Parte aislada

Observación muy diferenciada de otras en estadística y ciencia de datos.

Figura 1. Diagrama de caja de datos del experimento de Michelson-Morley que muestra cuatro valores atípicos en la columna del medio, así como un valor atípico en la primera columna.

En estadística , un valor atípico es un dato que difiere significativamente de otras observaciones. ^{[1] [2]} Un valor atípico puede deberse a una variabilidad en la medición, una indicación de datos nuevos o puede ser el resultado de un error experimental; estos últimos a veces quedan excluidos del conjunto de datos . ^{[3] [4]} Un valor atípico puede ser una indicación de una posibilidad interesante, pero también puede causar serios problemas en los análisis estadísticos.

Los valores atípicos pueden ocurrir por casualidad en cualquier distribución, pero pueden indicar comportamientos o estructuras novedosos en el conjunto de datos, errores de medición o que la población tiene una distribución de colas pesadas . En el caso de los errores de medición, conviene descartarlos o utilizar estadísticas que sean robustas frente a los valores atípicos, mientras que en el caso de las distribuciones de colas pesadas, indican que la distribución tiene una gran asimetría y que se debe ser muy cauteloso al utilizar herramientas o intuiciones que asumen una distribución normal . Una causa frecuente de valores atípicos es una mezcla de dos distribuciones, que pueden ser dos subpoblaciones distintas, o pueden indicar "ensayo correcto" versus "error de medición"; esto se modela mediante un modelo de mezcla .

En la mayoría de las muestras de datos más grandes, algunos puntos de datos estarán más alejados de la media muestral de lo que se considera razonable. Esto puede deberse a un error sistemático incidental o fallas en la teoría que generó una supuesta familia de distribuciones de probabilidad , o puede ser que algunas observaciones estén lejos del centro de los datos. Por lo tanto, los puntos atípicos pueden indicar datos defectuosos, procedimientos erróneos o áreas donde una determinada teoría podría no ser válida. Sin embargo, en muestras grandes, es de esperar un pequeño número de valores atípicos (y no debido a ninguna condición anómala).

Los valores atípicos, al ser las observaciones más extremas, pueden incluir el máximo o el mínimo de la muestra , o ambos, dependiendo de si son extremadamente altos o bajos. Sin embargo, el máximo y el mínimo de la muestra no siempre son valores atípicos porque es posible que no estén inusualmente alejados de otras observaciones.

La interpretación ingenua de estadísticas derivadas de conjuntos de datos que incluyen valores atípicos puede resultar engañosa. Por ejemplo, si se está calculando la temperatura promedio de 10 objetos en una habitación, y nueve de ellos están entre 20 y 25 grados centígrados , pero un horno está a 175 °C, la mediana de los datos estará entre 20 y 25 °C. C pero la temperatura media estará entre 35,5 y 40 °C. En este caso, la mediana refleja mejor que la media la temperatura de un objeto muestreado al azar (pero no la temperatura de la habitación); interpretar ingenuamente la media como "una muestra típica", equivalente a la mediana, es incorrecto. Como se ilustra en este caso, los valores atípicos pueden indicar puntos de datos que pertenecen a una población diferente al resto del conjunto de muestras .

Se dice que los estimadores capaces de hacer frente a valores atípicos son robustos: la mediana es una estadística robusta de tendencia central , mientras que la media no lo es. ^[5] Sin embargo, la media es generalmente un estimador más preciso. ^[6]

Ocurrencia y causas

Probabilidades relativas en una distribución normal.

En el caso de datos distribuidos normalmente , la regla de tres sigma significa que aproximadamente 1 de cada 22 observaciones diferirá en dos veces la desviación estándar o más de la media, y 1 de cada 370 se desviará tres veces la desviación estándar. ^[7] En una muestra de 1000 observaciones, la presencia de hasta cinco observaciones que se desvían de la media en más de tres veces la desviación estándar está dentro del rango de lo que se puede esperar, siendo menos del doble del número esperado y, por lo tanto, dentro de 1 desviación estándar del número esperado (ver distribución de Poisson ) y no indicar una anomalía. Sin embargo, si el tamaño de la muestra es sólo de 100, sólo tres de esos valores atípicos ya son motivo de preocupación, siendo más de 11 veces el número esperado.

En general, si se conoce a priori la naturaleza de la distribución de la población , es posible probar si el número de valores atípicos se desvía significativamente de lo que se puede esperar: para un límite dado (de modo que las muestras caen más allá del límite con probabilidad p ) de un dada una distribución, el número de valores atípicos seguirá una distribución binomial con parámetro p , que generalmente puede aproximarse bien mediante la distribución de Poisson con λ = pn . Por lo tanto, si se toma una distribución normal con un límite de 3 desviaciones estándar de la media, p es aproximadamente 0,3% y, por lo tanto, para 1000 ensayos se puede aproximar el número de muestras cuya desviación excede 3 sigmas mediante una distribución de Poisson con λ = 3.

Causas

Los valores atípicos pueden tener muchas causas anómalas. Es posible que un aparato físico para tomar medidas haya sufrido un mal funcionamiento transitorio. Es posible que haya habido un error en la transmisión o transcripción de datos. Los valores atípicos surgen debido a cambios en el comportamiento del sistema, comportamiento fraudulento, errores humanos, errores de instrumentos o simplemente a través de desviaciones naturales en las poblaciones. Es posible que una muestra haya sido contaminada con elementos ajenos a la población que se examina. Alternativamente, un valor atípico podría ser el resultado de una falla en la teoría supuesta, lo que requeriría una mayor investigación por parte del investigador. Además, la apariencia patológica de valores atípicos de cierta forma aparece en una variedad de conjuntos de datos, lo que indica que el mecanismo causal de los datos podría diferir en el extremo ( efecto King ).

Definiciones y detección

No existe una definición matemática rígida de lo que constituye un valor atípico; Determinar si una observación es o no un valor atípico es, en última instancia, un ejercicio subjetivo. ^[8] Existen varios métodos de detección de valores atípicos, algunos de los cuales se tratan como sinónimos de detección de novedades. ^{[9] [10] [11] [12] [13]} Algunos son gráficos, como los gráficos de probabilidad normal . Otros se basan en modelos. Los diagramas de caja son un híbrido.

Los métodos basados ​​en modelos que se utilizan comúnmente para la identificación suponen que los datos provienen de una distribución normal e identifican observaciones que se consideran "improbables" según la media y la desviación estándar:

• El criterio de Chauvenet
• Prueba de Grubbs para valores atípicos
• Prueba Q de Dixon
• ASTM E178: Práctica estándar para tratar observaciones atípicas ^[14]
• La distancia y el apalancamiento de Mahalanobis se utilizan a menudo para detectar valores atípicos, especialmente en el desarrollo de modelos de regresión lineal.
• Técnicas basadas en subespacio y correlación para datos numéricos de alta dimensión ^[13]

El criterio de Peirce

Se propone determinar en una serie de observaciones el límite de error, más allá del cual todas las observaciones que impliquen un error tan grande pueden ser rechazadas, siempre que sean tantas como dichas observaciones. El principio sobre el cual se propone resolver este problema es que las observaciones propuestas deben rechazarse cuando la probabilidad del sistema de errores obtenido al retenerlas es menor que la del sistema de errores obtenido al rechazarlas multiplicada por la probabilidad de haciendo tantas, y ninguna más, observaciones anormales. (Citado en la nota editorial de la página 516 a Peirce (edición de 1982) de A Manual of Astronomy 2:558 de Chauvenet.) ^{[15] [16] [17] [18]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

vallas de tukey

Otros métodos señalan observaciones basadas en medidas como el rango intercuartil . Por ejemplo, si y son los cuartiles inferior y superior respectivamente, entonces se podría definir un valor atípico como cualquier observación fuera del rango: ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{3}}$

${\displaystyle {\big [}Q_{1}-k(Q_{3}-Q_{1}),Q_{3}+k(Q_{3}-Q_{1}){\big ]}}$

para alguna constante no negativa . John Tukey propuso esta prueba, donde indica un "valor atípico" e indica datos que están "lejos". ^[19] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1.5}$ ${\displaystyle k=3}$

En detección de anomalías

En diversos ámbitos, como, entre otros, estadística , procesamiento de señales , finanzas , econometría , fabricación , redes y minería de datos , la tarea de detección de anomalías puede adoptar otros enfoques. Algunos de estos pueden estar basados ​​en la distancia ^{[20] [21]} y en la densidad, como el factor de valor atípico local (LOF). ^[22] Algunos enfoques pueden utilizar la distancia a los k vecinos más cercanos para etiquetar las observaciones como valores atípicos o no atípicos. ^[23]

Prueba Thompson Tau modificada

La prueba Thompson Tau modificada ^{[ cita necesaria ]} es un método utilizado para determinar si existe un valor atípico en un conjunto de datos. La ventaja de este método radica en el hecho de que tiene en cuenta la desviación estándar y el promedio de un conjunto de datos y proporciona una zona de rechazo determinada estadísticamente; proporcionando así un método objetivo para determinar si un punto de datos es un valor atípico. ^{[ cita necesaria ] [24]} Cómo funciona: Primero, se determina el promedio de un conjunto de datos. A continuación se determina la desviación absoluta entre cada punto de datos y el promedio. En tercer lugar, se determina una región de rechazo mediante la fórmula:

${\displaystyle {\text{Rejection Region}}{=}{\frac {{t_{\alpha /2}}{\left(n-1\right)}}{{\sqrt {n}}{\sqrt {n-2+{t_{\alpha /2}^{2}}}}}}}$;

donde es el valor crítico de la distribución t de Student con n -2 grados de libertad, n es el tamaño de la muestra y s es la desviación estándar de la muestra. Para determinar si un valor es un valor atípico: Calcule . Si δ > Región de rechazo, el punto de datos es un valor atípico. Si δ ≤ Región de rechazo, el punto de datos no es un valor atípico. ${\displaystyle \scriptstyle {t_{\alpha /2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta =|(X-mean(X))/s|}$

La prueba Thompson Tau modificada se utiliza para encontrar un valor atípico a la vez (el valor más grande de δ se elimina si es un valor atípico). Es decir, si se descubre que un punto de datos es un valor atípico, se elimina del conjunto de datos y la prueba se aplica nuevamente con una nueva región de promedio y rechazo. Este proceso continúa hasta que no queden valores atípicos en un conjunto de datos.

Algunos trabajos también han examinado valores atípicos de datos nominales (o categóricos). En el contexto de un conjunto de ejemplos (o instancias) en un conjunto de datos, la dureza de la instancia mide la probabilidad de que una instancia se clasifique erróneamente ( donde y es la etiqueta de clase asignada y x representa el valor del atributo de entrada para una instancia en el conjunto de entrenamiento). t ). ^[25] Idealmente, la dureza de la instancia se calcularía sumando el conjunto de todas las hipótesis posibles H : ${\displaystyle 1-p(y|x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}IH(\langle x,y\rangle )&=\sum _{H}(1-p(y,x,h))p(h|t)\\&=\sum _{H}p(h|t)-p(y,x,h)p(h|t)\\&=1-\sum _{H}p(y,x,h)p(h|t).\end{aligned}}}$

En la práctica, esta formulación es inviable ya que H es potencialmente infinito y muchos algoritmos desconocen el cálculo. Por tanto, la dureza de la instancia se puede aproximar utilizando un subconjunto diverso : ${\displaystyle p(h|t)}$ ${\displaystyle L\subset H}$

${\displaystyle IH_{L}(\langle x,y\rangle )=1-{\frac {1}{|L|}}\sum _{j=1}^{|L|}p(y|x,g_{j}(t,\alpha ))}$

¿Dónde está la hipótesis inducida por el algoritmo de aprendizaje entrenado en el conjunto de entrenamiento t con hiperparámetros ? La dureza de la instancia proporciona un valor continuo para determinar si una instancia es atípica. ${\displaystyle g_{j}(t,\alpha )}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Trabajar con valores atípicos

La elección de cómo abordar un valor atípico debería depender de la causa. Algunos estimadores son muy sensibles a los valores atípicos, en particular la estimación de matrices de covarianza .

Retención

Incluso cuando un modelo de distribución normal es apropiado para los datos que se analizan, se esperan valores atípicos para tamaños de muestra grandes y no deben descartarse automáticamente si ese es el caso. ^[26] En su lugar, se debe utilizar un método que sea robusto frente a valores atípicos para modelar o analizar datos con valores atípicos que ocurren naturalmente. ^[26]

Exclusión

Al decidir si se elimina un valor atípico, se debe considerar la causa. Como se mencionó anteriormente, si el origen del valor atípico puede atribuirse a un error experimental, o si se puede determinar de otro modo que el punto de datos atípico es erróneo, generalmente se recomienda eliminarlo. ^{[26] [27]} Sin embargo, es más deseable corregir el valor erróneo, si es posible.

Por otro lado, eliminar un punto de datos únicamente porque es un valor atípico es una práctica controvertida, a menudo mal vista por muchos científicos e instructores de ciencias, ya que normalmente invalida los resultados estadísticos. ^{[26] [27]} Si bien los criterios matemáticos proporcionan un método objetivo y cuantitativo para el rechazo de datos, no hacen que la práctica sea más científica o metodológicamente sólida, especialmente en conjuntos pequeños o donde no se puede asumir una distribución normal. El rechazo de valores atípicos es más aceptable en áreas de práctica donde se conocen con seguridad el modelo subyacente del proceso que se está midiendo y la distribución habitual del error de medición.

Los dos enfoques comunes para excluir valores atípicos son el truncamiento (o recorte) y Winsorising . El recorte descarta los valores atípicos, mientras que Winsorising reemplaza los valores atípicos con los datos "no sospechosos" más cercanos. ^[28] La exclusión también puede ser una consecuencia del proceso de medición, como cuando un experimento no es completamente capaz de medir valores tan extremos, lo que resulta en datos censurados . ^[29]

En problemas de regresión , un enfoque alternativo puede ser excluir únicamente los puntos que exhiban un gran grado de influencia en los coeficientes estimados, utilizando una medida como la distancia de Cook . ^[30]

Si uno o varios puntos de datos se excluyen del análisis de datos , esto debe indicarse claramente en cualquier informe posterior.

Distribuciones no normales

Se debe considerar la posibilidad de que la distribución subyacente de los datos no sea aproximadamente normal y tenga " colas gruesas ". Por ejemplo, cuando se toma un muestreo de una distribución de Cauchy , ^[31] la varianza de la muestra aumenta con el tamaño de la muestra, la media de la muestra no converge a medida que aumenta el tamaño de la muestra y se esperan valores atípicos a tasas mucho mayores que en una distribución normal. Incluso una ligera diferencia en la gordura de las colas puede suponer una gran diferencia en el número esperado de valores extremos.

Incertidumbres sobre la membresía del conjunto

Un enfoque de membresía de conjuntos considera que la incertidumbre correspondiente a la _i - ésima medición de un vector aleatorio desconocido x está representada por un conjunto Xi (en lugar de una función de densidad de probabilidad). Si no se producen valores atípicos, x debería pertenecer a la intersección de todos los X _i . Cuando ocurren valores atípicos, esta intersección podría estar vacía, y deberíamos relajar un pequeño número _de conjuntos Xi (lo más pequeño posible) para evitar cualquier inconsistencia. ^[32] Esto se puede hacer usando la noción de q - intersección relajada . Como se ilustra en la figura, la intersección q -relajada corresponde al conjunto de todos los x que pertenecen a todos los conjuntos excepto q de ellos. Se podría sospechar que los conjuntos X _i que no intersectan la intersección q -relajada son valores atípicos.

Figura 5. q -intersección relajada de 6 conjuntos para q =2 (rojo), q =3 (verde), q = 4 (azul), q = 5 (amarillo).

Modelos alternativos

En los casos en que se conozca la causa de los valores atípicos, es posible incorporar este efecto en la estructura del modelo, por ejemplo, utilizando un modelo jerárquico de Bayes o un modelo mixto . ^{[33] [34]}

Ver también

• Anomalía (ciencias naturales)
• Detección de novedad
• El cuarteto de Anscombe
• Transformación de datos (estadísticas)
• Teoría del valor extremo
• Observación influyente
• Consenso de muestra aleatoria
• Regresión robusta
• Residual estudentizado
• Winsorizar

Referencias

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enlaces externos

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• Prueba de Grubbs descrita por el manual del NIST