En matemáticas , el espectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios . [1] [2] [3] De manera más general, si es un operador lineal en cualquier espacio vectorial de dimensión finita , su espectro es el conjunto de escalares tales que no es invertible . El determinante de la matriz es igual al producto de sus valores propios. De manera similar, la traza de la matriz es igual a la suma de sus valores propios. [4] [5] [6] Desde este punto de vista, podemos definir el pseudodeterminante de una matriz singular como el producto de sus valores propios distintos de cero (la densidad de la distribución normal multivariante necesitará esta cantidad).
En muchas aplicaciones, como PageRank , interesa el valor propio dominante, es decir, el mayor en valor absoluto . En otras aplicaciones, es importante el valor propio más pequeño, pero, en general, todo el espectro proporciona información valiosa sobre una matriz.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún cuerpo K y supongamos que T : V → V es una función lineal. El espectro de T , denotado σ T , es el multiconjunto de raíces del polinomio característico de T . Por lo tanto, los elementos del espectro son precisamente los valores propios de T , y la multiplicidad de un valor propio λ en el espectro es igual a la dimensión del espacio propio generalizado de T para λ (también llamado multiplicidad algebraica de λ ).
Ahora, fijemos una base B de V sobre K y supongamos que M ∈ Mat K ( V ) es una matriz. Definamos la función lineal T : V → V puntualmente por Tx = Mx , donde en el lado derecho x se interpreta como un vector columna y M actúa sobre x por multiplicación de matrices . Ahora decimos que x ∈ V es un vector propio de M si x es un vector propio de T . De manera similar, λ ∈ K es un valor propio de M si es un valor propio de T , y con la misma multiplicidad, y el espectro de M , escrito σ M , es el multiconjunto de todos esos valores propios.
La descomposición propia (o descomposición espectral) de una matriz diagonalizable es una descomposición de una matriz diagonalizable en una forma canónica específica mediante la cual la matriz se representa en términos de sus valores propios y vectores propios.
El radio espectral de una matriz cuadrada es el mayor valor absoluto de sus valores propios. En teoría espectral , el radio espectral de un operador lineal acotado es el supremo de los valores absolutos de los elementos en el espectro de ese operador.
