Módulo Drinfeld

En matemáticas , un módulo de Drinfeld (o módulo elíptico ) es aproximadamente un tipo especial de módulo sobre un anillo de funciones en una curva sobre un campo finito , generalizando el módulo de Carlitz . En términos generales, proporcionan un campo de funciones análogo a la teoría de la multiplicación compleja . Un shtuka (también llamado gavilla F o chtouca ) es una especie de generalización de un módulo de Drinfeld, que consiste aproximadamente en un paquete de vectores sobre una curva, junto con una estructura adicional que identifica un "giro de Frobenius" del paquete con una "modificación". de ello.

Los módulos de Drinfeld fueron introducidos por Drinfeld  (1974), quien los utilizó para demostrar las conjeturas de Langlands para GL ₂ de un campo de funciones algebraicas en algunos casos especiales. Más tarde inventó shtukas y utilizó shtukas de rango 2 para demostrar los casos restantes de las conjeturas de Langlands para GL ₂ . Laurent Lafforgue demostró las conjeturas de Langlands para GL _n de un campo funcional estudiando la pila de módulos de shtukas de rango n .

"Shtuka" es una palabra rusa штука que significa "una sola copia", que proviene del sustantivo alemán "Stück", que significa "pieza, artículo o unidad". En ruso, la palabra "shtuka" también se usa en la jerga para referirse a cosa con propiedades conocidas, pero que no tiene nombre en la mente del hablante.

Módulos Drinfeld

El anillo de polinomios aditivos.

Dejemos ser un campo de características . El anillo se define como el anillo de polinomios no conmutativos (o retorcidos) sobre , con la multiplicación dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle L\{\tau \}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L.}$

El elemento puede considerarse como un elemento de Frobenius : de hecho, es un módulo izquierdo , con elementos que actúan como multiplicación y actúan como el endomorfismo de Frobenius de . El anillo también puede considerarse como el anillo de todos los polinomios (absolutamente) aditivos. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\{\tau \}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\{\tau \}}$

${\displaystyle a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,}$

en , donde un polinomio se llama aditivo si (como elementos de ). El anillo de polinomios aditivos se genera como un álgebra sobre el polinomio . La multiplicación en el anillo de polinomios aditivos viene dada por la composición de los polinomios, no por la multiplicación de polinomios conmutativos, y no es conmutativa. ${\displaystyle L[x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle L[x,y]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \tau =x^{p}}$

Definición de módulos Drinfeld

Sea F un campo de función algebraico con un campo finito de constantes y fije un lugar de F. Defina A como el anillo de elementos en F que son regulares en todos los lugares excepto posiblemente . En particular, A es un dominio de Dedekind y es discreto en F (con la topología inducida por ). Por ejemplo, podemos tomar A como el anillo polinómico . Sea L un campo equipado con un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle F_{q}[t]}$ ${\displaystyle \iota :A\to L}$

Un módulo A de Drinfeld sobre L es un homomorfismo de anillo cuya imagen no está contenida en L , de modo que la composición de con coincide con . ${\displaystyle \phi :A\to L\{\tau \}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}}$ ${\displaystyle \iota :A\to L}$

La condición de que la imagen de A no esté en L es una condición de no degeneración, puesta para eliminar casos triviales, mientras que la condición que da la impresión de que un módulo de Drinfeld es simplemente una deformación del mapa . ${\displaystyle d\circ \phi =\iota }$ ${\displaystyle \iota }$

Como L {τ} puede considerarse como endomorfismos del grupo aditivo de L , un módulo A de Drinfeld puede considerarse como una acción de A sobre el grupo aditivo de L , o en otras palabras como un módulo A cuyo aditivo subyacente grupo es el grupo aditivo de L .

Ejemplos de módulos Drinfeld

• Defina A como F _p [ T ], el anillo habitual (¡conmutativo!) de polinomios sobre el campo finito de orden p . En otras palabras, A es el anillo de coordenadas de una curva afín de género 0. Entonces un módulo de Drinfeld ψ está determinado por la imagen ψ( T ) de T , que puede ser cualquier elemento no constante de L {τ}. Entonces los módulos de Drinfeld se pueden identificar con elementos no constantes de L {τ}. (En el caso del género superior, la descripción de los módulos Drinfeld es más complicada).
• El módulo de Carlitz es el módulo de Drinfeld ψ dado por ψ( T ) = T +τ, donde A es F _p [ T ] y L es un campo algebraicamente cerrado completo adecuado que contiene A . Fue descrito por L. Carlitz en 1935, muchos años antes de la definición general del módulo Drinfeld. Consulte el capítulo 3 de Goss  (1996) para obtener más información sobre el módulo Carlitz. Véase también exponencial de Carlitz .

shtukas

Supongamos que X es una curva sobre el campo finito F _p . Un shtuka (derecho) de rango r sobre un esquema (o pila) U viene dado por los siguientes datos:

• Gavillas localmente libres E , E′ de rango r sobre U × X junto con morfismos inyectivos

mi → mi′ ← (Fr×1) ^* mi ,

cuyos núcleos se apoyan en ciertos gráficos de morfismos de U a X (llamados cero y polo del shtuka, y generalmente denotados por 0 y ∞), y están localmente libres de rango 1 en sus soportes. Aquí (Fr×1) ^* E es el retroceso de E por el endomorfismo de Frobenius de U.

Un shtuka izquierdo se define de la misma manera excepto que la dirección de los morfismos se invierte. Si el polo y el cero del shtuka están separados, entonces los shtukas izquierdo y derecho son esencialmente iguales.

Al variar U , obtenemos una pila algebraica Shtuka ^r de shtukas de rango r , un shtuka "universal" sobre Shtuka ^r × X y un morfismo (∞,0) de Shtuka ^r a X × X que es suave y de dimensión relativa 2 r  − 2. La pila Shtuka ^r no es de tipo finito para r  > 1.

Los módulos Drinfeld son, en cierto sentido, tipos especiales de shtukas. (Esto no es nada obvio a partir de las definiciones). Más precisamente, Drinfeld mostró cómo construir un shtuka a partir de un módulo Drinfeld. Véase Drinfeld, VG Subanillos conmutativos de ciertos anillos no conmutativos. Funcional. Anal. En Prilovzen. 11 (1977), núm. 1, 11–14, 96. para más detalles.

Aplicaciones

Las conjeturas de Langlands para campos funcionales establecen (de manera muy aproximada) que existe una biyección entre las representaciones automórficas cúspides de GL _n y ciertas representaciones de un grupo de Galois. Drinfeld usó módulos de Drinfeld para probar algunos casos especiales de las conjeturas de Langlands y luego demostró las conjeturas de Langlands completas para GL ₂ generalizando los módulos de Drinfeld a shtukas. La parte "difícil" de probar estas conjeturas es construir representaciones de Galois con ciertas propiedades, y Drinfeld construyó las representaciones de Galois necesarias encontrándolas dentro de la cohomología l -ádica de ciertos espacios de módulos de shtukas de rango 2.

Drinfeld sugirió que los espacios de módulo de shtukas de rango r podrían usarse de manera similar para probar las conjeturas de Langlands para GL _r ; Los formidables problemas técnicos involucrados en la realización de este programa fueron resueltos por Lafforgue después de muchos años de esfuerzo.

Ver también

• Estructura de niveles (geometría algebraica)
• Pila de módulos de curvas elípticas.

Referencias

Módulos Drinfeld

• Drinfeld, Vladimir (1974), "Módulos elípticos", Matematicheskii Sbornik (en ruso), 94 , SEÑOR  0384707. Traducción al inglés en matemáticas. URSS Sbornik 23 (1974) 561–592.
• Goss, David (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN 978-3-540-61087-8, SEÑOR  1423131
• Gekeler, E.-U. (2001) [1994], "Módulo Drinfel'd", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Laumon, Gérard (1996), Cohomología de las variedades modulares de Drinfeld, Parte 1, Geometría, recuento de puntos y análisis armónico local, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 41, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-47060-5
• Laumon, Gerard; Waldspurger, Jean-Loup (1996), Cohomología de las variedades modulares de Drinfeld, Parte 2, Formas automórficas, fórmulas traza y correspondencia de Langlands, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 56, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-47061-2
• Rosen, Michael (2002), "13. Módulos de Drinfeld: una introducción", Teoría de números en campos funcionales , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 210, Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, Zbl  1043.11079.

shtukas

• Drinfeld, VG Cohomología de variedades de módulos compactados de poleas F de rango 2. (Ruso) Zap. Nauchn. Sem. Leningrado. Otdel. Estera. Inst. Steklov. ( LOMI ) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. Yo Teor. Cincel. III, 107–158, 189; traducción en J. Matemáticas soviéticas. 46 (1989), núm. 2, 1789–1821
• Drinfeld, VG (1987), "Variedades de módulos de poleas F", Funktsional. Anal. Yo Prilozhen. (en ruso), 21 (2): 23–41. Traducción al inglés: Anal funcional. Aplica. 21 (1987), núm. 2, 107–122.
• Goss, D. (2003), "¿Qué es un shtuka?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 50 (1)
• Kazhdan, David A. (1979), "Una introducción a Shtuka de Drinfeld", en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 2 , Proc. Simposios. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 347–356, ISBN 978-0-8218-1437-6, SEÑOR  0546623