Escalares de Ricci (formalismo de Newman-Penrose)

En el formalismo Newman-Penrose (NP) de la relatividad general , los componentes independientes de los tensores de Ricci de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones se codifican en siete (o diez) escalares de Ricci que consisten en tres escalares reales , tres (o seis) escalares complejos y el escalar de curvatura NP . Físicamente, los escalares Ricci-NP están relacionados con la distribución de energía-momento del espacio-tiempo debido a la ecuación de campo de Einstein . ${\displaystyle \{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}}$ ${\displaystyle \{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Definiciones

Dada una tétrada nula compleja y con la convención , los escalares Ricci-NP se definen por ^{[1] [2] [3]} (donde overline significa conjugado complejo ) ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.}$

Observación I: En estas definiciones, podría reemplazarse por su parte libre de trazas ^[2] o por el tensor de Einstein debido a las relaciones de normalización (es decir, producto interno) que ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}$

${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,}$

${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.}$

Observación II: Específicamente para el electrovacío , tenemos , por lo tanto ${\displaystyle \Lambda =0}$

${\displaystyle 24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,}$

y por lo tanto se reduce a ${\displaystyle \Phi _{11}}$

${\displaystyle \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}$

Observación III: Si se adopta la convención , las definiciones de deben tomar los valores opuestos; ^{[4] [5] [6] [7]} es decir, después de la transición de la firma. ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}}$

Derivaciones alternativas

De acuerdo con las definiciones anteriores, se deben encontrar los tensores de Ricci antes de calcular los escalares Ricci-NP mediante contracciones con los vectores de tétrada correspondientes. Sin embargo, este método no refleja plenamente el espíritu del formalismo de Newman-Penrose y, como alternativa, se podrían calcular los coeficientes de espín y luego derivar los escalares Ricci-NP mediante ecuaciones de campo NP relevantes que ^{[2] [7]} ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle \Phi _{00}=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,}$

${\displaystyle \Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,}$

${\displaystyle \Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,}$

${\displaystyle \Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,}$

${\displaystyle 2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,}$

Mientras que la curvatura escalar NP podría calcularse directa y fácilmente a través de siendo la curvatura escalar ordinaria de la métrica del espacio-tiempo . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda ={\frac {R}{24}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}}$

Escalares electromagnéticos Ricci-NP

De acuerdo con las definiciones de los escalares Ricci-NP anteriores y el hecho de que podrían reemplazarse por en las definiciones, están relacionados con la distribución de energía-momento debido a las ecuaciones de campo de Einstein . En la situación más simple, es decir, el espacio-tiempo de vacío en ausencia de campos de materia con , tendremos . Además, para el campo electromagnético, además de las definiciones mencionadas anteriormente, podría determinarse de manera más específica por ^[1] ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle G_{ab}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ ${\displaystyle G_{ab}=8\pi T_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}=0}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=0}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,}$

donde denotan los tres escalares Maxwell-NP complejos ^[1] que codifican los seis componentes independientes de la forma 2 de Faraday-Maxwell (es decir, el tensor de intensidad del campo electromagnético ) ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle \phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}$

Observación: Sin embargo, la ecuación del campo electromagnético no es necesariamente válida para otros tipos de campos de materia. Por ejemplo, en el caso de los campos de Yang-Mills, habrá donde hay escalares de Yang-Mills-NP. ^[8] ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})}$ ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}$

Véase también

• Formalismo de Newman-Penrose
• Escalar de Weyl

Referencias

1. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempo exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 2.
2. Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos avances . Berlín: Springer, 1998. Apéndice E.
3. Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Horizontes aislados: evolución hamiltoniana y la primera ley . Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Apéndice B. gr-qc/0005083
4. Ezra T Newman, Roger Penrose. Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín . Journal of Mathematical Physics, 1962, 3 (3): 566-768.
5. Ezra T Newman, Roger Penrose. Erratas: Un enfoque de la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín . Journal of Mathematical Physics, 1963, 4 (7): 998.
6. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Chicago: University of Chicago Press, 1983.
7. Peter O'Donnell. Introducción a los dos espinores en la relatividad general . Singapur: World Scientific, 2003.
8. ET Newman, KP Tod. Espacio-tiempos asintóticamente planos , Apéndice A.2. En A Held (Editor): Relatividad general y gravitación: Cien años después del nacimiento de Albert Einstein . Vol (2), página 27. Nueva York y Londres: Plenum Press, 1980.