas o valles.
En la práctica, los vectores de columna y se adquieren experimentalmente como filas de muestras, por ejemplo, ¿
dónde está el i -ésimo valor discreto en la muestra j de la función aleatoria ? Los valores esperados necesarios en la fórmula de covarianza se estiman utilizando la media de la muestra , por ejemplo,
y la matriz de covarianza se estima mediante la matriz de covarianza de la muestra donde los paréntesis angulares indican el promedio de la muestra como antes, excepto que se debe realizar
la corrección de Bessel para evitar sesgos . Usando esta estimación, la matriz de covarianza parcial se puede calcular
donde la barra invertida denota el operador de división de la matriz izquierda , lo que evita el requisito de invertir una matriz y está disponible en algunos paquetes computacionales como Matlab . [10]
La figura 1 ilustra cómo se construye un mapa de covarianza parcial en un ejemplo de un experimento realizado en el láser de electrones libres FLASH en Hamburgo. [11] La función aleatoria es el espectro de tiempo de vuelo de los iones de una explosión de Coulomb de moléculas de nitrógeno ionizadas múltiples veces por un pulso láser. Dado que en cada impulso láser sólo se ionizan unos pocos cientos de moléculas, los espectros de un solo disparo fluctúan mucho. Sin embargo, al recolectar típicamente dichos espectros y promediarlos se produce un espectro suave , que se muestra en rojo en la parte inferior de la Fig. 1. El espectro promedio revela varios iones de nitrógeno en forma de picos ampliados por su energía cinética, pero para Para encontrar las correlaciones entre las etapas de ionización y los momentos de los iones es necesario calcular un mapa de covarianza.
En el ejemplo de la Fig. 1, los espectros son iguales, excepto que el rango del tiempo de vuelo difiere. El panel a muestra , el panel b muestra y el panel c muestra su diferencia, que es (observe un cambio en la escala de colores). Desafortunadamente, este mapa está abrumado por correlaciones de modo común poco interesantes inducidas por la fluctuación de la intensidad del láser de un disparo a otro. Para suprimir tales correlaciones, la intensidad del láser se registra en cada disparo, se introduce y se calcula como muestran los paneles d y e . Sin embargo, la supresión de las correlaciones poco interesantes es imperfecta porque existen otras fuentes de fluctuaciones de modo común además de la intensidad del láser y, en principio, todas estas fuentes deberían controlarse en forma vectorial . Sin embargo, en la práctica suele ser suficiente sobrecompensar la corrección de covarianza parcial, como muestra el panel f , donde ahora son claramente visibles correlaciones interesantes de los momentos de los iones como líneas rectas centradas en las etapas de ionización del nitrógeno atómico.
Espectroscopía infrarroja bidimensional.
La espectroscopia infrarroja bidimensional emplea análisis de correlación para obtener espectros 2D de la fase condensada . Hay dos versiones de este análisis: sincrónico y asincrónico . Matemáticamente, el primero se expresa en términos de la matriz de covarianza muestral y la técnica es equivalente al mapeo de covarianza. [12]
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