Métrica Vaidya

Solución esféricamente simétrica exacta en RG

En la relatividad general , la métrica de Vaidya describe el espacio-tiempo externo no vacío de una estrella esféricamente simétrica y no rotatoria que emite o absorbe polvo nulo . Recibe su nombre del físico indio Prahalad Chunnilal Vaidya y constituye la generalización no estática más simple de la solución no radiativa de Schwarzschild a la ecuación de campo de Einstein , por lo que también se la denomina "métrica radiante (brillante) de Schwarzschild".

De las métricas de Schwarzschild a las de Vaidya

La métrica de Schwarzschild como solución estática y esféricamente simétrica de la ecuación de Einstein se lee

Para eliminar la singularidad de coordenadas de esta métrica en , se podría cambiar a las coordenadas de Eddington–Finkelstein . Por lo tanto, introduzca la coordenada nula "retardada(/saliente)" mediante ${\displaystyle r=2M}$ ${\displaystyle u}$

y la ecuación (1) podría transformarse en la "métrica de Schwarzschild retardada (/saliente)"

o, en su lugar, podríamos emplear la coordenada nula "avanzada(/entrante)" ${\displaystyle v}$

Por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en la "métrica de Schwarzschild avanzada (/en curso)"

Las ecuaciones (3) y (5), como soluciones estáticas y esféricamente simétricas, son válidas tanto para objetos celestes ordinarios con radios finitos como para objetos singulares como los agujeros negros . Resulta que, todavía es físicamente razonable si uno extiende el parámetro de masa en las ecuaciones (3) y (5) de una constante a funciones de la coordenada nula correspondiente, y respectivamente, por lo tanto ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(u)}$ ${\displaystyle M(v)}$

Las métricas extendidas Eq(6) y Eq(7) son respectivamente las métricas de Vaidya "retardadas(/salientes)" y "avanzadas(/entrantes)". ^{[1] [2]} A veces también es útil reformular las métricas de Vaidya Eqs(6)(7) en la forma

donde representa la métrica del espacio-tiempo plano : usando . ${\displaystyle ds^{2}({\text{flat}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}({\text{flat}})&=-du^{2}-2dudr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-dv^{2}+2dvdr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-dT^{2}+dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle T=t-2M\ln(r/2M-1)}$

Vaidya saliente con campo de emisión puro

En cuanto a la métrica de Vaidya "retardada(/saliente)" Eq(6), ^{[1] [2] [3] [4] [5]} el tensor de Ricci tiene solo un componente distinto de cero.

mientras que la curvatura escalar de Ricci se anula, porque . Por lo tanto, según la ecuación de Einstein sin trazas , el tensor de tensión-energía satisface ${\displaystyle R=g^{ab}R_{ab}=0}$ ${\displaystyle g^{uu}=0}$ ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}=8\pi T_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}}$

donde y son (co)vectores nulos (véase el Cuadro A a continuación). Por lo tanto, es un "campo de radiación pura", ^{[1] [2]} que tiene una densidad de energía de . De acuerdo con las condiciones de energía nula ${\displaystyle l_{a}=-\partial _{a}u}$ ${\displaystyle l^{a}=g^{ab}l_{b}}$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\textstyle -{\frac {M(u)_{,\,u}}{4\pi r^{2}}}}$

tenemos y por lo tanto el cuerpo central está emitiendo radiación. ${\displaystyle M(u)_{,\,u}<0}$

Siguiendo los cálculos utilizando el formalismo Newman-Penrose (NP) en el Cuadro A, el espacio-tiempo Vaidya saliente Eq(6) es de tipo Petrov D , y los componentes distintos de cero de los escalares Weyl-NP y Ricci-NP son

Cabe destacar que el campo Vaidya es un campo de radiación pura en lugar de campos electromagnéticos . Las partículas emitidas o flujos de materia-energía tienen masa en reposo cero y, por lo tanto, generalmente se denominan "polvos nulos", típicamente como fotones y neutrinos , pero no pueden ser ondas electromagnéticas porque no se satisfacen las ecuaciones de Maxwell-NP. Por cierto, las tasas de expansión nula saliente y entrante para el elemento de línea Eq(6) son respectivamente

Supongamos que entonces el lagrangiano para las geodésicas radiales nulas del espacio-tiempo de Vaidya "retardado(/saliente)" Eq(6) es donde punto significa derivada con respecto a algún parámetro . Este lagrangiano tiene dos soluciones, ${\textstyle F:=1-{\frac {2M(u)}{r}}}$ ${\displaystyle (L=0,{\dot {\theta }}=0,{\dot {\phi }}=0)}$ $${\displaystyle L=0=-F{\dot {u}}^{2}+2{\dot {u}}{\dot {r}}\,,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\dot {u}}=0\quad {\text{and}}\quad {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}\;.}$$

Según la definición de en la ecuación (2), se podría encontrar que cuando aumenta, el radio del área también aumentaría para la solución , mientras que disminuiría para la solución . Por lo tanto, debe reconocerse como una solución de salida mientras que sirve como una solución de entrada. Ahora, podemos construir una tétrada nula compleja que se adapta a las geodésicas radiales nulas salientes y emplear el formalismo de Newman-Penrose para realizar un análisis completo del espacio-tiempo Vaidya saliente. Tal tétrada adaptada saliente se puede configurar como y, por lo tanto, los covectores de base duales son ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=0}$ ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}}$ $${\displaystyle l^{a}=(0,1,0,0)\,,\quad n^{a}=\left(1,-{\frac {F}{2}},0,0\right)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$$ $${\displaystyle l_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad n_{a}=\left(-{\frac {F}{2}},-1,0,0\right)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.}$$

En esta tétrada nula, los coeficientes de espín son $${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \varepsilon =0}$$ $${\displaystyle \rho =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \mu ={\frac {-r+2M(u)}{2r^{2}}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \gamma ={\frac {M(u)}{2r^{2}}}\,.}$$

Los escalares Weyl-NP y Ricci-NP se dan por $${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M(u)}{r^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{22}=-{\frac {M(u)_{\,,\,u}}{r^{2}}}\,,}$$

Dado que el único escalar Weyl-NP que no se anula es , el espacio-tiempo de Vaidya "retardado(/saliente)" es de tipo Petrov D . Además, existe un campo de radiación como . ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{22}\neq 0}$

Para la métrica de Schwarzschild "retardada(/saliente)" Eq(3), sea , y entonces el lagrangiano para geodésicas radiales nulas tendrá una solución saliente y una solución entrante . De manera similar al Cuadro A, ahora configure la tétrada saliente adaptada por de modo que los coeficientes de espín sean y los escalares Weyl-NP y Ricci-NP estén dados por ${\textstyle G:=1-{\frac {2M}{r}}}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=0}$ ${\textstyle {\dot {r}}=-{\frac {G}{2}}{\dot {u}}}$ $${\displaystyle l^{a}=(0,1,0,0)\,,\quad n^{a}=\left(1,-{\frac {G}{2}},0,0\right)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$$ $${\displaystyle l_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad n_{a}=\left(-{\frac {G}{2}},-1,0,0\right)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.}$$ $${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \varepsilon =0}$$ $${\displaystyle \rho =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \mu ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \gamma ={\frac {M}{2r^{2}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.}$$

El espaciotiempo de Schwarzschild "retardado(/saliente)" es del tipo D de Petrov y es el único escalar NP de Weyl que no desaparece. ${\displaystyle \Psi _{2}}$

Vaidya entrante con campo absorbente puro

En cuanto a la métrica de Vaidya "avanzada/entrante" Eq(7), ^{[1] [2] [6]} los tensores de Ricci nuevamente tienen un componente distinto de cero.

y por lo tanto el tensor de tensión-energía es ${\displaystyle R=0}$

Este es un campo de radiación pura con densidad de energía , y una vez más se deduce de la condición de energía nula Eq(11) que , por lo que el objeto central está absorbiendo polvo nulo. Como se calculó en el Cuadro C, los componentes Weyl-NP y Ricci-NP distintos de cero de la métrica de Vaidya "avanzada/entrante" Eq(7) son ${\textstyle {\frac {M(v)_{,\,v}}{4\pi r^{2}}}}$ ${\displaystyle M(v)_{,\,v}>0}$

Además, las tasas de expansión nula de entrada y salida para el elemento de línea Eq(7) son respectivamente

La solución avanzada/incipiente de Vaidya Eq(7) es especialmente útil en la física de agujeros negros, ya que es una de las pocas soluciones dinámicas exactas existentes. Por ejemplo, se emplea a menudo para investigar las diferencias entre distintas definiciones de los límites dinámicos de los agujeros negros, como el horizonte de sucesos clásico y el horizonte de atrapamiento cuasilocal; y como lo muestra la Eq(17), la hipersuperficie evolutiva es siempre un horizonte atrapado marginalmente exterior ( ). ${\displaystyle r=2M(v)}$ ${\displaystyle \theta _{(\ell )}=0\;,\theta _{(n)}<0}$

Supongamos que , entonces el lagrangiano para las geodésicas radiales nulas del espaciotiempo de Vaidya "avanzado(/entrante)" Eq(7) es que tiene una solución entrante y una solución saliente de acuerdo con la definición de en Eq(4). Ahora, podemos construir una tétrada nula compleja que se adapta a las geodésicas radiales nulas entrantes y emplear el formalismo de Newman-Penrose para realizar un análisis completo del espaciotiempo de Vaidya. Dicha tétrada entrante adaptada se puede configurar como y los covectores de base duales son, por lo tanto ${\displaystyle {\tilde {F}}:=1-{\frac {2M(v)}{r}}}$ $${\displaystyle L=-{\tilde {F}}{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\,,}$$ ${\displaystyle {\dot {v}}=0}$ ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {\tilde {F}}{2}}{\dot {v}}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle l^{a}=\left(1,{\frac {\tilde {F}}{2}},0,0\right)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$$ $${\displaystyle l_{a}=\left(-{\frac {\tilde {F}}{2}},1,0,0\right)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.}$$

En esta tétrada nula, los coeficientes de espín son $${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$$ $${\displaystyle \rho ={\frac {-r+2M(v)}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(v)}{2r^{2}}}\,.}$$

Los escalares Weyl-NP y Ricci-NP se dan por $${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M(v)}{r^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{00}={\frac {M(v)_{\,,\,v}}{r^{2}}}\;.}$$

Dado que el único escalar Weyl-NP que no desaparece es , el espacio-tiempo Vaidya "avanzado(/entrante)" es de tipo Petrov D , y existe un campo de radiación codificado en . ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{00}}$

Para la métrica de Schwarzschild "avanzada(/entrante)" Eq(5), siga siendo , y entonces el lagrangiano para las geodésicas radiales nulas tendrá una solución entrante y una solución saliente . De manera similar al Cuadro C, ahora configure la tétrada entrante adaptada por de modo que los coeficientes de espín sean y los escalares Weyl-NP y Ricci-NP estén dados por ${\textstyle G:=1-{\frac {2M}{r}}}$ ${\displaystyle {\dot {v}}=0}$ ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {G}{2}}{\dot {v}}}$ $${\displaystyle l^{a}=\left(1,{\frac {G}{2}},0,0\right)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$$ $${\displaystyle l_{a}=\left(-{\frac {G}{2}},1,0,0\right)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.}$$ $${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$$ $${\displaystyle \rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,}$$ $${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.}$$

El espaciotiempo de Schwarzschild "avanzado(/en proceso)" es del tipo D de Petrov y es el único escalar NP de Weyl que no desaparece. ${\displaystyle \Psi _{2}}$

Comparación con la métrica de Schwarzschild

Como una extensión natural y más simple de la métrica de Schwazschild, la métrica de Vaidya todavía tiene mucho en común con ella:

• Ambas métricas son de tipo Petrov D y son el único escalar NP de Weyl que no desaparece (como se calcula en los Cuadros A y B). ${\displaystyle \Psi _{2}}$

Sin embargo, existen tres diferencias claras entre las métricas de Schwarzschild y Vaidya:

• En primer lugar, el parámetro de masa para Schwarzschild es una constante, mientras que para Vaidya es una función u-dependiente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(u)}$
• Schwarzschild es una solución a la ecuación de Einstein del vacío , mientras que Vaidya es una solución a la ecuación de Einstein sin trazas con un campo de energía de radiación pura no trivial. Como resultado, todos los escalares Ricci-NP para Schwarzschild se desvanecen, mientras que nosotros sí para Vaidya. ${\displaystyle R_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}=8\pi T_{ab}}$ ${\displaystyle \Phi _{00}={\frac {M(u)_{\,,\,u}}{r^{2}}}}$
• Schwarzschild tiene 4 campos vectoriales de Killing independientes , incluido uno temporal, y por lo tanto es una métrica estática, mientras que Vaidya tiene solo 3 campos vectoriales de Killing independientes con respecto a la simetría esférica y, en consecuencia, no es estática. En consecuencia, la métrica de Schwarzschild pertenece a la clase de soluciones de Weyl, mientras que la métrica de Vaidya no.

Ampliación de la métrica Vaidya

Métrica de Kinnersley

Mientras que la métrica de Vaidya es una extensión de la métrica de Schwarzschild para incluir un campo de radiación pura, la métrica de Kinnersley ^[7] constituye una extensión adicional de la métrica de Vaidya; describe un objeto masivo que se acelera en retroceso mientras emite radiación sin masa de manera anisotrópica. La métrica de Kinnersley es un caso especial de la métrica de Kerr-Schild y, en coordenadas espaciotemporales cartesianas, adopta la siguiente forma: ${\displaystyle x^{\mu }}$

donde durante la duración de esta sección todos los índices se elevarán y disminuirán utilizando la métrica de "espacio plano" , la "masa" es una función arbitraria del tiempo propio a lo largo de la línea del mundo de la masa medida utilizando la métrica "plana", y describe la línea del mundo arbitraria de la masa, es entonces la cuatro-velocidad de la masa, es un campo vectorial nulo de "métrica plana" definido implícitamente por la ecuación. (20), y extiende implícitamente el parámetro de tiempo propio a un campo escalar a lo largo del espacio-tiempo viéndolo como constante en el cono de luz saliente de la métrica "plana" que emerge del evento y satisface la identidad Al moler el tensor de Einstein para la métrica e integrar el flujo de energía-momento saliente "en el infinito", se encuentra que la métrica describe una masa con cuatro-momento dependiente del tiempo propio que emite una red <<link:0>> a una tasa adecuada de como se ve desde el marco de reposo instantáneo de la masa, el flujo de radiación tiene una distribución angular donde y son funciones escalares complicadas de y sus derivadas, y es el ángulo del marco de reposo instantáneo entre la 3-aceleración y el vector nulo saliente. Por lo tanto, la métrica de Kinnersley puede verse como la descripción del campo gravitacional de un cohete de fotones en aceleración con un escape muy mal colimado. ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle m(u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle du^{2}=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }dX^{\nu },}$ ${\displaystyle X^{\mu }(u)}$ ${\displaystyle \lambda ^{\mu }(u)=dX^{\mu }(u)/du}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu }(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle X^{\mu }(u),}$ ${\displaystyle \lambda ^{\mu }(u(x))\,\partial _{\mu }u(x)=1.}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle P^{\mu }=m(u)\,\lambda ^{\mu }(u)}$ ${\displaystyle -dP^{\mu }/du;}$ ${\displaystyle A(u)+B(u)\,\cos(\theta (u)),}$ ${\displaystyle A(u)}$ ${\displaystyle B(u)}$ ${\displaystyle m(u),\lambda ^{\mu }(u),\sigma _{\mu }(u),}$ ${\displaystyle \theta (u)}$

En el caso especial donde es independiente del tiempo propio, la métrica de Kinnersley se reduce a la métrica de Vaidya. ${\displaystyle \lambda ^{\mu }}$

Métrica de Vaidya-Bonner

Dado que la materia irradiada o absorbida puede ser eléctricamente no neutra, las métricas de Vaidya entrantes y salientes Eqs(6)(7) se pueden extender naturalmente para incluir cargas eléctricas variables,

Las ecuaciones (18)(19) se denominan métricas de Vaidya-Bonner y, aparentemente, también pueden considerarse extensiones de la métrica de Reissner-Nordström , de manera análoga a la correspondencia entre las métricas de Vaidya y Schwarzschild.

Véase también

• Métrica de Schwarzschild
• Solución de polvo nulo

Referencias

1. Eric Poisson. Un conjunto de herramientas para relativistas: las matemáticas de la mecánica de agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Sección 4.3.5 y Sección 5.1.8.
2. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempos exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Sección 9.5.
3. Thanu Padmanabhan. Gravitación: fundamentos y fronteras . Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Sección 7.3.
4. Pankaj S Joshi. Aspectos globales en gravitación y cosmología . Oxford: Oxford University Press, 1996. Sección 3.5.
5. Pankaj S Joshi. Colapso gravitacional y singularidades del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Sección 2.7.6.
6. Valeri Pavlovich Frolov, Igor Dmitrievich Novikov. Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos desarrollos . Berlín: Springer, 1998. Sección 5.7.
7. Kinnersley, W. (octubre de 1969). "Campo de una masa puntual que acelera arbitrariamente". Phys. Rev. 186 ( 5): 1335. Bibcode :1969PhRv..186.1335K. doi :10.1103/PhysRev.186.1335.