Polinomios de Gegenbauer

Sucesión polinómica

En matemáticas , polinomios de Gegenbauer o polinomios ultrasféricos C^(α)
_n( x ) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] respecto de la función de peso (1 −  x ² ) ^{α –1/2} . Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev , y son casos especiales de los polinomios de Jacobi . Reciben su nombre en honor a Leopold Gegenbauer .

Caracterizaciones

• 
  Gráfico del polinomio de Gegenbauer C n^(m)(x) con n=10 y m=1 en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
• 
  Polinomios de Gegenbauer con α =1
• 
  Polinomios de Gegenbauer con α =2
• 
  Polinomios de Gegenbauer con α =3
• 
  Una animación que muestra los polinomios en el plano xα para los primeros 4 valores de n .

Hay una variedad de caracterizaciones disponibles de los polinomios de Gegenbauer.

• Los polinomios se pueden definir en términos de su función generadora (Stein y Weiss 1971, §IV.2):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• Los polinomios satisfacen la relación de recurrencia (Suetin 2001):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer (Suetin 2001):

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

Cuando α  = 1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre .

Cuando α  = 1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshev y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshev de segundo tipo. ^[1]

• Se dan como series hipergeométricas gaussianas en ciertos casos en que la serie es de hecho finita:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

(Abramowitz y Stegun pág. 561). Aquí (2α) _n es el factorial ascendente . Explícitamente,

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

A partir de esto también es fácil obtener el valor en el argumento unitario:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• Son casos especiales de los polinomios de Jacobi (Suetin 2001):

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

en el que representa el factorial ascendente de . ${\displaystyle (\theta )_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

Por lo tanto, también tenemos la fórmula de Rodrigues.

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Ortogonalidad y normalización

Para un α fijo > -1/2 , los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun p. 774)

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

Es decir, para n  ≠  m ,

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

Están normalizados por

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Aplicaciones

Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y el análisis armónico . El potencial newtoniano en R ⁿ tiene la expansión, válida con α = ( n  − 2)/2,

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}$

Cuando n  = 3, se obtiene la expansión polinómica de Legendre del potencial gravitatorio . Existen expresiones similares para la expansión del núcleo de Poisson en una bola (Stein y Weiss 1971).

De ello se deduce que las magnitudes son armónicos esféricos , cuando se consideran únicamente como una función de x . De hecho, son exactamente los armónicos esféricos zonales , hasta una constante normalizadora. ${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas .

La desigualdad de Askey-Gasper se lee

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

En los métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales, si una función se expande en la base de polinomios de Chebyshev y su derivada se representa en una base Gegenbauer/ultrasférica, entonces el operador de derivada se convierte en una matriz diagonal , lo que conduce a métodos de matriz de bandas rápidos para problemas grandes. ^[2]

Véase también

• Polinomios de Rogers , el análogo q de los polinomios de Gegenbauer
• Polinomios de Chebyshev
• Polinomios de Romanovski

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios ultrasféricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

Específico

1. Arfken, Weber y Harris (2013) "Métodos matemáticos para físicos", 7.ª edición; cap. 18.4
2. Olver, Sheehan; Townsend, Alex (enero de 2013). "Un método espectral rápido y bien condicionado". SIAM Review . 55 (3): 462–489. arXiv : 1202.1347 . doi :10.1137/120865458. eISSN  1095-7200. ISSN  0036-1445.