Sistema dinámico que preserva la medida

Objeto de estudio de la teoría ergódica

En matemáticas , un sistema dinámico que preserva la medida es un objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos , y en particular de la teoría ergódica . Los sistemas que preservan la medida obedecen al teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de sistemas conservativos . Proporcionan la base matemática formal para una amplia gama de sistemas físicos y, en particular, muchos sistemas de la mecánica clásica (en particular, la mayoría de los sistemas no disipativos ), así como sistemas en equilibrio termodinámico .

Definición

Un sistema dinámico que preserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que preserva la medida en él. En más detalle, es un sistema

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

con la siguiente estructura:

• ${\displaystyle X}$es un conjunto,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una σ-álgebra sobre , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$es una medida de probabilidad , de modo que , y , ${\displaystyle \mu (X)=1}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$es una transformación medible que preserva la medida , es decir, . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

Discusión

Se podría preguntar por qué la transformación que preserva la medida se define en términos de la transformación inversa en lugar de la transformación directa . Esto se puede entender intuitivamente. ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

Considere la medida típica en el intervalo unitario y un mapa . Este es el mapa de Bernoulli . Ahora, distribuya una capa uniforme de pintura en el intervalo unitario y luego trace el mapa de pintura hacia adelante. La pintura en la mitad se extiende finamente sobre todo , y la pintura en la mitad también. Las dos capas de pintura fina, superpuestas juntas, recrean exactamente el mismo espesor de pintura. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$

En términos más generales, la pintura que llegaría al subconjunto proviene del subconjunto . Para que el espesor de la pintura permanezca invariable (conservando la medida), la masa de la pintura entrante debe ser la misma: . ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

Consideremos una asignación de conjuntos de potencias : ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

Consideremos ahora el caso especial de los mapas que preservan intersecciones, uniones y complementos (de modo que es un mapa de conjuntos de Borel ) y también envía a (porque queremos que sea conservador ). Cada uno de estos mapas conservadores que preservan Borel puede especificarse mediante algún mapa sobreyectivo escribiendo . Por supuesto, también se podría definir , pero esto no es suficiente para especificar todos los mapas posibles de este tipo . Es decir, los mapas conservadores que preservan Borel no pueden, en general, escribirse en la forma . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$tiene la forma de un pushforward , mientras que se denomina genéricamente pullback . Casi todas las propiedades y comportamientos de los sistemas dinámicos se definen en términos del pushforward. Por ejemplo, el operador de transferencia se define en términos del pushforward del mapa de transformación ; la medida ahora se puede entender como una medida invariante ; es simplemente el vector propio de Frobenius-Perron del operador de transferencia (recuerde, el vector propio FP es el vector propio más grande de una matriz; en este caso es el vector propio que tiene el valor propio uno: la medida invariante). ${\displaystyle \mu (T(A))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Hay dos problemas de clasificación de interés. Uno, que se analiza a continuación, corrige y pregunta sobre las clases de isomorfismo de un mapa de transformación . El otro, que se analiza en el operador de transferencia , corrige y y pregunta sobre mapas que son similares a medidas. Similares a medidas, en el sentido de que conservan las propiedades de Borel, pero ya no son invariantes; son en general disipativos y, por lo tanto, brindan información sobre sistemas disipativos y la ruta hacia el equilibrio. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

En términos de física, el sistema dinámico que preserva la medida a menudo describe un sistema físico que está en equilibrio, por ejemplo, equilibrio termodinámico . Uno podría preguntar: ¿cómo llegó a esa situación? A menudo, la respuesta es agitación, mezcla , turbulencia , termalización u otros procesos similares. Si un mapa de transformación describe esta agitación, mezcla, etc., entonces el sistema es todo lo que queda, después de que todos los modos transitorios se hayan desintegrado. Los modos transitorios son precisamente aquellos vectores propios del operador de transferencia que tienen un valor propio menor que uno; la medida invariante es el único modo que no se desintegra. La tasa de desintegración de los modos transitorios está dada por (el logaritmo de) sus valores propios; el valor propio uno corresponde a una vida media infinita. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle \mu }$

Ejemplo informal

El conjunto microcanónico de la física proporciona un ejemplo informal. Consideremos, por ejemplo, un fluido, gas o plasma en una caja de ancho, largo y alto que consta de átomos. Un solo átomo en esa caja podría estar en cualquier lugar, con una velocidad arbitraria; estaría representado por un solo punto en Una colección dada de átomos sería entonces un solo punto en algún lugar del espacio. El "conjunto" es la colección de todos esos puntos, es decir, la colección de todas esas cajas posibles (de las cuales hay un número incontablemente infinito). Este conjunto de todas las cajas posibles es el espacio de arriba. ${\displaystyle w\times l\times h,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$ ${\displaystyle X}$

En el caso de un gas ideal , la medida viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann . Es una medida de producto , en el sentido de que si es la probabilidad de que un átomo tenga posición y velocidad , entonces, para los átomos, la probabilidad es el producto de de estos. Se entiende que esta medida se aplica al conjunto. Así, por ejemplo, una de las posibles cajas del conjunto tiene todos los átomos en un lado de la caja. Se puede calcular la probabilidad de que esto ocurra, en la medida de Maxwell-Boltzmann. Será enormemente minúscula, del orden de De todas las posibles cajas del conjunto, esta es una fracción ridículamente pequeña. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

La única razón por la que se trata de un "ejemplo informal" es porque escribir la función de transición es difícil y, aun si se escribe, es difícil realizar cálculos prácticos con ella. Las dificultades se agravan si existen interacciones entre las propias partículas, como una interacción de van der Waals o alguna otra interacción adecuada para un líquido o un plasma; en tales casos, la medida invariante ya no es la distribución de Maxwell-Boltzmann. El arte de la física consiste en encontrar aproximaciones razonables. ${\displaystyle T}$

Este sistema muestra una idea clave de la clasificación de los sistemas dinámicos que preservan la medida: dos conjuntos, con diferentes temperaturas, son inequivalentes. La entropía de un conjunto canónico dado depende de su temperatura; como sistemas físicos, es "obvio" que cuando las temperaturas difieren, también lo hacen los sistemas. Esto es válido en general: los sistemas con diferente entropía no son isomorfos.

Ejemplos

Ejemplo de un mapa de conservación ( medida de Lebesgue ): T  : [0,1) → [0,1), ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1.}$

A diferencia del ejemplo informal anterior, los ejemplos siguientes están suficientemente bien definidos y son manejables como para que se puedan realizar cálculos formales y explícitos.

• μ podría ser la medida del ángulo normalizado dθ/2π en el círculo unitario , y T una rotación. Véase el teorema de equidistribución ;
• el esquema de Bernoulli ;
• la transformación del intercambio de intervalo ;
• con la definición de una medida apropiada, un subdesplazamiento de tipo finito ;
• el flujo base de un sistema dinámico aleatorio ;
• el flujo de un campo vectorial hamiltoniano en el fibrado tangente de una variedad suave y conexa cerrada preserva la medida (usando la medida inducida en los conjuntos de Borel por la forma de volumen simpléctica ) por el teorema de Liouville (hamiltoniano) ; ^[1]
• Para ciertos mapas y procesos de Markov , el teorema de Krylov-Bogolyubov establece la existencia de una medida adecuada para formar un sistema dinámico que preserva la medida.

Generalización a grupos y monoides

La definición de un sistema dinámico que preserva la medida se puede generalizar al caso en el que T no es una única transformación que se itera para dar la dinámica del sistema, sino que es un monoide (o incluso un grupo , en cuyo caso tenemos la acción de un grupo sobre el espacio de probabilidad dado) de transformaciones T _s  : X → X parametrizadas por s ∈ Z (o R , o N ∪ {0}, o [0, +∞)), donde cada transformación T _s satisface los mismos requisitos que T anteriores. ^[1] En particular, las transformaciones obedecen las reglas:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$, la función identidad en X ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos ;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos.

El caso anterior, más simple, encaja en este marco al definir T _s = T ^s para s ∈ N .

Homomorfismos

Se puede definir el concepto de homomorfismo y de isomorfismo .

Consideremos dos sistemas dinámicos y . Luego, una función ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

es un homomorfismo de sistemas dinámicos si satisface las tres propiedades siguientes:

1. El mapa es medible . ${\displaystyle \varphi \ }$
2. Para cada uno , uno tiene . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. Para -casi todos , uno tiene . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

El sistema se denomina entonces factor de . ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

La aplicación es un isomorfismo de sistemas dinámicos si, además, existe otra aplicación ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

Esto también es un homomorfismo, que satisface

1. para -casi todos , uno tiene ; ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. para -casi todos , uno tiene . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

De aquí se puede formar una categoría de sistemas dinámicos y sus homomorfismos.

Puntos genéricos

Un punto x ∈ X se denomina punto genérico si la órbita del punto se distribuye uniformemente según la medida.

Nombres simbólicos y generadores

Considérese un sistema dinámico y sea Q = { Q ₁ , ..., Q _k } una partición de X en k conjuntos disjuntos medibles por pares. Dado un punto x ∈ X , claramente x pertenece sólo a uno de los Q _i . De manera similar, el punto iterado T ⁿ x también puede pertenecer sólo a una de las partes. El nombre simbólico de x , con respecto a la partición Q , es la secuencia de números enteros { a _n } tales que ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

El conjunto de nombres simbólicos con respecto a una partición se denomina dinámica simbólica del sistema dinámico. Una partición Q se denomina generadora o partición generadora si μ-casi cada punto x tiene un nombre simbólico único.

Operaciones sobre particiones

Dada una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y un sistema dinámico , defina el T -pullback de Q como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

Además, dadas dos particiones Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y R = { R ₁ , ..., R _m }, defina su refinamiento como

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

Con estas dos construcciones, el refinamiento de un retroceso iterado se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

que juega un papel crucial en la construcción de la entropía teórica de la medida de un sistema dinámico.

Entropía de teoría de la medida

La entropía de una partición se define como ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

La entropía mesurada de un sistema dinámico con respecto a una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } se define entonces como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Finalmente, la métrica de Kolmogorov-Sinai o entropía mesurada de un sistema dinámico se define como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones mensurables finitas. Un teorema de Yakov Sinai en 1959 muestra que el supremo se obtiene en realidad sobre particiones que son generadores. Así, por ejemplo, la entropía del proceso de Bernoulli es log 2, ya que casi cada número real tiene una expansión binaria única . Es decir, uno puede particionar el intervalo unitario en los intervalos [0, 1/2) y [1/2, 1]. Todo número real x es menor que 1/2 o no; y lo mismo ocurre con la parte fraccionaria de 2 ⁿ x .

Si el espacio X es compacto y está dotado de una topología, o es un espacio métrico, entonces también se puede definir la entropía topológica .

Si es un ergódico, que se expande por partes, y Markov en , y es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue, entonces tenemos la fórmula de Rokhlin ^[4] (sección 4.3 y sección 12.3 ^[5] ): Esto permite el cálculo de la entropía de muchos mapas de intervalos, como el mapa logístico . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

Ergódica significa que implica que tiene medida completa o medida cero. Expansión por partes y Markov significa que hay una partición de en un número finito de intervalos abiertos, de modo que para algún , en cada intervalo abierto. Markov significa que para cada uno de esos intervalos abiertos, o bien o bien . ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

Teoremas de clasificación y anticlasificación

Una de las actividades principales en el estudio de los sistemas que preservan la medida es su clasificación de acuerdo con sus propiedades. Es decir, sea un espacio de medida y sea el conjunto de todos los sistemas que preservan la medida . Un isomorfismo de dos transformaciones define una relación de equivalencia. El objetivo es entonces describir la relación . Se han obtenido varios teoremas de clasificación; pero, curiosamente, también se han encontrado varios teoremas de anticlasificación. Los teoremas de anticlasificación establecen que hay más de un número contable de clases de isomorfismos y que una cantidad contable de información no es suficiente para clasificar isomorfismos. ^{[6] [7]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle S\sim T}$ ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

El primer teorema de anticlasificación, debido a Hjorth, establece que si está dotado de la topología débil , entonces el conjunto no es un conjunto de Borel . ^[8] Hay una variedad de otros resultados de anticlasificación. Por ejemplo, reemplazando el isomorfismo con la equivalencia de Kakutani , se puede demostrar que hay un número incontable de transformaciones ergódicas que preservan la medida no equivalentes a Kakutani de cada tipo de entropía. ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Estos se contraponen a los teoremas de clasificación. Entre ellos se incluyen:

• Se han clasificado transformaciones ergódicas que preservan la medida con un espectro de puntos puro. ^[10]
• Los desplazamientos de Bernoulli se clasifican por su entropía métrica. ^{[11] [12] [13]} Consulte la teoría de Ornstein para obtener más información.

Teorema del generador finito de Krieger ^[14]  (Krieger 1970)  —  Dado un sistema dinámico en un espacio de Lebesgue de medida 1, donde es invertible, preserva la medida y es ergódico. ${\textstyle T}$

Si para algún entero , entonces el sistema tiene un generador de tamaño. ${\displaystyle h_{T}\leq \ln k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Si la entropía es exactamente igual a , entonces dicho generador existe solo si el sistema es isomorfo al desplazamiento de Bernoulli en símbolos con medidas iguales. ${\displaystyle \ln k}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Teorema de Krylov-Bogolyubov sobre la existencia de medidas invariantes
• Teorema de recurrencia de Poincaré  : ciertos sistemas dinámicos eventualmente regresarán a (o se aproximarán a) su estado inicial

Referencias

1. Walters, Peter (2000). Introducción a la teoría ergódica . Springer. ISBN 0-387-95152-0.
2. Sinai, Ya. G. (1959). "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico". Doklady Akademii Nauk SSSR . 124 : 768–771.
3. Sinai, Ya. G. (2007). "Entropía métrica de un sistema dinámico" (PDF) .
4. El teorema de Shannon-McMillan-Breiman
5. Pollicott, Mark; Yuri, Michiko (1998). Sistemas dinámicos y teoría ergódica. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57294-1.
6. Foreman, Matthew; Weiss, Benjamin (2019). "De los odómetros a los sistemas circulares: un teorema de estructura global". Revista de dinámica moderna . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . doi :10.3934/jmd.2019024. S2CID  119128525.
7. Foreman, Matthew; Weiss, Benjamin (2022). "Los difeomorfismos del toro que preservan la medida son inclasificables". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 24 (8): 2605–2690. arXiv : 1705.04414 . doi : 10.4171/JEMS/1151 .
8. Hjorth, G. (2001). "Sobre invariantes para transformaciones que preservan la medida". Fondo. Matemáticas . 169 (1): 51–84. doi : 10.4064/FM169-1-2 . S2CID  : 55619325.
9. Ornstein, D .; Rudolph, D.; Weiss, B. (1982). Equivalencia de transformaciones que preservan la medida . Mem. American Mathematical Soc. Vol. 37. ISBN 0-8218-2262-4.
10. Halmos, P.; von Neumann, J. (1942). "Métodos de operadores en mecánica clásica. II". Anales de Matemáticas . (2). 43 (2): 332–350. doi :10.2307/1968872. JSTOR  1968872.
11. Sinai, Ya. (1962). "Un isomorfismo débil de transformaciones con medida invariante". Doklady Akademii Nauk SSSR . 147 : 797–800.
12. Ornstein, D. (1970). "Los desplazamientos de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos". Avances en Matemáticas . 4 (3): 337–352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
13. Katok, A.; Hasselblatt, B. (1995). "Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos". Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones . Vol. 54. Cambridge University Press.
14. Downarowicz, Tomasz (2011). Entropía en sistemas dinámicos . Nuevas monografías matemáticas. Cambridge: Cambridge University Press. pág. 106. ISBN 978-0-521-88885-1.

Lectura adicional

• Michael S. Keane, "Ergodic theory and subshifts of finite type", (1991), que aparece como capítulo 2 en Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Proporciona una introducción expositiva, con ejercicios y referencias extensas). 
• Lai-Sang Young , "Entropía en sistemas dinámicos" (pdf; ps), que aparece como capítulo 16 en Entropía , Andreas Greven, Gerhard Keller y Gerald Warnecke, eds. Princeton University Press, Princeton, NJ (2003). ISBN 0-691-11338-6 
• T. Schürmann e I. Hoffmann, The entropy of strange billiards inside n-símplexes. J. Phys. A 28(17), página 5033, 1995. Documento PDF (ofrece un ejemplo más elaborado de un sistema dinámico que preserva la medida).