teoría de la mentira

Estudio de grupos de Lie, álgebras de Lie y ecuaciones diferenciales.

En matemáticas , el matemático Sophus Lie ( / l iː / LEE ) inició líneas de estudio que involucran la integración de ecuaciones diferenciales , grupos de transformación y contacto de esferas que han llegado a denominarse teoría de Lie . ^[1] Por ejemplo, el último tema es Geometría de esfera de Lie . Este artículo aborda su enfoque de los grupos de transformación, que es una de las áreas de las matemáticas , y fue elaborado por Wilhelm Killing y Élie Cartan .

La base de la teoría de Lie es el mapa exponencial que relaciona las álgebras de Lie con los grupos de Lie , que se denomina correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie . El tema es parte de la geometría diferencial ya que los grupos de Lie son variedades diferenciables . Los grupos de Lie evolucionan a partir de la identidad (1) y los vectores tangentes a subgrupos de un parámetro generan el álgebra de Lie. La estructura de un grupo de Lie está implícita en su álgebra, y la estructura del álgebra de Lie se expresa mediante sistemas de raíces y datos de raíces .

La teoría de Lie ha sido particularmente útil en física matemática ya que describe los grupos de transformación estándar: el grupo galileano , el grupo de Lorentz , el grupo de Poincaré y el grupo conforme del espaciotiempo .

Teoría de la mentira elemental

Los grupos de un parámetro son la primera instancia de la teoría de Lie. El caso compacto surge mediante la fórmula de Euler en el plano complejo . Otros grupos de un parámetro ocurren en el plano de números complejos divididos como la hipérbola unitaria

${\displaystyle \lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1}$

y en el plano numérico dual como la recta. En estos casos los parámetros del álgebra de Lie tienen nombres: ángulo , ángulo hiperbólico y pendiente . ^[2] Estas especies de ángulos son útiles para proporcionar descomposiciones polares que describen subálgebras de matrices reales de 2 x 2. ^[3] ${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.}$

Existe un grupo de Lie clásico de 3 parámetros y un par de álgebra: los cuaterniones de longitud unitaria que se pueden identificar con las 3 esferas . Su álgebra de Lie es el subespacio de vectores cuaternión . Dado que el conmutador ij − ji = 2k, el corchete de Lie en esta álgebra es el doble del producto cruzado del análisis vectorial ordinario .

Otro ejemplo elemental de 3 parámetros lo da el grupo de Heisenberg y su álgebra de Lie. Los tratamientos estándar de la teoría de Lie a menudo comienzan con los grupos clásicos .

Historia y alcance

Las primeras expresiones de la teoría de Lie se encuentran en libros compuestos por Sophus Lie con Friedrich Engel y Georg Scheffers de 1888 a 1896.

En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de las formas modulares , en manos de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que Lie tenía en mente era la teoría de ecuaciones diferenciales . Sobre el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinómicas , la concepción impulsora era la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , todo el área de las ecuaciones diferenciales ordinarias .

Según el historiador Thomas W. Hawkins, fue Élie Cartan quien hizo de la teoría de la mentira lo que es:

Si bien Lie tuvo muchas ideas fértiles, Cartan fue el principal responsable de las extensiones y aplicaciones de su teoría que la han convertido en un componente básico de las matemáticas modernas. Fue él quien, con la ayuda de Weyl , desarrolló las ideas fundamentales, esencialmente algebraicas, de Killing en la teoría de la estructura y representación de álgebras de Lie semisimples que desempeña un papel tan fundamental en la teoría de Lie actual. Y aunque Lie imaginó aplicaciones de su teoría a la geometría, fue Cartan quien realmente las creó, por ejemplo a través de sus teorías de espacios simétricos y generalizados, incluyendo todos los aparatos que lo acompañan ( marcos móviles , formas diferenciales exteriores , etc.) ^[4]

Los tres teoremas de Lie

En su trabajo sobre grupos de transformación, Sophus Lie demostró tres teoremas que relacionan los grupos y álgebras que llevan su nombre. El primer teorema exhibió la base de un álgebra a través de transformaciones infinitesimales . ^{[5] : 96} El segundo teorema exhibió constantes estructurales del álgebra como resultado de los productos del conmutador en el álgebra. ^{[5] : 100} El tercer teorema mostró que estas constantes son antisimétricas y satisfacen la identidad de Jacobi . ^{[5] : 106} Como escribió Robert Gilmore:

Los tres teoremas de Lie proporcionan un mecanismo para construir el álgebra de Lie asociada con cualquier grupo de Lie. También caracterizan las propiedades de un álgebra de Lie. ¶ Los inversos de los tres teoremas de Lie hacen lo contrario: proporcionan un mecanismo para asociar un grupo de Lie con cualquier álgebra de Lie de dimensión finita... El teorema de Taylor permite la construcción de una función de estructura analítica canónica φ(β,α) a partir de Lie álgebra. ¶ Estos siete teoremas (los tres teoremas de Lie y sus inversos, y el teorema de Taylor) proporcionan una equivalencia esencial entre los grupos de Lie y las álgebras. ^[5]

Aspectos de la teoría de la mentira

La teoría de la mentira se basa frecuentemente en el estudio de los grupos algebraicos lineales clásicos . Las ramas especiales incluyen grupos Weyl , grupos Coxeter y edificios . El tema clásico se ha ampliado a Grupos de tipo Lie .

En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de la mentira con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Ver también

• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff
• Lista de temas de grupos de mentiras
• Integrador de grupo de mentiras.

notas y referencias

1. "Los logros duraderos de Lie son las grandes teorías que creó. Sin embargo, estas teorías (grupos de transformación, integración de ecuaciones diferenciales, geometría del contacto) no surgieron en el vacío. Fueron precedidas por resultados particulares de un alcance más limitado. , que señaló el camino a teorías más generales que siguieron. La correspondencia línea-esfera es seguramente un ejemplo de este fenómeno: establece claramente el escenario para el trabajo posterior de Lie sobre transformaciones de contacto y grupos de simetría ". R. Milson (2000) "Una descripción general de la correspondencia línea-esfera de Lie", págs. 1 a 10 de El estudio geométrico de ecuaciones diferenciales , editores de JA Leslie y TP Robart, Sociedad Matemática Estadounidense ISBN  0-8218-2964-5 , cita pp 8,9
2. Geometría / Ángulos unificados en Wikilibros
3. Álgebra abstracta / matrices reales 2x2 en Wikilibros
4. Thomas Hawkins (1996) Historia Mathematica 23(1):92–5
5. Robert Gilmore (1974) Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones , página 87, Wiley ISBN 0-471-30179-5 

• John A. Coleman (1989) "El mejor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer 11(3): 29–38.

Otras lecturas

• MA Akivis y BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869-1951) , traducido del original ruso por VV Goldberg, capítulo 2: Grupos de Lie y álgebras de Lie, Sociedad Matemática Estadounidense ISBN 0-8218-4587-X . 
• PM Cohn (1957) Grupos de mentiras , Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
  • Nijenhuis, Albert (1959). "Reseña: Grupos de mentiras, por PM Cohn". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 65 (6): 338–341. doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• JL Coolidge (1940) Una historia de los métodos geométricos , págs. 304-17, Oxford University Press (Publicaciones de Dover 2003).
• Robert Gilmore (2008) Grupos de mentiras, física y geometría: una introducción para físicos, ingenieros y químicos , Cambridge University Press ISBN 9780521884006 . 
• F. Reese Harvey (1990) Spinores y calibraciones , Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 . 
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hawkins, Thomas (2000). Surgimiento de la teoría de los grupos de mentiras: un ensayo sobre la historia de las matemáticas, 1869-1926 . Saltador. ISBN 0-387-98963-3.
• Sattinger, David H.; Tejedor, OL (1986). Grupos de mentiras y álgebras con aplicaciones a física, geometría y mecánica . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9.
• Stillwell, John (2008). Teoría de la mentira ingenua . Saltador. ISBN 978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Revista de teoría de la mentira