Función gamma incompleta

Tipos de funciones matemáticas especiales

La función gamma superior incompleta para algunos valores de s: 0 (azul), 1 (rojo), 2 (verde), 3 (naranja), 4 (púrpura).

Gráfico de la función gamma incompleta regularizada Q(2,z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , las funciones gamma incompletas superior e inferior son tipos de funciones especiales que surgen como soluciones a diversos problemas matemáticos, como ciertas integrales .

Sus respectivos nombres se derivan de sus definiciones integrales, que se definen de manera similar a la función gamma , pero con límites integrales diferentes o "incompletos". La función gamma se define como una integral de cero a infinito. Esto contrasta con la función gamma incompleta inferior, que se define como una integral de cero a un límite superior variable. De manera similar, la función gamma incompleta superior se define como una integral de un límite inferior variable a infinito.

Definición

La función gamma incompleta superior se define como: mientras que la función gamma incompleta inferior se define como: En ambos casos, s es un parámetro complejo, tal que la parte real de s es positiva. $${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$ $${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

Propiedades

Por integración por partes encontramos las relaciones de recurrencia y Dado que la función gamma ordinaria se define como tenemos y $${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$ $${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$ $${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$$

Continuación de valores complejos

La función gamma incompleta inferior y la función gamma incompleta superior, como se definieron anteriormente para s y x positivos reales , se pueden desarrollar en funciones holomorfas , con respecto tanto a x como a s , definidas para casi todas las combinaciones de x y s complejos . ^[1] El análisis complejo muestra cómo las propiedades de las funciones gamma incompletas reales se extienden a sus contrapartes holomorfas.

Función gamma incompleta inferior

Extensión holomorfa

La aplicación repetida de la relación de recurrencia para la función gamma incompleta inferior conduce a la expansión en serie de potencias : ^[2] Dado el rápido crecimiento en valor absoluto de Γ( z + k ) cuando k → ∞ , y el hecho de que el recíproco de Γ( z ) es una función entera , los coeficientes en la suma más a la derecha están bien definidos, y localmente la suma converge uniformemente para todos los complejos s y x . Por un teorema de Weierstrass , ^[3] la función límite, a veces denotada como , ^[4] es entera con respecto tanto a z (para s fijo ) como a s (para z fijo ), ^[1] y, por lo tanto, holomorfa en C × C por el teorema de Hartog . ^[5] Por lo tanto, la siguiente descomposición ^[1] extiende la función gamma incompleta inferior real como una función holomorfa , tanto conjunta como separadamente en z y s . De las propiedades de y de la función Γ se deduce que los dos primeros factores capturan las singularidades de (en z = 0 o s un entero no positivo), mientras que el último factor contribuye a sus ceros. $${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),}$$ ${\displaystyle z^{s}}$ ${\displaystyle \gamma (s,z)}$

Multivaloridad

El logaritmo complejo log z = log | z | + i arg z se determina únicamente hasta un múltiplo de 2 πi , lo que lo hace multivaluado . Las funciones que involucran el logaritmo complejo generalmente heredan esta propiedad. Entre ellas se encuentran la potencia compleja , y, dado que z ^s aparece en su descomposición, también la función γ .

La indeterminación de funciones multivaluadas introduce complicaciones, ya que se debe indicar cómo seleccionar un valor. Las estrategias para manejar esto son:

• (la forma más general) reemplazar el dominio C de funciones multivaluadas por una variedad adecuada en C × C llamada superficie de Riemann . Si bien esto elimina la multivaluación, uno debe conocer la teoría detrás de ella; ^[6]
• restringir el dominio de tal manera que una función multivalor se descomponga en ramas separadas de un solo valor , que se pueden manejar individualmente.

El siguiente conjunto de reglas se puede utilizar para interpretar correctamente las fórmulas de esta sección. A menos que se indique lo contrario, se supone lo siguiente:

Sectores

Los sectores en C que tienen su vértice en z = 0 a menudo resultan ser dominios apropiados para expresiones complejas. Un sector D consiste en todos los complejos z que satisfacen z ≠ 0 y α − δ < arg z < α + δ con algún α y 0 < δ ≤ π . A menudo, α puede elegirse arbitrariamente y no se especifica entonces. Si δ no se da, se supone que es π , y el sector es de hecho todo el plano C , con la excepción de una semilínea que se origina en z = 0 y apunta en la dirección de − α , que generalmente sirve como un corte de rama . Nota: En muchas aplicaciones y textos, α se toma silenciosamente como 0, lo que centra el sector alrededor del eje real positivo.

Sucursales

En particular, existe un logaritmo holomorfo y de un solo valor en cualquier sector D que tenga su parte imaginaria limitada al rango ( α − δ , α + δ ) . Con base en un logaritmo tan restringido, z ^s y las funciones gamma incompletas a su vez colapsan en funciones holomorfas y de un solo valor en D (o C × D ), llamadas ramas de sus contrapartes de múltiples valores en D . Agregar un múltiplo de 2 π a α produce un conjunto diferente de ramas correlacionadas en el mismo conjunto D . Sin embargo, en cualquier contexto dado aquí, α se supone fijo y todas las ramas involucradas están asociadas a él. Si | α | < δ , las ramas se llaman principales , porque son iguales a sus análogos reales en el eje real positivo. Nota: En muchas aplicaciones y textos, las fórmulas solo son válidas para ramas principales.

Relación entre ramas

Los valores de diferentes ramas tanto de la función de potencia compleja como de la función gamma incompleta inferior se pueden derivar entre sí mediante la multiplicación de , ^[1] para k, un entero adecuado. ${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

Comportamiento cerca del punto de ramificación

La descomposición anterior muestra además que γ se comporta cerca de z = 0 asintóticamente como: $${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

Para x , y y s reales positivos , x ^y /y → 0 , cuando ( x , y ) → (0, s ) . Esto parece justificar establecer γ ( s , 0) = 0 para s real > 0 . Sin embargo, las cosas son algo diferentes en el ámbito complejo. Solo si (a) la parte real de s es positiva, y (b) los valores u ^v se toman de solo un conjunto finito de ramas, se garantiza que convergen a cero cuando ( u , v ) → (0, s ) , y lo mismo ocurre con γ ( u , v ) . En una sola rama de γ ( b ) se cumple naturalmente, por lo que γ ( s , 0) = 0 para s con parte real positiva es un límite continuo . También tenga en cuenta que dicha continuación no es de ninguna manera analítica .

Relaciones algebraicas

Todas las relaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales observadas por la función γ ( s , z ) real se cumplen también para su contraparte holomorfa. Esto es una consecuencia del teorema de identidad, que establece que las ecuaciones entre funciones holomorfas válidas en un intervalo real se cumplen en todas partes. En particular, la relación de recurrencia ^[2] y ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [2]} se conservan en las ramas correspondientes.

Representación integral

La última relación nos dice que, para s fijo , γ es una primitiva o antiderivada de la función holomorfa z ^{s −1} e ^{− z} . En consecuencia, para cualquier complejo u , v ≠ 0 , se cumple, siempre que el camino de integración esté completamente contenido en el dominio de una rama del integrando. Si, además, la parte real de s es positiva, entonces se aplica el límite γ ( s , u ) → 0 para u → 0 , llegando finalmente a la definición integral compleja de γ ^[1] $${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

Aquí es válido cualquier camino de integración que contenga sólo 0 en su inicio, o de lo contrario restringido al dominio de una rama del integrando, por ejemplo, la línea recta que une 0 y z .

Límite paraz → +∞

Valores reales

Dada la representación integral de una rama principal de γ , la siguiente ecuación se cumple para todos los números reales positivos s , x : ^[7] $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

scomplejo

Este resultado se extiende a los complejos s . Supongamos primero que 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 y 1 < a < b . Entonces donde ^[8] se ha utilizado en el medio. Dado que la integral final se vuelve arbitrariamente pequeña si solo a es lo suficientemente grande, γ ( s , x ) converge uniformemente para x → ∞ en la franja 1 ≤ Re(s) ≤ 2 hacia una función holomorfa, ^[3] que debe ser Γ(s) debido al teorema de identidad. Tomando el límite en la relación de recurrencia γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x} y notando que lim x ⁿ e ^{− x} = 0 para x → ∞ y todo n , se muestra que γ ( s , x ) converge también fuera de la franja hacia una función que obedece la relación de recurrencia de la función Γ. Se sigue que para todo complejo s no es un entero no positivo, x es real y γ es principal. $${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

Convergencia sectorial

Ahora sea u del sector | arg z | < δ < π /2 con algún δ fijo ( α = 0 ), γ sea la rama principal en este sector, y observe $${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$$

Como se muestra arriba, la primera diferencia puede hacerse arbitrariamente pequeña, si | u | es suficientemente grande. La segunda diferencia permite la siguiente estimación: donde hicimos uso de la representación integral de γ y la fórmula sobre | z ^s | anterior. Si integramos a lo largo del arco con radio R = | u | alrededor de 0 que conecta u y | u | , entonces la última integral es donde M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ} es una constante independiente de u o R . Nuevamente refiriéndonos al comportamiento de x ⁿ e ^{− x} para x grande , vemos que la última expresión se acerca a 0 a medida que R aumenta hacia ∞ . En total ahora tenemos: si s no es un entero no negativo, 0 < ε < π /2 es arbitrariamente pequeño, pero fijo, y γ denota la rama principal en este dominio. $${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$ $${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

Descripción general

${\displaystyle \gamma (s,z)}$es:

• entero en z para entero positivo fijo s ;
• holomórfico multivaluado en z para s fijo no entero, con un punto de ramificación en z = 0 ;
• en cada rama meromórfica en s para z fijo ≠ 0 , con polos simples en números enteros no positivos s.

Función gamma superior incompleta

En cuanto a la función gamma incompleta superior , una extensión holomorfa , con respecto a z o s , está dada por ^[1] en los puntos ( s , z ) , donde existe el lado derecho. Dado que es multivaluado, lo mismo se aplica a , pero una restricción a valores principales solo produce la rama principal univaluada de . $${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Cuando s es un entero no positivo en la ecuación anterior, ninguna parte de la diferencia está definida y un proceso de limitación , desarrollado aquí para s → 0 , completa los valores faltantes. El análisis complejo garantiza la holomorficidad , porque resulta estar acotado en un entorno de ese límite para un z fijo . ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

Para determinar el límite, es útil la serie de potencias de en z = 0. Al reemplazar por su serie de potencias en la definición integral de , se obtiene (supongamos x , s reales positivos por ahora): o ^[4] que, como representación en serie de la función completa, converge para todo complejo x (y todo complejo s que no sea un entero no positivo). ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$

Al eliminarse la restricción a los valores reales, la serie permite la expansión: $${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$$

Cuando s → 0 : ^[9] ( aquí es la constante de Euler-Mascheroni ), por lo tanto, es la función límite de la función gamma incompleta superior cuando s → 0 , también conocida como integral exponencial . ^[10] $${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$$ ${\displaystyle E_{1}(z)}$

Por medio de la relación de recurrencia, los valores de para números enteros positivos n pueden derivarse de este resultado, ^[11] por lo que la función gamma incompleta superior demuestra existir y ser holomorfa, con respecto tanto a z como a s , para todos los s y z ≠ 0 . ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$ $${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$es:

• entero en z para s integral positivo fijo ;
• holomórfico multivaluado en z para s fijo distinto de cero y no un entero positivo, con un punto de ramificación en z = 0 ;
• igual a para s con parte real positiva y z = 0 (el límite cuando ), pero esta es una extensión continua, no analítica ( ¡no se cumple para s real < 0 !); ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• en cada rama entera en s para z fijo ≠ 0 .

Valores especiales

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$Si s es un entero positivo ,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$Si s es un entero positivo , ^[12]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$para , ${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Aquí, es la integral exponencial , es la integral exponencial generalizada , es la función de error , y es la función de error complementaria , . ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

Comportamiento asintótico

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$como , ${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$como y (para s real , el error de Γ( s , x ) ~ − x ^s / s es del orden de O ( x ^{min{ s + 1, 0}} ) si s ≠ −1 y O (ln( x )) si s = −1 ), ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$como una serie asintótica donde y . ^[13] ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$como una serie asintótica donde y , donde , donde es la constante de Euler-Mascheroni . ^[13] ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle N=1,2,\dots }$ ${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$como , ${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$como , ${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$como una serie asintótica donde y . ^[14] ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

Fórmulas de evaluación

La función gamma inferior se puede evaluar utilizando la expansión de la serie de potencias: ^[15] donde es el símbolo de Pochhammer . $${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$ ${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

Una expansión alternativa es donde M es la función hipergeométrica confluente de Kummer . $${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

Conexión con la función hipergeométrica confluente de Kummer

Cuando la parte real de z es positiva, donde tiene un radio de convergencia infinito. $${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$ $${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

Nuevamente con funciones hipergeométricas confluentes y empleando la identidad de Kummer, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

Para el cálculo real de valores numéricos, la fracción continua de Gauss proporciona una expansión útil: $${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

Esta fracción continua converge para todo complejo z , siempre que s no sea un entero negativo.

La función gamma superior tiene la fracción continua ^[16] y ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

Teorema de multiplicación

El siguiente teorema de multiplicación es válido: $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).}$$

Implementación de software

Las funciones gamma incompletas están disponibles en varios de los sistemas de álgebra computacional .

Sin embargo, incluso si no están disponibles directamente, los valores de funciones incompletas se pueden calcular utilizando funciones que se incluyen comúnmente en hojas de cálculo (y paquetes de álgebra computacional). En Excel , por ejemplo, se pueden calcular utilizando la función gamma combinada con la función de distribución gamma .

• La función incompleta inferior: . ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• La función incompleta superior: . ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

Estos se desprenden de la definición de la función de distribución acumulativa de la distribución gamma .

En Python , la biblioteca Scipy proporciona implementaciones de funciones gamma incompletas en scipy.special, sin embargo, no admite valores negativos para el primer argumento. La función gammaincde la biblioteca mpmath admite todos los argumentos complejos.

Funciones gamma regularizadas y variables aleatorias de Poisson

Dos funciones relacionadas son las funciones gamma regularizadas: es la función de distribución acumulativa para variables aleatorias gamma con parámetro de forma y parámetro de escala 1. $${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P(s,x)}$ ${\displaystyle s}$

Cuando es un número entero, es la función de distribución acumulativa para las variables aleatorias de Poisson : Si es una variable aleatoria entonces ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Q(s+1,\lambda )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$ $${\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}$$

Esta fórmula se puede derivar mediante integración repetida por partes.

En el contexto de la distribución de conteo estable , el parámetro puede considerarse como el inverso del parámetro de estabilidad de Lévy : donde es una distribución de conteo estable estándar de forma . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle Q(s,x)=\int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu ,\quad (s>1)}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha =1/s<1}$

${\displaystyle P(s,x)}$y se implementan como ^[17] y ^[18] en scipy . ${\displaystyle Q(s,x)}$gammaincgammaincc

Derivados

Usando la representación integral anterior, la derivada de la función gamma incompleta superior con respecto a x es La derivada con respecto a su primer argumento está dada por ^[19] y la segunda derivada por donde la función es un caso especial de la función G de Meijer Este caso especial particular tiene propiedades de cierre interno propias porque puede usarse para expresar todas las derivadas sucesivas. En general, donde es la permutación definida por el símbolo de Pochhammer : Todas estas derivadas pueden generarse en sucesión a partir de: y Esta función puede calcularse a partir de su representación en serie válida para , con el entendimiento de que s no es un entero negativo o cero. En tal caso, uno debe usar un límite. Los resultados para pueden obtenerse por continuación analítica . Algunos casos especiales de esta función pueden simplificarse. Por ejemplo, , , donde es la integral exponencial . Estas derivadas y la función proporcionan soluciones exactas a varias integrales mediante la diferenciación repetida de la definición integral de la función gamma incompleta superior. ^{[20] [21]} Por ejemplo, esta fórmula se puede inflar o generalizar aún más a una enorme clase de transformadas de Laplace y transformadas de Mellin . Cuando se combina con un sistema de álgebra computacional , la explotación de funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular aquellas encontradas en aplicaciones prácticas de ingeniería (ver Integración simbólica para más detalles). ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ $${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$ ${\displaystyle P_{j}^{n}}$ $${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ $${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$ ${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ $${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

Integrales indefinidas y definidas

Las siguientes integrales indefinidas se obtienen fácilmente utilizando la integración por partes (omitiendo la constante de integración en ambos casos): La función gamma incompleta inferior y superior están conectadas a través de la transformada de Fourier : Esto se deduce, por ejemplo, de la especialización adecuada de (Gradshteyn et al. 2015, §7.642). $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

Notas

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2. "DLMF: §8.8 Relaciones de recurrencia y derivadas ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Funciones gamma incompletas y relacionadas". dlmf.nist.gov .
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8. "DLMF: §4.4 Valores especiales y límites ‣ Logaritmo, exponencial, potencias ‣ Capítulo 4 Funciones elementales". dlmf.nist.gov .
9. ver última ecuación.
10. "DLMF: §8.4 Valores especiales ‣ Funciones gamma incompletas ‣ Capítulo 8 Gamma incompleta y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov .
11. "DLMF: 8.4 Valores especiales".
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Enlaces externos

• ${\displaystyle P(a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta inferior regularizada
• ${\displaystyle Q(a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta superior regularizada
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta inferior
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$— Calculadora de función gamma incompleta superior
• Fórmulas e identidades de la función gamma incompleta functions.wolfram.com