unidad matricial

Concepto en matemáticas

En álgebra lineal , una unidad matricial es una matriz con una sola entrada distinta de cero con valor 1. ^{[1] [2]} La unidad matricial con un 1 en la i -ésima fila y la j -ésima columna se denota como . Por ejemplo, la unidad matricial de 3 por 3 con i = 1 y j = 2 es ${\displaystyle E_{ij}}$

$${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

vector unitariovector unitario estándar

Una matriz de entrada única generaliza la unidad matricial para matrices con una sola entrada distinta de cero de cualquier valor, no necesariamente del valor 1.

Propiedades

El conjunto de m por n unidades matriciales es una base del espacio de m por n matrices. ^[2]

El producto de dos unidades matriciales de la misma forma cuadrada satisface la relación ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$

delta del Kronecker^[2] ${\displaystyle \delta _{jk}}$

El grupo de matrices escalares n -por- n sobre un anillo R es el centralizador del subconjunto de n -por- n unidades matriciales en el conjunto de n -por- n matrices sobre R . ^[2]

La norma matricial (inducida por las mismas dos normas vectoriales) de una unidad matricial es igual a 1.

Cuando se multiplica por otra matriz, aísla una fila o columna específica en una posición arbitraria. Por ejemplo, para cualquier matriz A de 3 por 3 : ^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$

Referencias

1. Artín, Michael. Álgebra . Prentice Hall. pag. 9.
2. Lam, Tsit-Yuen (1999). "Capítulo 17: Anillos de matriz". Conferencias sobre Módulos y Anillos . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 189. Springer Ciencia + Medios comerciales . págs. 461–479.
3. Marcel Blattner (2009). "Rango B: un algoritmo de recomendación N superior". arXiv : 0908.2741 [física.datos-an].