Matriz de unos

Matriz con cada entrada igual a uno

En matemáticas , una matriz de unos o una matriz de todos unos es una matriz con cada entrada igual a uno . ^[1] Por ejemplo:

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

Algunas fuentes denominan a la matriz de todos unos la matriz unidad , ^[2] pero ese término también puede referirse a la matriz identidad , un tipo diferente de matriz.

Un vector de unos o un vector de todos unos es una matriz de unos que tiene forma de fila o columna ; no debe confundirse con los vectores unitarios .

Propiedades

Para una matriz n  ×  n de unos J , se cumplen las siguientes propiedades:

• La traza de J es igual a n , ^[3] y el determinante es igual a 0 para n ≥ 2, pero es igual a 1 si n = 1.
• El polinomio característico de J es . ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• El polinomio mínimo de J es . ${\displaystyle x^{2}-nx}$
• El rango de J es 1 y los valores propios son n con multiplicidad 1 y 0 con multiplicidad n − 1. [ ^4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$para ^[5] ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$
• J es el elemento neutro del producto Hadamard . ^[6]

Cuando J se considera como una matriz sobre los números reales , se cumplen las siguientes propiedades adicionales:

• J es una matriz semidefinida positiva .
• La matriz es idempotente . ^[5] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$
• La matriz exponencial de J es ${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

Aplicaciones

La matriz de todos unos surge en el campo matemático de la combinatoria , particularmente en la aplicación de métodos algebraicos a la teoría de grafos . Por ejemplo, si A es la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido de n vértices G , y J es la matriz de todos unos de la misma dimensión, entonces G es un grafo regular si y solo si AJ  =  JA . ^[7] Como segundo ejemplo, la matriz aparece en algunas pruebas algebraicas lineales de la fórmula de Cayley , que da el número de árboles de expansión de un grafo completo , utilizando el teorema del árbol de matrices .

Las raíces cuadradas lógicas de una matriz de unos, matrices lógicas cuyo cuadrado es una matriz de unos, se pueden utilizar para caracterizar los grupoides centrales . Los grupoides centrales son estructuras algebraicas que obedecen a la identidad . Los grupoides centrales finitos tienen un número cuadrado de elementos, y las matrices lógicas correspondientes existen solo para esas dimensiones. ^[8] ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$

Véase también

• Matriz cero , una matriz donde todas las entradas son cero
• Matriz de entrada única

Referencias

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 La matriz y el vector de todos unos", Matrix Analysis, Cambridge University Press, pág. 8, ISBN 9780521839402.
2. Weisstein, Eric W. , "Matriz unitaria", MathWorld
3. Stanley, Richard P. (2013), Combinatoria algebraica: paseos, árboles, cuadros y más, Springer, Lema 1.4, pág. 4, ISBN 9781461469988.
4. Stanley (2013); Horn y Johnson (2012), pág. 65.
5. Timm, Neil H. (2002), Análisis multivariado aplicado, Textos de Springer sobre estadística, Springer, pág. 30, ISBN 9780387227719.
6. Smith, Jonathan DH (2011), Introducción al álgebra abstracta, CRC Press, pág. 77, ISBN 9781420063721.
7. Godsil, Chris (1993), Combinatoria algebraica, CRC Press, Lema 4.1, pág. 25, ISBN 9780412041310.
8. Knuth, Donald E. (1970), "Notas sobre grupoides centrales", Journal of Combinatorial Theory , 8 : 376–390, doi :10.1016/S0021-9800(70)80032-1, MR  0259000