Singularidad (matemáticas)

Punto donde una función, una curva u otro objeto matemático no se comporta regularmente

En matemáticas , una singularidad es un punto en el que un objeto matemático dado no está definido, o un punto en el que el objeto matemático deja de comportarse bien de alguna manera particular, como por ejemplo al carecer de diferenciabilidad o analiticidad . ^{[1] [2] [3]}

Por ejemplo, la función recíproca tiene una singularidad en , donde el valor de la función no está definido, ya que implica una división por cero . La función de valor absoluto también tiene una singularidad en , ya que no es diferenciable allí. ^[4] ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle g(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$

La curva algebraica definida por en el sistema de coordenadas tiene una singularidad (llamada cúspide ) en . Para singularidades en geometría algebraica , véase punto singular de una variedad algebraica . Para singularidades en geometría diferencial , véase teoría de singularidades . ${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Análisis real

En el análisis real , las singularidades son discontinuidades o discontinuidades de la derivada (a veces también discontinuidades de derivadas de orden superior). Hay cuatro tipos de discontinuidades: tipo I , que tiene dos subtipos, y tipo II , que también se puede dividir en dos subtipos (aunque normalmente no es así).

Para describir la forma en que se utilizan estos dos tipos de límites, supongamos que es una función de un argumento real , y para cualquier valor de su argumento, digamos , entonces el límite zurdo , , y el límite derecho , , se definen por: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$, limitado por y ${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$, restringido por . ${\displaystyle x>c}$

El valor es el valor hacia el cual tiende la función a medida que se aproxima desde abajo , y el valor es el valor hacia el cual tiende la función a medida que se aproxima desde arriba , independientemente del valor real que tenga la función en el punto donde  . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x=c}$

Hay algunas funciones para las que estos límites no existen en absoluto. Por ejemplo, la función

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

No tiende a nada, sino que se aproxima . Los límites en este caso no son infinitos, sino más bien indefinidos : no hay ningún valor que se establezca en él. Tomando prestado del análisis complejo, a esto a veces se le llama singularidad esencial . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle g(x)}$

Los casos posibles para un valor dado para el argumento son los siguientes. ${\displaystyle c}$

• Un punto de continuidad es un valor de para el cual , como se espera para una función suave. Todos los valores deben ser finitos. Si no es un punto de continuidad, entonces se produce una discontinuidad en . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$
• Una discontinuidad de tipo I ocurre cuando tanto y existen como son finitos, pero también se cumple al menos una de las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$no está definido para el caso de ; o ${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$tiene un valor definido, que sin embargo no coincide con el valor de los dos límites.

  Las discontinuidades de tipo I se pueden distinguir además como uno de los siguientes subtipos:

  • Una discontinuidad de salto ocurre cuando , independientemente de si está definido, e independientemente de su valor si está definido. ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
  • Una discontinuidad removible ocurre cuando , también independientemente de si está definido, y independientemente de su valor si está definido (pero que no coincide con el de los dos límites). ${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
• Una discontinuidad de tipo II se produce cuando no existe ni una ni la otra (posiblemente ambas). Tiene dos subtipos, que normalmente no se consideran por separado: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • Una discontinuidad infinita es el caso especial en el que el límite izquierdo o el derecho no existen, específicamente porque son infinitos, y el otro límite también es infinito o es un número finito bien definido. En otras palabras, la función tiene una discontinuidad infinita cuando su gráfica tiene una asíntota vertical .
  • Una singularidad esencial es un término tomado del análisis complejo (ver más abajo). Este es el caso cuando uno u otro limita o no existe, pero no porque sea una discontinuidad infinita . Las singularidades esenciales no se acercan a ningún límite, ni siquiera si se amplían las respuestas válidas para incluir . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

En el análisis real, una singularidad o discontinuidad es una propiedad exclusiva de una función. Cualquier singularidad que pueda existir en la derivada de una función se considera como perteneciente a la derivada, no a la función original.

Singularidades de coordenadas

Una singularidad de coordenadas ocurre cuando una singularidad o discontinuidad aparente ocurre en un sistema de coordenadas, que puede eliminarse eligiendo un sistema diferente. Un ejemplo de esto es la singularidad aparente en la latitud de 90 grados en coordenadas esféricas . Un objeto que se mueve hacia el norte (por ejemplo, a lo largo de la línea de 0 grados de longitud) en la superficie de una esfera experimentará de repente un cambio instantáneo en la longitud en el polo (en el caso del ejemplo, saltando de la longitud 0 a la longitud 180 grados). Esta discontinuidad, sin embargo, es solo aparente; es un artefacto del sistema de coordenadas elegido, que es singular en los polos. Un sistema de coordenadas diferente eliminaría la discontinuidad aparente (por ejemplo, reemplazando la representación de latitud/longitud con una representación de n -vector ).

Análisis complejo

En el análisis complejo , existen varias clases de singularidades, entre ellas las singularidades aisladas, las singularidades no aisladas y los puntos de ramificación.

Singularidades aisladas

Supongamos que es una función compleja diferenciable en el complemento de un punto en un subconjunto abierto de los números complejos Entonces: ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ~.}$

• El punto es una singularidad removible de si existe una función holomorfa definida en todos los de tal que para todos en La función es un reemplazo continuo para la función ^[3] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ f(z)=g(z)\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ f~.}$
• El punto es un polo o singularidad no esencial de si existe una función holomorfa definida en con distinto de cero, y un número natural tal que para todo en El menor de tales números se llama orden del polo . La derivada en una singularidad no esencial tiene en sí misma una singularidad no esencial, con incrementada en 1 (excepto si es 0 de modo que la singularidad es removible). ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ g(a)\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$
• El punto es una singularidad esencial de si no es ni una singularidad removible ni un polo. El punto es una singularidad esencial si y sólo si la serie de Laurent tiene infinitas potencias de grado negativo. ^[1] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

Singularidades no aisladas

Además de las singularidades aisladas, las funciones complejas de una variable pueden presentar otros comportamientos singulares. Se denominan singularidades no aisladas, de las que hay dos tipos:

• Puntos de cúmulo : puntos límite de singularidades aisladas. Si todos son polos, a pesar de admitirse expansiones en serie de Laurent en cada uno de ellos, entonces no es posible ninguna expansión de este tipo en su límite.
• Límites naturales : cualquier conjunto no aislado (por ejemplo, una curva) en el que no se pueden continuar analíticamente funciones alrededor (o fuera de ellos si son curvas cerradas en la esfera de Riemann ).

Puntos de ramificación

Los puntos de ramificación son generalmente el resultado de una función multivaluada , como o que se definen dentro de un cierto dominio limitado de modo que la función pueda convertirse en univaluada dentro del dominio. El corte es una línea o curva excluida del dominio para introducir una separación técnica entre valores discontinuos de la función. Cuando el corte es realmente necesario, la función tendrá valores claramente diferentes en cada lado del corte de la rama. La forma del corte de la rama es una cuestión de elección, aunque debe conectar dos puntos de ramificación diferentes (como y para ) que están fijos en su lugar. ${\displaystyle \ {\sqrt {z\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ ,}$ ${\displaystyle \ z=0\ }$ ${\displaystyle \ z=\infty \ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ }$

Singularidad de tiempo finito

La función recíproca , que exhibe crecimiento hiperbólico .

Una singularidad de tiempo finito ocurre cuando una variable de entrada es el tiempo y una variable de salida aumenta hacia el infinito en un tiempo finito. Estos son importantes en cinemática y ecuaciones diferenciales parciales : los infinitos no ocurren físicamente, pero el comportamiento cerca de la singularidad suele ser de interés. Matemáticamente, las singularidades de tiempo finito más simples son leyes de potencia para varios exponentes de la forma de los cuales el más simple es el crecimiento hiperbólico , donde el exponente es (negativo) 1: Más precisamente, para obtener una singularidad en tiempo positivo a medida que avanza el tiempo (por lo que la salida crece hasta el infinito), uno usa en cambio (usando t para el tiempo, invirtiendo la dirección a para que el tiempo aumente hasta el infinito y desplazando la singularidad hacia adelante desde 0 a un tiempo fijo ). ${\displaystyle x^{-\alpha },}$ ${\displaystyle x^{-1}.}$ ${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Un ejemplo sería el movimiento de rebote de una pelota inelástica sobre un plano. Si se considera el movimiento idealizado, en el que se pierde la misma fracción de energía cinética en cada rebote, la frecuencia de rebotes se vuelve infinita, ya que la pelota se detiene en un tiempo finito. Otros ejemplos de singularidades de tiempo finito incluyen las diversas formas de la paradoja de Painlevé (por ejemplo, la tendencia de una tiza a saltar cuando se la arrastra por una pizarra) y cómo la tasa de precesión de una moneda girada sobre una superficie plana se acelera hacia el infinito, antes de detenerse abruptamente (como se estudió utilizando el juguete del Disco de Euler ).

Algunos ejemplos hipotéticos incluyen la humorística " ecuación del fin del mundo " de Heinz von Foerster (los modelos simplistas dan como resultado una población humana infinita en un tiempo finito).

Geometría algebraica y álgebra conmutativa

En geometría algebraica , una singularidad de una variedad algebraica es un punto de la variedad donde el espacio tangente puede no estar definido regularmente. El ejemplo más simple de singularidades son las curvas que se cruzan entre sí. Pero hay otros tipos de singularidades, como las cúspides . Por ejemplo, la ecuación y ² − x ³ = 0 define una curva que tiene una cúspide en el origen x = y = 0 . Se podría definir el eje x como una tangente en este punto, pero esta definición no puede ser la misma que la definición en otros puntos. De hecho, en este caso, el eje x es una "doble tangente".

Para las variedades afines y proyectivas , las singularidades son los puntos donde la matriz jacobiana tiene un rango inferior al de otros puntos de la variedad.

Se puede dar una definición equivalente en términos de álgebra conmutativa , que se extiende a variedades y esquemas abstractos : Un punto es singular si el anillo local en este punto no es un anillo local regular .

Véase también

• Teoría de catástrofes
• Definido e indefinido
• Degeneración (matemáticas)
• Crecimiento hiperbólico
• Singularidad movible
• Patológico (matemáticas)
• Singularidad regular
• Solución singular

Referencias

1. "Singularidades, ceros y polos". mathfaculty.fullerton.edu . Consultado el 12 de diciembre de 2019 .
2. "Singularidad | funciones complejas". Enciclopedia Británica . Consultado el 12 de diciembre de 2019 .
3. Weisstein, Eric W. "Singularity". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de diciembre de 2019 .
4. Berresford, Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015). Cálculo aplicado. Cengage Learning. pág. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.