Número poligonal centrado

Clase de serie de números figurados, cada uno con un punto central.

Los números poligonales centrados son una clase de series de números figurados , cada uno formado por un punto central, rodeado por capas poligonales de puntos con un número constante de lados. Cada lado de una capa poligonal contiene un punto más que cada lado de la capa anterior; entonces, a partir de la segunda capa poligonal, cada capa de un número k -gonal centrado contiene k más puntos que la capa anterior.

Ejemplos

Los números octogonales centrados en la prueba son cuadrados impares

Cada número k -gonal centrado en la serie es k veces el número triangular anterior , más 1. Esto se puede formalizar mediante la expresión , donde n es el rango de la serie, comenzando con 0 para el 1 inicial. Por ejemplo, cada número cuadrado centrado en la serie es cuatro veces el número triangular anterior, más 1. Esto se puede formalizar mediante la expresión . ${\displaystyle {\frac {kn(n+1)}{2}}+1}$ ${\displaystyle {\frac {4n(n+1)}{2}}+1}$

Estas series consisten en la

• números triangulares centrados 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... ( OEIS : A005448 ),
• números cuadrados centrados 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... ( OEIS : A001844 ),
• números pentagonales centrados 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... ( OEIS : A005891 ),
• números hexagonales centrados 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... ( OEIS : A003215 ), que son exactamente la diferencia de cubos consecutivos, es decir n ³ − ( norte - 1) ³ ,
• números heptagonales centrados 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... ( OEIS : A069099 ),
• números octogonales centrados 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529,... ( OEIS : A016754 ), que son exactamente los cuadrados impares ,
• números nonagonales centrados 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... ( OEIS : A060544 ), que incluyen todos los números pares perfectos excepto 6,
• números decagonales centrados 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... ( OEIS : A062786 ),
• números endecagonales centrados 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... ( OEIS : A069125 ),
• números dodecagonales centrados 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... ( OEIS : A003154 ), que también son los números de estrella ,

etcétera.

Los siguientes diagramas muestran algunos ejemplos de números poligonales centrados y su construcción geométrica. Compara estos diagramas con los diagramas de Número poligonal .

Números cuadrados centrados

Números hexagonales centrados

Fórmulas

Como se puede ver en los diagramas anteriores, el n -ésimo número k -gonal centrado se puede obtener colocando k copias del ( n -1)ésimo número triangular alrededor de un punto central; por lo tanto, el n- ésimo número k -gonal centrado es igual a

${\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}$

La diferencia del n -ésimo y el ( n +1) -ésimo número k -gonal centrado consecutivo es k (2 n +1).

El n -ésimo número k -gonal centrado es igual al n -ésimo número k -gonal regular más ( n -1) ² .

Al igual que es el caso de los números poligonales regulares, el primer número k -gonal centrado es 1. Por lo tanto, para cualquier k , 1 es tanto k -gonal como k -gonal centrado . El siguiente número que será k -gonal y k -gonal centrado se puede encontrar usando la fórmula:

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}$

lo que nos dice que 10 es a la vez triangular y triangular centrado, 25 es a la vez cuadrado y cuadrado centrado, etc.

Mientras que un número primo p no puede ser un número poligonal (excepto en el caso trivial, es decir, cada p es el segundo número p -gonal), muchos números poligonales centrados son primos. De hecho, si k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, entonces hay infinitos números k -gonales centrados que son primos (asumiendo la conjetura de Bunyakovsky ). Dado que todos los números octogonales centrados también son números cuadrados , y todos los números nonagonales centrados también son números triangulares (y no iguales a 3), ambos no pueden ser números primos.

Suma de recíprocos

La suma de recíprocos para los números k -gonales centrados es ^[1]

${\displaystyle {\frac {2\pi }{k{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}}}\tan \left({\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}\right)}$, si k ≠ 8

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}$, si k = 8

Referencias

1. números poligonales centrados en OEIS wiki, contenido "Tabla de fórmulas y valores relacionados"

• Neil Sloane y Simon Plouffe (1995).La enciclopedia de secuencias enteras. San Diego: Prensa académica.: Figura M3826
• Weisstein, Eric W. "Número poligonal centrado". MundoMatemático .
• F. Tapson (1999). Diccionario de estudio de matemáticas de Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.