Type of matrix in probability theory and statistics
En teoría de probabilidad y estadística , una matriz de covarianza cruzada es una matriz cuyo elemento en la posición i , j es la covarianza entre el i -ésimo elemento de un vector aleatorio y el j -ésimo elemento de otro vector aleatorio. Un vector aleatorio es una variable aleatoria con múltiples dimensiones. Cada elemento del vector es una variable aleatoria escalar . Cada elemento tiene un número finito de valores empíricos observados o un número finito o infinito de valores potenciales . Los valores potenciales se especifican mediante una distribución de probabilidad conjunta teórica . Intuitivamente, la matriz de covarianza cruzada generaliza la noción de covarianza a múltiples dimensiones.
La matriz de covarianza cruzada de dos vectores aleatorios y normalmente se denota por o .
Definición
Para vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de covarianza cruzada de y está definida por [1] : 336
donde y son vectores que contienen los valores esperados de y . Los vectores y no necesitan tener la misma dimensión y cualquiera de ellos puede ser un valor escalar.
La matriz de covarianza cruzada es la matriz cuya entrada es la covarianza
entre el i -ésimo elemento de y el j -ésimo elemento de . Esto proporciona la siguiente definición por componentes de la matriz de covarianza cruzada.
Ejemplo
Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es una matriz cuya entrada -ésima es .
Propiedades
Para la matriz de covarianza cruzada, se aplican las siguientes propiedades básicas: [2]
- Si y son independientes (o de manera algo menos restringida, si cada variable aleatoria en no está correlacionada con ninguna variable aleatoria en ), entonces
donde , y son vectores aleatorios, es un vector aleatorio, es un vector, es un vector y son matrices de constantes y es una matriz de ceros.
Definición de vectores aleatorios complejos
Si y son vectores aleatorios complejos, la definición de la matriz de covarianza cruzada cambia ligeramente. La transposición se sustituye por la transposición hermitiana :
Para vectores aleatorios complejos, otra matriz llamada matriz de pseudocovarianza cruzada se define de la siguiente manera:
Descorrelación
Dos vectores aleatorios se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza cruzada es una matriz cero. [1] : 337
Son vectores aleatorios complejos y se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza y su matriz de pseudocovarianza es cero, es decir, si .
Referencias
- ^ ab Gubner, John A. (2006). Probabilidad y Procesos Aleatorios para Ingenieros Eléctricos e Informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86470-1.
- ^ Taboga, Marco (2010). "Conferencias sobre teoría de la probabilidad y estadística matemática".