Matriz de covarianza cruzada

Type of matrix in probability theory and statistics

En teoría de probabilidad y estadística , una matriz de covarianza cruzada es una matriz cuyo elemento en la posición i , j es la covarianza entre el elemento i -ésimo de un vector aleatorio y el elemento j -ésimo de otro vector aleatorio. Un vector aleatorio es una variable aleatoria con múltiples dimensiones. Cada elemento del vector es una variable aleatoria escalar . Cada elemento tiene un número finito de valores empíricos observados o un número finito o infinito de valores potenciales . Los valores potenciales se especifican mediante una distribución de probabilidad conjunta teórica . Intuitivamente, la matriz de covarianza cruzada generaliza la noción de covarianza a múltiples dimensiones.

La matriz de covarianza cruzada de dos vectores aleatorios se denota típicamente por o . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

Definición

Para vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de covarianza cruzada de y se define por ^{[1] : 336} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

donde y son vectores que contienen los valores esperados de y . Los vectores y no necesitan tener la misma dimensión, y cualquiera de ellos puede ser un valor escalar. ${\displaystyle \mathbf {\mu _{X}} =\operatorname {E} [\mathbf {X} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {\mu _{Y}} =\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

La matriz de covarianza cruzada es la matriz cuya entrada es la covarianza ${\displaystyle (i,j)}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{X_{i}Y_{j}}=\operatorname {cov} [X_{i},Y_{j}]=\operatorname {E} [(X_{i}-\operatorname {E} [X_{i}])(Y_{j}-\operatorname {E} [Y_{j}])]}$

entre el elemento i -ésimo de y el elemento j -ésimo de . Esto da la siguiente definición de la matriz de covarianza cruzada por componentes. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Ejemplo

Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es una matriz cuya entrada -ésima es . ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$ ${\displaystyle 3\times 2}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},Y_{j})}$

Propiedades

Para la matriz de covarianza cruzada, se aplican las siguientes propiedades básicas: ^[2]

1. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]-\mathbf {\mu _{X}} \mathbf {\mu _{Y}} ^{\rm {T}}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )^{\rm {T}}}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} +\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} ,\mathbf {Y} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cov} (A\mathbf {X} +\mathbf {a} ,B^{\rm {T}}\mathbf {Y} +\mathbf {b} )=A\,\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\,B}$
5. Si y son independientes (o de manera menos restringida, si cada variable aleatoria en no está correlacionada con cada variable aleatoria en ), entonces ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=0_{p\times q}}$

donde , y son vectores aleatorios , es un vector aleatorio, es un vector, es un vector, y son matrices de constantes, y es una matriz de ceros. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {X_{2}} }$ ${\displaystyle p\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle q\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle q\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle p\times 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle q\times p}$ ${\displaystyle 0_{p\times q}}$ ${\displaystyle p\times q}$

Definición de vectores aleatorios complejos

Si y son vectores aleatorios complejos, la definición de la matriz de covarianza cruzada se modifica ligeramente. La transposición se reemplaza por la transposición hermítica : ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} (\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mathbf {\mu _{Z}} )(\mathbf {W} -\mathbf {\mu _{W}} )^{\rm {H}}]}$

Para vectores aleatorios complejos, otra matriz llamada matriz de pseudo-covarianza cruzada se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} (\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mathbf {\mu _{Z}} )(\mathbf {W} -\mathbf {\mu _{W}} )^{\rm {T}}]}$

Falta de correlación

Dos vectores aleatorios y se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza cruzada es una matriz cero. ^{[1] : 337} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

Los vectores aleatorios complejos y se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza y su matriz de pseudocovarianza son cero, es decir, si . ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

Referencias

1. Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
2. Taboga, Marco (2010). "Conferencias sobre teoría de la probabilidad y estadística matemática".