En teoría de probabilidad y estadística bayesiana , la distribución Lewandowski-Kurowicka-Joe , a menudo denominada distribución LKJ , es una distribución de probabilidad sobre matrices simétricas definidas positivas con diagonales unitarias. [1]
La distribución LKJ fue introducida por primera vez en 2009 en un contexto más general [2] por Daniel Lewandowski, Dorota Kurowicka y Harry Joe. Es un ejemplo de la cópula de Vine , un enfoque para distribuciones de probabilidad restringidas de alta dimensión.
La distribución tiene un único parámetro de forma y la función de densidad de probabilidad para una matriz es
con constante normalizadora , expresión complicada que incluye un producto sobre funciones Beta . Para , la distribución es uniforme sobre el espacio de todas las matrices de correlación; es decir, el espacio de matrices definidas positivas con diagonal unitaria.
La distribución LKJ se utiliza comúnmente como una distribución previa para la matriz de correlación en el modelado bayesiano jerárquico. El modelado bayesiano jerárquico a menudo intenta hacer una inferencia sobre la estructura de covarianza de los datos, que se puede descomponer en un vector de escala y una matriz de correlación. [3] En lugar de la distribución previa en la matriz de covarianza, como la distribución Wishart inversa , la distribución LKJ puede servir como una distribución previa en la matriz de correlación junto con alguna distribución previa adecuada en el vector de escala. Se ha implementado como parte del lenguaje de programación probabilística Stan y como una biblioteca vinculada a la biblioteca de programación probabilística Turing.jl en Julia .
![{\displaystyle p(\mathbf {R} ;\eta )=C\times [\det(\mathbf {R} )]^{\eta -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789875bdb13d8e410ffa6e3e515879a1de6d4e20)
![{\displaystyle C=2^{\sum _{k=1}^{d}(2\eta -2+dk)(dk)}\prod _{k=1}^{d-1}\left[B\left(\eta +(dk-1)/2,\eta +(dk-1)/2\right)\right]^{dk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291a0f65e2e811840d404932a6b586bb4d622ef8)
