Grupoide central

Estructura algebraica

En álgebra abstracta , un grupoide central es una estructura algebraica definida por una operación binaria sobre un conjunto de elementos que satisface la ecuación ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b.}$$

Como ejemplo, la operación sobre puntos del plano euclidiano , definida por la recombinación de sus coordenadas cartesianas , es un grupoide central. El mismo tipo de recombinación define un grupoide central sobre los pares ordenados de elementos de cualquier conjunto, llamado grupoide central natural . ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})}$$

Como estructura algebraica con una sola operación binaria, un grupoide central es un tipo especial de magma o grupoide. Debido a que los grupoides centrales se definen por una identidad ecuacional , forman una variedad de álgebras en las que los objetos libres se denominan grupoides centrales libres . Los grupoides centrales libres son infinitos y no tienen elementos idempotentes . Los grupoides centrales finitos, incluidos los grupoides centrales naturales sobre conjuntos finitos, siempre tienen un número cuadrado de elementos, cuya raíz cuadrada es el número de elementos idempotentes.

Definiciones equivalentes

Un grupoide central consiste en un conjunto de elementos y una operación binaria sobre este conjunto que satisface la ecuación para todos los elementos , , y . ^[1] ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Los grupoides centrales se pueden definir de forma equivalente en términos de dígrafos centrales . Estos son grafos dirigidos en los que, cada par ordenado de vértices (no necesariamente distintos) forman el vértice inicial y final de un camino dirigido de tres vértices. Es decir, para cada y debe existir un vértice único tal que y sean aristas dirigidas. A partir de cualquier dígrafo central, se puede definir un grupoide central en el que para cada camino dirigido . A la inversa, para cualquier grupoide central podemos definir un dígrafo central dejando que el conjunto de vértices sean los elementos del grupoide, y diciendo que hay una arista siempre que exista con . ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u\to w}$ ${\displaystyle w\to v}$ ${\displaystyle u\cdot v=w}$ ${\displaystyle u\to w\to v}$ ${\displaystyle u\to w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\cdot v=w}$

Una tercera definición equivalente de grupoides centrales implica matrices (0,1) con la propiedad de ser una matriz de unos . Estas son exactamente las matrices de adyacencia dirigidas de los grafos que definen grupoides centrales. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{2}}$

Casos especiales

Finito

Cada grupoide central finito tiene un número cuadrado de elementos. Si el número de elementos es , entonces hay exactamente elementos idempotentes (elementos con la propiedad de que ). ^[2] En el dígrafo central correspondiente, cada vértice idempotente tiene un bucle propio . Los vértices restantes pertenecen cada uno a un único 2-ciclo. En la vista matricial de los grupoides centrales, los elementos idempotentes forman los 1 en la diagonal principal de una matriz que representa el grupoide. Cada fila y columna de la matriz también contiene exactamente 1. El espectro de la matriz es . ^[3] ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\cdot i=i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k,0,0,\dots ,0}$

Los números de grupoides centrales en elementos etiquetados, o equivalentemente, matrices (0,1) de dimensión cuyo cuadrado es la matriz de todos los unos, para , son ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$

1, 12, 1330560 (secuencia A283627 en la OEIS ).

Encontrar estos números, para valores generales de , fue planteado como un problema abierto por Alan J. Hoffman en 1967. ^[4] ${\displaystyle k}$

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Como ocurre con cualquier variedad de álgebras, los grupoides centrales tienen objetos libres , los grupoides centrales libres . El grupoide central libre, para un conjunto dado de elementos generadores, puede definirse como que tiene elementos que son clases de equivalencia de expresiones finitas, bajo una relación de equivalencia en la que dos expresiones son equivalentes cuando pueden transformarse entre sí aplicando repetidamente la ecuación definitoria de un grupoide central. A diferencia de los grupoides centrales finitos, los grupoides centrales libres no tienen elementos idempotentes . El problema de probar la equivalencia de expresiones para un grupoide central libre fue uno de los ejemplos motivadores en el descubrimiento del algoritmo de compleción de Knuth-Bendix para construir un sistema de reescritura de términos que resuelve este problema. ^[5]

El sistema de reescritura resultante consiste en las reglas en las que cualquier subexpresión que coincida con el lado izquierdo de cualquiera de estas reglas se transforma en el lado derecho, hasta que no queden más subexpresiones coincidentes. Dos expresiones son equivalentes si se transforman de esta manera en la misma expresión entre sí. ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)&\to b\\a\cdot {\bigl (}(a\cdot b)\cdot c{\bigr )}&\to a\cdot b\\{\bigl (}a\cdot (b\cdot c){\bigr )}\cdot c&\to b\cdot c\\\end{aligned}}}$$

Natural

Un grupoide central natural tiene como elementos los pares ordenados de valores en algún conjunto definitorio. Su operación binaria recombina estos pares como ^[5] Por ejemplo, si el conjunto definitorio es el conjunto de números reales , esta operación define un producto de puntos en el plano euclidiano , descrito por sus coordenadas cartesianas . Si el conjunto definitorio es finito, entonces también lo es el grupoide central natural resultante. ^[1] ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})}$$

Los grupoides centrales naturales se caracterizan entre los grupoides centrales por obedecer otra ecuación, para todos los elementos y . ^{[5] [2]} $${\displaystyle {\bigl (}a\cdot (a\cdot a){\bigr )}\cdot b=a\cdot b}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Véase también

• Gráfico de amistad , un gráfico no dirigido con la propiedad de que cada dos vértices distintos son puntos finales de una ruta única de tres vértices.
• Bigrupoide semicentral , una generalización de los grupoides centrales con dos operaciones binarias, utilizada para caracterizar autómatas celulares reversibles unidimensionales.

Referencias

1. Evans, Trevor (1967), "Productos de puntos: algunas álgebras simples y sus identidades", The American Mathematical Monthly , 74 : 362–372, doi :10.2307/2314563, JSTOR  2314563, MR  0209382
2. Knuth, Donald E. (1970), "Notas sobre grupoides centrales", Journal of Combinatorial Theory , 8 : 376–390, doi :10.1016/S0021-9800(70)80032-1, MR  0259000
3. Curtis, Frank; Drew, John; Li, Chi-Kwong; Pragel, Daniel (2004), "Grupoides centrales, dígrafos centrales y matrices cero-uno A que satisfacen A ² = J ", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 105 (1): 35–50, doi :10.1016/j.jcta.2003.10.001, MR  2030138
4. "Problemas de investigación", Journal of Combinatorial Theory , 2 (3): 393, mayo de 1967, doi :10.1016/s0021-9800(67)80037-1; ver problema 2-11, "una ecuación en matrices".
5. Knuth, Donald E. ; Bendix, Peter B. (1970), "Problemas de palabras simples en álgebras universales", en Leech, John (ed.), Problemas computacionales en álgebra abstracta: Actas de una conferencia celebrada en Oxford bajo los auspicios del Science Research Council, Atlas Computer Laboratory, 29 de agosto al 2 de septiembre de 1967 , Pergamon, págs. 263–297, MR  0255472