En geometría diferencial , el mapa de Gauss de una superficie es una función que asigna cada punto de la superficie a un vector unitario que es ortogonal a la superficie en ese punto. Es decir, dada una superficie X en el espacio euclidiano R 3 , el mapa de Gauss es un mapa N : X → S 2 (donde S 2 es la esfera unitaria ) tal que para cada p en X , el valor de la función N ( p ) es un vector unitario ortogonal a X en p . El mapa de Gauss lleva el nombre de Carl F. Gauss .
El mapa de Gauss puede definirse (globalmente) si y sólo si la superficie es orientable , en cuyo caso su grado es la mitad de la característica de Euler . El mapa de Gauss siempre se puede definir localmente (es decir, en una pequeña parte de la superficie). El determinante jacobiano del mapa de Gauss es igual a la curvatura gaussiana , y el diferencial del mapa de Gauss se llama operador de forma .
Gauss escribió por primera vez un borrador sobre el tema en 1825 y lo publicó en 1827.
También hay un mapa de Gauss para un enlace , que calcula el número de enlace .
El mapa de Gauss se puede definir para hipersuperficies en R n como un mapa desde una hipersuperficie hasta la esfera unitaria S n − 1 ⊆ R n .
Para una subvariedad k orientada general de R n, el mapa de Gauss también se puede definir, y su espacio objetivo es el Grassmanniano orientado , es decir, el conjunto de todos los k planos orientados en R n . En este caso, un punto de la subvariedad se asigna a su subespacio tangente orientado. También se puede asignar a su subespacio normal orientado; estos son equivalentes mediante complemento ortogonal. En el espacio tridimensional euclidiano , esto dice que un plano 2 orientado se caracteriza por una línea 1 orientada, equivalente a un vector normal unitario (como ), por lo que esto es consistente con la definición anterior.
Finalmente, la noción de mapa de Gauss se puede generalizar a una subvariedad orientada X de dimensión k en una variedad Riemanniana ambiental orientada M de dimensión n . En ese caso, el mapa de Gauss va desde X al conjunto de planos k tangentes en el paquete tangente TM . El espacio objetivo para el mapa de Gauss N es un haz de Grassmann construido sobre el haz tangente TM . En el caso en que , el paquete tangente se trivializa (por lo que el paquete de Grassmann se convierte en una función del paquete Grassmanniano), y recuperamos la definición anterior.
El área de la imagen del mapa de Gauss se llama curvatura total y equivale a la integral de superficie de la curvatura gaussiana . Ésta es la interpretación original dada por Gauss.
El teorema de Gauss-Bonnet vincula la curvatura total de una superficie con sus propiedades topológicas .
El mapa de Gauss refleja muchas propiedades de la superficie: cuando la superficie tiene curvatura gaussiana cero (es decir, a lo largo de una línea parabólica ), el mapa de Gauss tendrá una catástrofe de pliegue . Este pliegue puede contener cúspides y estas cúspides fueron estudiadas en profundidad por Thomas Banchoff , Terence Gaffney y Clint McCrory. Tanto las líneas parabólicas como las cúspides son fenómenos estables y permanecerán bajo ligeras deformaciones de la superficie. Las cúspides ocurren cuando:
Hay dos tipos de cúspides: cúspides elípticas y cúspides hiperbólicas .
