Distribución elíptica

Familia de distribuciones que generalizan la distribución normal multivariada.

En probabilidad y estadística , una distribución elíptica es cualquier miembro de una amplia familia de distribuciones de probabilidad que generalizan la distribución normal multivariada . Intuitivamente, en el caso simplificado de dos y tres dimensiones, la distribución conjunta forma una elipse y un elipsoide , respectivamente, en gráficos de isodensidad.

En estadística , la distribución normal se utiliza en el análisis multivariado clásico , mientras que las distribuciones elípticas se utilizan en el análisis multivariado generalizado , para el estudio de distribuciones simétricas con colas pesadas , como la distribución t multivariada , o ligeras (en comparación con la normal). distribución). Algunos métodos estadísticos que originalmente fueron motivados por el estudio de la distribución normal tienen buen desempeño para distribuciones elípticas generales (con varianza finita), particularmente para distribuciones esféricas (que se definen a continuación). Las distribuciones elípticas también se utilizan en estadísticas sólidas para evaluar los procedimientos estadísticos multivariados propuestos.

Definición

Las distribuciones elípticas se definen en términos de la función característica de la teoría de la probabilidad. Un vector aleatorio en un espacio euclidiano tiene una distribución elíptica si su función característica satisface la siguiente ecuación funcional (para cada vector columna ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

para algún parámetro de ubicación , alguna matriz definida no negativa y alguna función escalar . ^[1] La definición de distribuciones elípticas para vectores aleatorios reales se ha ampliado para dar cabida a vectores aleatorios en espacios euclidianos sobre el campo de números complejos , facilitando así las aplicaciones en el análisis de series temporales . ^[2] Hay métodos computacionales disponibles para generar vectores pseudoaleatorios a partir de distribuciones elípticas, para su uso en simulaciones de Monte Carlo, por ejemplo. ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \psi }$

Algunas distribuciones elípticas se definen alternativamente en términos de sus funciones de densidad . Una distribución elíptica con una función de densidad f tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

donde es la constante de normalización , es un vector aleatorio de dimensiones con un vector mediano (que también es el vector medio si este último existe) y es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Ejemplos

Los ejemplos incluyen las siguientes distribuciones de probabilidad multivariadas:

• Distribución normal multivariada
• Distribución t multivariada
• Distribución estable multivariada simétrica ^[5]
• Distribución de Laplace multivariada simétrica ^[6]
• Distribución logística multivariante ^[7]
• Distribución hiperbólica general simétrica multivariada ^[7]

Propiedades

En el caso bidimensional, si la densidad existe, cada lugar geométrico de isodensidad (el conjunto de pares x ₁ , x ₂ que dan un valor particular de ) es una elipse o una unión de elipses (de ahí el nombre de distribución elíptica). De manera más general, para n arbitrario , los lugares geométricos de isodensidad son uniones de elipsoides . Todos estos elipsoides o elipses tienen el centro común μ y son copias escaladas (homotetas) entre sí. ${\displaystyle f(x)}$

La distribución normal multivariada es el caso especial en el que . Si bien la normal multivariada es ilimitada (cada elemento de puede tomar valores positivos o negativos arbitrariamente grandes con probabilidad distinta de cero, porque para todos los no negativos ), en general las distribuciones elípticas pueden ser acotadas o no acotadas; dicha distribución es acotada si por todo mayor que algún valor. ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{-z/2}>0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)=0}$ ${\displaystyle z}$

Existen distribuciones elípticas que tienen una media indefinida , como la distribución de Cauchy (incluso en el caso univariado). Debido a que la variable x ingresa cuadráticamente a la función de densidad, todas las distribuciones elípticas son simétricas con respecto a ${\displaystyle \mu .}$

Si dos subconjuntos de un vector aleatorio elíptico conjunto no están correlacionados , entonces, si sus medias existen, son medias independientes entre sí (la media de cada subvector condicionada al valor del otro subvector es igual a la media incondicional). ^{[8] : pág. 748}

Si el vector aleatorio X está distribuido elípticamente, también lo está DX para cualquier matriz D con rango de fila completo . Por tanto, cualquier combinación lineal de los componentes de X es elíptica (aunque no necesariamente con la misma distribución elíptica), y cualquier subconjunto de X es elíptico. ^{[8] : pág. 748}

Aplicaciones

Las distribuciones elípticas se utilizan en estadística y economía.

En economía matemática, se han utilizado distribuciones elípticas para describir carteras en finanzas matemáticas . ^{[9] [10]}

Estadística: Análisis multivariado generalizado

En estadística, la distribución normal multivariada (de Gauss) se utiliza en el análisis multivariado clásico , en el que la mayoría de los métodos de estimación y prueba de hipótesis están motivados por la distribución normal. A diferencia del análisis multivariado clásico, el análisis multivariado generalizado se refiere a la investigación de distribuciones elípticas sin la restricción de la normalidad.

Para distribuciones elípticas adecuadas, algunos métodos clásicos siguen teniendo buenas propiedades. ^{[11] [12]} Bajo supuestos de varianza finita, se cumple una extensión del teorema de Cochran (sobre la distribución de formas cuadráticas). ^[13]

Distribución esférica

Una distribución elíptica con media cero y varianza en la forma donde está la matriz identidad se llama distribución esférica . ^[14] Para distribuciones esféricas, se han ampliado los resultados clásicos sobre estimación de parámetros y prueba de hipótesis. ^{[15] [16]} Resultados similares son válidos para modelos lineales , ^[17] y, de hecho, también para modelos complicados (especialmente para el modelo de curva de crecimiento ). El análisis de modelos multivariados utiliza álgebra multilineal (particularmente productos de Kronecker y vectorización ) y cálculo matricial . ^{[12] [18] [19]} ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle I}$

Estadísticas sólidas: asintóticas

Otro uso de las distribuciones elípticas es en estadística robusta , en la que los investigadores examinan cómo se desempeñan los procedimientos estadísticos en la clase de distribuciones elípticas, para obtener información sobre el desempeño de los procedimientos en problemas aún más generales, ^[20] por ejemplo, utilizando la teoría limitante de estadísticas ("asintóticas"). ^[21]

Economía y Finanzas

Las distribuciones elípticas son importantes en la teoría de carteras porque, si los rendimientos de todos los activos disponibles para la formación de carteras se distribuyen conjuntamente de manera elíptica, entonces todas las carteras pueden caracterizarse completamente por su ubicación y escala, es decir, dos carteras cualesquiera con ubicación y escala de cartera idénticas. El rendimiento tiene distribuciones idénticas del rendimiento de la cartera. ^{[22] [8]} Varias características del análisis de cartera, incluidos los teoremas de separación de fondos mutuos y el modelo de valoración de activos de capital , se mantienen para todas las distribuciones elípticas. ^{[8] : pág. 748}

Notas

1. Cambanis, Huang y Simons (1981, pág.368)
2. Fang, Kotz y Ng (1990, capítulo 2.9 "Distribuciones elípticamente simétricas complejas", págs. 64-66)
3. Johnson (1987, capítulo 6, "Distribuciones de contorno elíptico, págs. 106-124): Johnson, Mark E. (1987). Simulación estadística multivariada: una guía para seleccionar y generar distribuciones multivariadas continuas . John Wiley and Sons., "una discusión admirablemente lúcida" según Fang, Kotz y Ng (1990, p. 27).
4. Frahm, G., Junker, M. y Szimayer, A. (2003). Cópulas elípticas: Aplicabilidad y limitaciones. Cartas de estadística y probabilidad , 63(3), 275–286.
5. Nolan, John (29 de septiembre de 2014). "Funciones de distribución y densidades estables multivariadas: caso general y elíptico" . Consultado el 26 de mayo de 2017 .
6. Pascal, F.; et al. (2013). "Estimación de parámetros para distribuciones gaussianas generalizadas multivariadas". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 61 (23): 5960–5971. arXiv : 1302.6498 . Código Bib : 2013ITSP...61.5960P. doi :10.1109/TSP.2013.2282909. S2CID  3909632.
7. Schmidt, Rafael (2012). "Modelado y estimación del riesgo crediticio mediante cópulas elípticas". En Bol, George; et al. (eds.). Riesgo de Crédito: Medición, Evaluación y Gestión . Saltador. pag. 274.ISBN​ 9783642593659.
8. Owen y Rabinovitch (1983)
9. (Gupta, Varga y Bodnar 2013)
10. (Chamberlain 1983; Owen y Rabinovitch 1983)
11. Anderson (2004, la sección final del texto (antes de "Problemas") que siempre se titula "Distribuciones de contorno elíptico", de los siguientes capítulos: Capítulos 3 ("Estimación del vector medio y la matriz de covarianza", Sección 3.6, pp. 101-108), 4 ("Las distribuciones y usos de los coeficientes de correlación muestral", Sección 4.5, págs. 158-163), 5 ("El estadístico T ² generalizado", Sección 5.7, págs. 199-201) , 7 ("La distribución de la matriz de covarianza muestral y la varianza generalizada muestral", Sección 7.9, págs. 242-248), 8 ("Prueba de la hipótesis lineal general; análisis multivariado de la varianza", Sección 8.11, págs. 370- 374), 9 ("Prueba de independencia de conjuntos de variables", Sección 9.11, págs. 404-408), 10 ("Prueba de hipótesis de igualdad de matrices de covarianza e igualdad de vectores medios y vectores de covarianza", Sección 10.11, págs. 449 -454), 11 ("Componentes principales", Sección 11.8, págs. 482-483), 13 ("La distribución de raíces y vectores característicos", Sección 13.8, págs. 563-567))
12. Fang y Zhang (1990)
13. Fang y Zhang (1990, capítulo 2.8 "Distribución de formas cuadráticas y teorema de Cochran", págs. 74-81)
14. Fang & Zhang (1990, Capítulo 2.5 "Distribuciones esféricas", págs. 53-64)
15. Fang & Zhang (1990, Capítulo IV "Estimación de parámetros", págs. 127-153)
16. Fang & Zhang (1990, Capítulo V "Prueba de hipótesis", págs. 154-187)
17. Fang & Zhang (1990, Capítulo VII "Modelos lineales", págs. 188-211)
18. Pan y colmillo (2007, pág.ii)
19. Kollo y von Rosen (2005, pág. xiii)
20. Kariya, Takeaki; Sinha, Bimal K. (1989). Robustez de las pruebas estadísticas . Prensa académica. ISBN 0123982308.
21. Kollo y von Rosen (2005, pág.221)
22. Chambelán (1983)

Referencias

• Anderson, TW (2004). Una introducción al análisis estadístico multivariado (3ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
• Cambanis, Stamatis; Huang, Acero; Simons, Gordon (1981). "Sobre la teoría de distribuciones de contorno elíptico". Revista de análisis multivariado . 11 (3): 368–385. doi : 10.1016/0047-259x(81)90082-8 .
• Chamberlain, Gary (febrero de 1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican media: funciones de utilidad de varianza". Revista de teoría económica . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
• Colmillo, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Análisis multivariado generalizado . Science Press (Pekín) y Springer-Verlag (Berlín). ISBN 3540176519. OCLC  622932253.
• Colmillo, Kai-Tai ; Kotz, Samuel ; Ng, Kai Wang ("Kai-Wang" en la portada) (1990). Distribuciones simétricas multivariadas y relacionadas . Monografías sobre estadística y probabilidad aplicada. vol. 36. Londres: Chapman y Hall. ISBN 0-412-314-304. OCLC  123206055.
• Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas; Bodnar, Taras (2013). Modelos de contorno elíptico en estadística y teoría de carteras (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4614-8154-6. ISBN 978-1-4614-8153-9.

  Originalmente Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas (1993). Modelos de contorno elíptico en estadística . Matemáticas y sus aplicaciones (1ª ed.). Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0792326083.

• Kollo, Tõnu; Von Rosen, Dietrich (2005). Estadística multivariada avanzada con matrices . Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Owen, Joel; Rabinovitch, Ramón (junio de 1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". La Revista de Finanzas . 38 (3): 745–752. doi :10.2307/2328079. JSTOR  2328079.
• Pan, Jianxin; Colmillo, Kaitai (2007). Modelos de curvas de crecimiento y diagnóstico estadístico (PDF) . Serie Springer en estadística. Science Press (Pekín) y Springer-Verlag (Nueva York). doi :10.1007/978-0-387-21812-0. ISBN 9780387950532. OCLC  44162563.

Otras lecturas

• Colmillo, Kai-Tai ; Anderson, TW , eds. (1990). Inferencia estadística en distribuciones relacionadas y de contorno elíptico . Nueva York: Allerton Press. ISBN 0898640482. OCLC  20490516.Una colección de artículos.