Geopotencial

Energía relacionada con la gravedad de la Tierra.

El geopotencial es el potencial del campo gravitatorio de la Tierra . Por comodidad, se suele definir como el negativo de la energía potencial por unidad de masa , de modo que el vector de gravedad se obtiene como el gradiente del geopotencial, sin la negación. Además del potencial real (el geopotencial), también se puede definir un potencial normal teórico y su diferencia, el potencial perturbador .

Conceptos

Para aplicaciones geofísicas , la gravedad se distingue de la gravitación . La gravedad se define como la fuerza resultante de la gravitación y la fuerza centrífuga causada por la rotación de la Tierra . Asimismo, los potenciales escalares respectivos se pueden sumar para formar un potencial efectivo llamado geopotencial. Las superficies de geopotencial constante o isosuperficies del geopotencial se denominan superficies equigeopotenciales (a veces abreviadas como geop ), ^[1] también conocidas como superficies de nivel geopotencial , superficies equipotenciales o simplemente superficies de nivel . ^[2] ${\displaystyle W}$

La superficie media global del mar está cerca de un equigeopotencial llamado geoide . ^[3] La figura (no a escala) ilustra cómo la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga se suman para formar una fuerza ortogonal al geoide. En una latitud de 50 grados, el desfase entre la fuerza gravitatoria (línea roja en la figura) y la vertical local (línea verde en la figura) es de hecho 0,098 grados. Para un punto de masa (atmósfera) en movimiento, la fuerza centrífuga ya no coincide con la gravitatoria y la suma de vectores no es exactamente ortogonal a la superficie de la Tierra. Esta es la causa del efecto Coriolis para el movimiento atmosférico.

Equilibrio entre la fuerza gravitacional y centrífuga en la superficie de la Tierra

El geoide es una superficie suavemente ondulada debido a la distribución irregular de la masa en el interior de la Tierra; sin embargo, se puede aproximar mediante un elipsoide de revolución llamado elipsoide de referencia . El elipsoide de referencia más utilizado actualmente, el del Sistema de Referencia Geodésica 1980 ( GRS80 ), aproxima el geoide con un margen de error de poco más de ±100 m. Se puede construir un modelo geopotencial simple que tenga como una de sus superficies equipotenciales este elipsoide de referencia, con el mismo potencial modelo que el potencial verdadero del geoide; este modelo se denomina potencial normal . La diferencia se denomina potencial perturbador . Muchas cantidades observables del campo gravitatorio, como las anomalías gravitatorias y las desviaciones de la vertical ( plomada ), se pueden expresar en este potencial perturbador. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle T=W-U}$

Fondo

Diagrama de dos masas que se atraen entre sí

La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza gravitacional F que actúa entre dos masas puntuales m ₁ y m ₂ con una separación del centro de masas r está dada por

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

donde G es la constante gravitacional y r̂ es el vector unitario radial . Para un objeto no puntual con distribución de masa continua, cada elemento de masa dm puede tratarse como masa distribuida sobre un volumen pequeño, por lo que la integral de volumen sobre la extensión del objeto 2 da:

con potencial gravitatorio correspondiente

donde ρ ₂ = ρ( x , y , z ) es la densidad de masa en el elemento de volumen y de la dirección desde el elemento de volumen hasta el punto de masa 1. es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. ${\displaystyle u}$

El campo gravitacional de la Tierra se puede derivar de un campo de potencial gravitacional ( geopotencial ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} }$

que expresa el vector de aceleración de la gravedad como el gradiente de , el potencial de la gravedad. La tríada vectorial es el conjunto ortonormal de vectores base en el espacio, que apuntan a lo largo de los ejes de coordenadas. Aquí, , y son coordenadas geocéntricas . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Formulación

Tanto la gravedad como su potencial contienen una contribución de la pseudofuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra. Podemos escribir

${\displaystyle W=V+\Phi \,}$

¿Dónde está el potencial del campo gravitacional , el del campo de gravedad y el del campo centrífugo ? ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$

Potencial centrífugo

La fuerza centrífuga (por unidad de masa, es decir, aceleración) viene dada por

${\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} }$

es el vector que apunta al punto considerado directamente desde el eje de rotación de la Tierra. Se puede demostrar que este pseudocampo de fuerza, en un sistema de referencia que gira en co-rotación con la Tierra, tiene un potencial asociado en términos de la velocidad de rotación de la Tierra, ω:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).}$

Esto se puede verificar tomando el operador de gradiente ( ) de esta expresión. ${\displaystyle \nabla }$

El potencial centrífugo también puede expresarse en términos de latitud esférica φ y radio geocéntrico r :

${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\phi }$

Potencial normal

La Tierra es aproximadamente un elipsoide , por lo que es preciso aproximar el geopotencial mediante un campo que tenga como superficie equipotencial el elipsoide de referencia de la Tierra.

Al igual que el campo geopotencial real W , el campo normal U (que no debe confundirse con la energía potencial , también U ) se construye como una suma de dos partes:

${\displaystyle U=\Psi +\Phi }$

donde es el potencial gravitacional normal y es el potencial centrífugo. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Existe una expresión exacta en forma cerrada en términos de coordenadas elipsoidales-armónicas (que no deben confundirse con coordenadas geodésicas ). ^[4] También se puede expresar como una expansión en serie en términos de coordenadas esféricas; truncando la serie se obtiene: ^[4]

${\displaystyle \Psi \approx (GM/r)(1-(a/r)^{2}J_{2}((3/2)\cos ^{2}(\phi )-1/2))}$

donde a es el semieje mayor y J ₂ es el segundo factor de forma dinámico . ^[4]

El elipsoide de referencia terrestre más reciente es el GRS80 , o Sistema de Referencia Geodésica 1980, que el sistema de Posicionamiento Global utiliza como referencia. Sus parámetros geométricos son: semieje mayor a  = 6378137,0 m, y aplanamiento f  = 1/298,257222101. Si además requerimos que la masa encerrada M sea igual a la masa conocida de la Tierra (incluida la atmósfera), como se implica en el parámetro gravitacional estándar , GM = 3986005 × 10 ⁸ m ³ ·s ⁻² , obtenemos para el potencial en el elipsoide de referencia:

${\displaystyle U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}}$

Obviamente, este valor depende del supuesto de que el potencial tiende asintóticamente a cero en el infinito ( ), como es habitual en física. A efectos prácticos, tiene más sentido elegir el punto cero de la gravedad normal como el del elipsoide de referencia y referir los potenciales de otros puntos a este. ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

Potencial perturbador

Una vez que se ha construido un campo geopotencial limpio y uniforme que coincida con el elipsoide de referencia GRS80 conocido y con una superficie equipotencial (a este campo lo llamamos potencial normal ), podemos restarlo del potencial real (medido) de la Tierra real. El resultado se define como T , el potencial perturbador : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T=W-U}$

El potencial perturbador T es numéricamente mucho más pequeño que U o W , y captura las variaciones detalladas y complejas del verdadero campo gravitacional de la Tierra realmente existente de punto a punto, a diferencia de la tendencia global general capturada por el elipsoide matemático suave del potencial normal.

Número geopotencial

En el trabajo terrestre práctico, por ejemplo, nivelación , se utiliza una versión alternativa del geopotencial llamada número geopotencial , que se calcula desde el geoide hacia arriba: donde es el geopotencial del geoide. ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=-\left(W-W_{0}\right),}$$ ${\displaystyle W_{0}}$

Caso simple: esfera simétrica no giratoria

En el caso especial de una esfera con una densidad de masa esféricamente simétrica, entonces ρ = ρ( s ); es decir, la densidad depende solo de la distancia radial

${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,.}$

Estas integrales se pueden evaluar analíticamente. El teorema de capas dice que en este caso:

con potencial correspondiente

donde M = ∫ _V ρ( s ) dxdydz es la masa total de la esfera.

Para los fines de la mecánica orbital de los satélites , el geopotencial se describe típicamente mediante una expansión en serie en armónicos esféricos ( representación espectral ). En este contexto, el geopotencial se toma como el potencial del campo gravitacional de la Tierra, es decir, dejando de lado el potencial centrífugo. Resolviendo el geopotencial en el caso simple de una esfera no giratoria, en unidades de [m ² /s ² ] o [J/kg]: ^[5] $${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz}$$ $${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}\left[{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\right]dz}$$

Integrarse para llegar donde: $${\displaystyle \Psi =Gm\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right]}$$

• G =6,673 × 10 ⁻¹¹  Nm ² /kg ² es la constante gravitacional,
• m =5,975 × 10 ²⁴  kg es la masa de la tierra,
• a =6,378 × 10 ⁶  m es el radio medio de la Tierra,
• z es la altura geométrica en metros

Véase también

• Altura dinámica
• Geoide
• Altura geopotencial
• Modelo geopotencial
• Gravedad normal
• Geodesia física

Referencias

1. Hooijberg, M. (2007). Geodesia geométrica: uso de la información y la tecnología informática. Springer Berlin Heidelberg. pág. 9. ISBN 978-3-540-68225-7. Consultado el 11 de septiembre de 2023 .
2. "Geopotencial". ametsoc.com . Consultado el 14 de abril de 2023 .
3. Heiskanen, Weikko Aleksanteri ; Moritz, Helmut (1967). Geodesia física . WH Freeman . ISBN 0-7167-0233-9.
4. Torge, Geodesia. 3ª ed. 2001.
5. Holton, James R. (2004). Introducción a la meteorología dinámica (4.ª ed.). Burlington: Elsevier . ISBN 0-12-354015-1.