Superficie de Seifert

Superficie orientable cuyo límite es un nudo o enlace

Una superficie de Seifert delimitada por un conjunto de anillos borromeos .

En matemáticas , una superficie de Seifert (llamada así en honor al matemático alemán Herbert Seifert ^{[1] [2] ) es una} superficie orientable cuyo límite es un nudo o enlace dado .

Estas superficies se pueden utilizar para estudiar las propiedades del nudo o vínculo asociado. Por ejemplo, muchas invariantes de nudos se calculan más fácilmente utilizando una superficie de Seifert. Las superficies de Seifert también son interesantes por sí mismas y son objeto de una considerable investigación.

En concreto, sea L un nudo o enlace orientado domesticado en el 3-espacio euclidiano (o en la 3-esfera ). Una superficie de Seifert es una superficie S compacta , conexa y orientada incrustada en el 3-espacio cuyo límite es L tal que la orientación en L es simplemente la orientación inducida desde S .

Nótese que cualquier superficie compacta, conectada y orientada con un borde no vacío en el espacio tridimensional euclidiano es la superficie de Seifert asociada a su vínculo de borde. Un solo nudo o vínculo puede tener muchas superficies de Seifert no equivalentes diferentes. Una superficie de Seifert debe estar orientada . También es posible asociar superficies a nudos que no estén orientadas ni sean orientables.

Ejemplos

Superficie de Seifert para el enlace de Hopf . Se trata de un anillo, no de una banda de Möbius. Tiene dos semitorsiones y, por lo tanto, es orientable.

La banda de Möbius estándar tiene el nudo como límite, pero no es una superficie de Seifert para el nudo porque no es orientable.

La coloración en "tablero de ajedrez" de la proyección de cruce mínima habitual del nudo de trébol da una banda de Möbius con tres medias vueltas. Al igual que en el ejemplo anterior, no se trata de una superficie de Seifert, ya que no es orientable. La aplicación del algoritmo de Seifert a este diagrama, como se esperaba, produce una superficie de Seifert; en este caso, es un toro perforado de género g = 1, y la matriz de Seifert es

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Existencia y matriz de Seifert

Se trata de un teorema que establece que cualquier enlace siempre tiene asociada una superficie de Seifert. Este teorema fue publicado por primera vez por Frankl y Pontryagin en 1930. ^[3] Una prueba diferente fue publicada en 1934 por Herbert Seifert y se basa en lo que ahora se denomina el algoritmo de Seifert. El algoritmo produce una superficie de Seifert , dada una proyección del nudo o enlace en cuestión. ${\displaystyle S}$

Supongamos que el enlace tiene m componentes ( m = 1 para un nudo), el diagrama tiene d puntos de cruce y al resolver los cruces (preservando la orientación del nudo) se obtienen f círculos. Luego, la superficie se construye a partir de f discos disjuntos uniendo d bandas. El grupo de homología es abeliano libre en 2 g generadores, donde ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)}$

es el género de . La forma de intersección Q en es antisimétrica y hay una base de 2 g ciclos con igual a una suma directa de las g copias de la matriz ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$ ${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Una ilustración de (curvas isotópicas a) los empujes de un generador de homología a en las direcciones positiva y negativa para una superficie Seifert del nudo en forma de ocho.

La matriz de Seifert entera de 2 g × 2 g

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

tiene el número de enlace en el 3-espacio euclidiano (o en la 3-esfera ) de un _i y el "empuje" de un _j en la dirección positiva de . Más precisamente, recordando que las superficies de Seifert son bicolares, lo que significa que podemos extender la incrustación de a una incrustación de , dado algún bucle representativo que es generador de homología en el interior de , el empuje positivo es y el empuje negativo es . ^[4] ${\displaystyle v(i,j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times [-1,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\times \{1\}}$ ${\displaystyle x\times \{-1\}}$

Con esto tenemos

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

donde V ^∗ = ( v ( j , i )) la matriz transpuesta. Toda matriz entera 2 g × 2 g con surge como la matriz de Seifert de un nudo con superficie de Seifert de género g . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V^{*}=Q}$

El polinomio de Alexander se calcula a partir de la matriz de Seifert, por la cual es un polinomio de grado como máximo 2 g en la indeterminada. El polinomio de Alexander es independiente de la elección de la superficie de Seifert y es un invariante del nudo o enlace. ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle S,}$

La firma de un nudo es la firma de la matriz simétrica de Seifert. Es nuevamente un invariante del nudo o vínculo. ${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$

Género de un nudo

Las superficies de Seifert no son en absoluto únicas: una superficie de Seifert S de género g y matriz de Seifert V puede modificarse mediante una cirugía topológica , dando como resultado una superficie de Seifert S ′ de género g + 1 y matriz de Seifert

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El género de un nudo K es el invariante del nudo definido por el género mínimo g de una superficie de Seifert para K.

Por ejemplo:

• Un nudo desuniforme , que es, por definición, el límite de un disco , tiene género cero. Además, el nudo desuniforme es el único nudo con género cero.
• El nudo de trébol tiene género 1, al igual que el nudo de ocho .
• El género de un nudo toroidal ( p ,  q ) es ( p − 1)( q − 1)/2
• El grado del polinomio de Alexander de un nudo es un límite inferior del doble de su género.

Una propiedad fundamental del género es que es aditivo respecto de la suma del nudo :

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

En general, el género de un nudo es difícil de calcular, y el algoritmo de Seifert normalmente no produce una superficie de Seifert de género mínimo. Por esta razón, a veces son útiles otros invariantes relacionados. El género canónico de un nudo es el género mínimo de todas las superficies de Seifert que se pueden construir mediante el algoritmo de Seifert, y el género libre es el género mínimo de todas las superficies de Seifert cuyo complemento en es un cuerpo de manija . (El complemento de una superficie de Seifert generada por el algoritmo de Seifert es siempre un cuerpo de manija.) Para cualquier nudo, la desigualdad obviamente se cumple, por lo que en particular estos invariantes imponen límites superiores al género. ^[5] ${\displaystyle g_{c}}$ ${\displaystyle g_{f}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$

El género nudo es NP-completo gracias al trabajo de Ian Agol , Joel Hass y William Thurston . ^[6]

Se ha demostrado que existen superficies de Seifert del mismo género que no se vuelven isotópicas ni topológicamente ni de manera suave en la esfera de 4. ^{[7] [8]}

Véase también

• Número de tapa cruzada
• Invariante Arf de un nudo
• Suma Murasugi
• Género Slice

Referencias

1. Seifert, H. (1934). "Über das Geschlecht von Knoten". Matemáticas. Annalen (en alemán). 110 (1): 571–592. doi :10.1007/BF01448044. S2CID  122221512.
2. van Wijk, Jarke J. ; Cohen, Arjeh M. (2006). "Visualización de superficies de Seifert". IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 12 (4): 485–496. doi :10.1109/TVCG.2006.83. PMID  16805258. S2CID  4131932.
3. Frankl, F.; Pontrjagin, L. (1930). "Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie". Matemáticas. Annalen (en alemán). 102 (1): 785–789. doi :10.1007/BF01782377. S2CID  123184354.
4. Dale Rolfsen. Nudos y Enlaces. (1976), 146-147.
5. Brittenham, Mark (24 de septiembre de 1998). "El género canónico delimita el volumen". arXiv : math/9809142 .
6. Agol, Ian ; Hass, Joel ; Thurston, William (19 de mayo de 2002). "El género de nudos de 3 variedades es NP-completo". Actas del trigésimo cuarto simposio anual de la ACM sobre teoría de la computación . STOC '02. Nueva York, NY, EE. UU.: Association for Computing Machinery. págs. 761–766. arXiv : math/0205057 . doi :10.1145/509907.510016. ISBN 978-1-58113-495-7. S2CID  10401375 – a través del enlace del autor.
7. Hayden, Kyle; Kim, Seungwon; Miller, Maggie; Park, JungHwan; Sundberg, Isaac (30 de mayo de 2022). "Superficies de Seifert en el 4-ball". arXiv : 2205.15283 [math.GT].
8. "Las superficies especiales se mantienen distintas en cuatro dimensiones". Revista Quanta . 2022-06-16 . Consultado el 2022-07-16 .

Enlaces externos

• El programa SeifertView de Jack van Wijk visualiza las superficies Seifert de los nudos construidos utilizando el algoritmo de Seifert.