En estadística descriptiva , el rango intercuartil ( RIQ ) es una medida de dispersión estadística , que es la dispersión de los datos. [1] El IQR también puede denominarse margen medio , 50% medio , cuarto margen o margen H. Se define como la diferencia entre los percentiles 75 y 25 de los datos. [2] [3] [4] Para calcular el IQR, el conjunto de datos se divide en cuartiles , o cuatro partes pares ordenadas por rango mediante interpolación lineal. [1] Estos cuartiles se denotan por Q 1 (también llamado cuartil inferior), Q 2 (la mediana ) y Q 3 (también llamado cuartil superior). El cuartil inferior corresponde al percentil 25 y el cuartil superior corresponde al percentil 75, por lo que IQR = Q 3 − Q 1 [1] .
El IQR es un ejemplo de estimador recortado , definido como el rango recortado del 25% , que mejora la precisión de las estadísticas del conjunto de datos al eliminar los puntos periféricos de menor contribución. [5] También se utiliza como una medida sólida de escala. [5] Puede visualizarse claramente mediante el cuadro en un diagrama de caja . [1]
A diferencia del rango total , el rango intercuartil tiene un punto de ruptura del 25% [6] y, por lo tanto, a menudo se prefiere al rango total.
El IQR se utiliza para construir diagramas de caja , representaciones gráficas simples de una distribución de probabilidad .
El IQR se utiliza en las empresas como marcador de sus tasas de ingresos .
Para una distribución simétrica (donde la mediana es igual a la bisagra media , el promedio del primer y tercer cuartil), la mitad del IQR es igual a la desviación absoluta de la mediana (MAD).
La mediana es la medida correspondiente de tendencia central .
El IQR se puede utilizar para identificar valores atípicos (ver más abajo). El IQR también puede indicar la asimetría del conjunto de datos. [1]
La desviación cuartil o rango semiintercuartil se define como la mitad del IQR. [7]
El IQR de un conjunto de valores se calcula como la diferencia entre los cuartiles superior e inferior, Q 3 y Q 1 . Cada cuartil es una mediana [8] calculada de la siguiente manera.
Dado un número de valores par 2n o impar 2n+1
El segundo cuartil Q 2 es igual a la mediana ordinaria. [8]
La siguiente tabla tiene 13 filas y sigue las reglas para el número impar de entradas.
Para los datos de esta tabla, el rango intercuartílico es IQR = Q 3 − Q 1 = 119 - 31 = 88.
+−−−−−+−+ * |------------| | |------------| +−−−−−+−+ +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ número línea 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Para el conjunto de datos en este diagrama de caja :
Esto significa que los bigotes de 1,5*IQR pueden tener longitudes desiguales. La mediana, el mínimo, el máximo y el primer y tercer cuartil constituyen el resumen de cinco números . [9]
El rango intercuartil de una distribución continua se puede calcular integrando la función de densidad de probabilidad (que produce la función de distribución acumulativa ; cualquier otro medio para calcular la CDF también funcionará). El cuartil inferior, Q 1 , es un número tal que la integral de la PDF de -∞ a Q 1 es igual a 0,25, mientras que el cuartil superior, Q 3 , es un número tal que la integral de -∞ a Q 3 es igual a 0,75; en términos del CDF, los cuartiles se pueden definir de la siguiente manera:
donde CDF −1 es la función cuantil .
A continuación se muestran el rango intercuartil y la mediana de algunas distribuciones comunes.
El IQR, la media y la desviación estándar de una población P se pueden utilizar en una prueba simple para determinar si P tiene una distribución normal o es gaussiana. Si P tiene una distribución normal, entonces la puntuación estándar del primer cuartil, z 1 , es −0,67, y la puntuación estándar del tercer cuartil, z 3 , es +0,67. Dada la media = y la desviación estándar = σ para P , si P tiene una distribución normal, el primer cuartil
y el tercer cuartil
Si los valores reales del primer o tercer cuartil difieren sustancialmente [ se necesita aclaración ] de los valores calculados, P no tiene una distribución normal. Sin embargo, una distribución normal puede verse alterada trivialmente para mantener sus estándares Q1 y Q2. puntuaciones de 0,67 y −0,67 y no estar distribuidas normalmente (por lo que la prueba anterior produciría un falso positivo). Aquí se indicaría una mejor prueba de normalidad, como el gráfico Q-Q .
El rango intercuartil se utiliza a menudo para encontrar valores atípicos en los datos. Los valores atípicos aquí se definen como observaciones que caen por debajo de Q1 − 1,5 RI o por encima de Q3 + 1,5 RI. En un diagrama de caja, el valor más alto y más bajo que ocurre dentro de este límite se indican mediante los bigotes de la caja (frecuentemente con una barra adicional al final del bigote) y cualquier valor atípico como puntos individuales.
Medios relacionados con el rango intercuartil en Wikimedia Commons
