Cuaternión dual

Álgebra de ocho dimensiones sobre los números reales

Placa en el puente Broom (Dublín) que conmemora la invención de los cuaterniones por parte de Hamilton

En matemáticas , los cuaterniones duales son un álgebra real de 8 dimensiones isomorfa al producto tensorial de los cuaterniones y los números duales . Por lo tanto, se pueden construir de la misma manera que los cuaterniones, excepto que se utilizan números duales en lugar de números reales como coeficientes. Un cuaternión dual se puede representar en la forma A + ε B , donde A y B son cuaterniones ordinarios y ε es la unidad dual, que satisface ε ² = 0 y conmuta con cada elemento del álgebra. A diferencia de los cuaterniones, los cuaterniones duales no forman un álgebra de división .

En mecánica , los cuaterniones duales se aplican como un sistema numérico para representar transformaciones rígidas en tres dimensiones. ^[1] Dado que el espacio de cuaterniones duales es de 8 dimensiones y una transformación rígida tiene seis grados reales de libertad, tres para traslaciones y tres para rotaciones, en esta aplicación se utilizan cuaterniones duales que obedecen a dos restricciones algebraicas. Dado que los cuaterniones unitarios están sujetos a dos restricciones algebraicas, los cuaterniones unitarios son estándar para representar transformaciones rígidas. ^[2]

De manera similar a la forma en que las rotaciones en el espacio 3D pueden representarse mediante cuaterniones de longitud unitaria, los movimientos rígidos en el espacio 3D pueden representarse mediante cuaterniones duales de longitud unitaria. Este hecho se utiliza en cinemática teórica (véase McCarthy ^[3] ), y en aplicaciones a gráficos por ordenador en 3D , ^[4] robótica ^{[5] [6]} y visión artificial . ^[7] Los polinomios con coeficientes dados por cuaterniones duales (norma real distinta de cero) también se han utilizado en el contexto del diseño de vínculos mecánicos . ^{[8] [9]}

Historia

WR Hamilton introdujo los cuaterniones ^{[10] [11]} en 1843, y en 1873 WK Clifford obtuvo una generalización amplia de estos números que llamó bicuaterniones , ^{[12] [13]} que es un ejemplo de lo que ahora se llama álgebra de Clifford . ^[3]

En 1898, Alexander McAulay utilizó Ω con Ω ² = 0 para generar el álgebra de cuaterniones duales. ^[14] Sin embargo, su terminología de "octoniones" no perduró ya que los octoniones actuales son otra álgebra.

En 1891, Eduard Study se dio cuenta de que esta álgebra asociativa era ideal para describir el grupo de movimientos del espacio tridimensional . Desarrolló aún más la idea en Geometrie der Dynamen en 1901. ^[15] BL van der Waerden llamó a la estructura "biquaternions de Study", una de las tres álgebras de ocho dimensiones conocidas como biquaternions .

En 1895, el matemático ruso Aleksandr Kotelnikov desarrolló vectores duales y cuaterniones duales para su uso en el estudio de la mecánica. ^[16]

Fórmulas

Para describir operaciones con cuaterniones duales, es útil considerar primero los cuaterniones . ^[17]

Un cuaternión es una combinación lineal de los elementos base 1, i , j y k . La regla del producto de Hamilton para i , j y k suele escribirse como

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Calcule i ( ijk ) = − jk = − i , para obtener jk = i , y ( ijk ) k = − ij = − k o ij = k . Ahora bien, como j ( jk ) = ji = − k , vemos que este producto produce ij = − ji , que vincula los cuaterniones con las propiedades de los determinantes.

Una forma conveniente de trabajar con el producto de cuaterniones es escribir un cuaternión como la suma de un escalar y un vector (estrictamente hablando, un bivector ), es decir A = a ₀ + A , donde a ₀ es un número real y A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k es un vector tridimensional. Las operaciones de punto y cruz de vectores ahora se pueden utilizar para definir el producto de cuaterniones de A = a ₀ + A y C = c ₀ + C como

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Un cuaternión dual se describe generalmente como un cuaternión con números duales como coeficientes. Un número dual es un par ordenado â = ( a , b ) . Dos números duales se suman por componentes y se multiplican por la regla â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Los números duales se escriben a menudo en la forma â = a + ε b , donde ε es la unidad dual que conmuta con i , j , k y tiene la propiedad ε ² = 0 .

El resultado es que un cuaternión dual puede escribirse como un par ordenado de cuaterniones ( A , B ) . Dos cuaterniones duales se suman por componentes y se multiplican por la regla,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Es conveniente escribir un cuaternión dual como la suma de un escalar dual y un vector dual, Â = â ₀ + A , donde â ₀ = ( a , b ) y A = ( A , B ) es el vector dual que define un tornillo . Esta notación nos permite escribir el producto de dos cuaterniones duales como

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Suma

La adición de cuaterniones duales se define por componentes de modo que, dado,

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1}\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,}$

y

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1}\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,}$

entonces

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {C}}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+(a_{1}+c_{1})i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1})\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,}$

Multiplicación

La multiplicación de dos cuaterniones duales se deduce de las reglas de multiplicación para las unidades de cuaternión i, j, k y de la multiplicación conmutativa por la unidad dual ε. En particular, dado

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,}$

y

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,}$

entonces

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon (AD+BC).}$

Tenga en cuenta que no existe ningún término BD , porque la definición de números duales requiere que ε ² = 0 .

Esto nos da la tabla de multiplicar (note que el orden de multiplicación es fila por columna):

Conjugado

El conjugado de un cuaternión dual es la extensión del conjugado de un cuaternión, es decir

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!}$

Al igual que con los cuaterniones, el conjugado del producto de cuaterniones duales, Ĝ = ÂĈ , es el producto de sus conjugados en orden inverso,

${\displaystyle {\hat {G}}^{*}=({\hat {A}}{\hat {C}})^{*}={\hat {C}}^{*}{\hat {A}}^{*}.}$

Es útil introducir las funciones Sc(∗) y Vec(∗) que seleccionan las partes escalares y vectoriales de un cuaternión, o las partes duales escalares y vectoriales de un cuaternión dual. En particular, si  = â ₀ + A , entonces

${\displaystyle {\mbox{Sc}}({\hat {A}})={\hat {a}}_{0},{\mbox{Vec}}({\hat {A}})={\mathsf {A}}.}$

Esto permite la definición del conjugado de  como

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}={\mbox{Sc}}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}}({\hat {A}}).}$

o,

${\displaystyle ({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})^{*}={\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}}.}$

El producto de un cuaternión dual con su conjugado da como resultado

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.}$

Este es un escalar dual que es la magnitud al cuadrado del cuaternión dual.

Conjugado de números duales

Un segundo tipo de conjugado de un cuaternión dual se da tomando el conjugado del número dual, dado por

${\displaystyle {\overline {\hat {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!}$

Los conjugados de cuaternión y número dual se pueden combinar en una tercera forma de conjugado dada por

${\displaystyle {\overline {{\hat {A}}^{*}}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}.\!}$

En el contexto de los cuaterniones duales, el término "conjugado" puede usarse para significar el conjugado del cuaternión, el conjugado del número dual o ambos.

Norma

La norma de un cuaternión dual | Â | se calcula utilizando el conjugado para calcular | Â | = √ Â Â ^* . Este es un número dual llamado magnitud del cuaternión dual. Los cuaterniones duales con | Â | = 1 son cuaterniones duales unitarios .

Los cuaterniones duales de magnitud 1 se utilizan para representar desplazamientos euclidianos espaciales. Nótese que el requisito de que * ⁼ 1 introduce dos restricciones algebraicas en los componentes de , es decir

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*},AB^{*}+BA^{*})=(1,0).}$

La primera de estas restricciones implica que tiene magnitud 1, mientras que la segunda restricción implica que y son ortogonales. ${\displaystyle AA^{*}=1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AB^{*}+BA^{*}=0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Inverso

Si p + ε q es un cuaternión dual, y p no es cero, entonces el cuaternión dual inverso está dado por

p ⁻¹ (1 − ε q p ⁻¹ ).

Por lo tanto, los elementos del subespacio { ε q : q ∈ H } no tienen inversas. Este subespacio se denomina ideal en la teoría de anillos. Resulta ser el único ideal máximo del anillo de números duales.

El grupo de unidades del anillo de números duales consiste entonces en números que no están en el ideal. Los números duales forman un anillo local ya que existe un ideal máximo único. El grupo de unidades es un grupo de Lie y puede estudiarse utilizando la función exponencial . Los cuaterniones duales se han utilizado para mostrar transformaciones en el grupo euclidiano . Un elemento típico puede escribirse como una transformación de tornillo .

Cuaterniones duales y desplazamientos espaciales

Un beneficio de la formulación de cuaternión dual de la composición de dos desplazamientos espaciales D _B  = ([ R _B ], b ) y D _A  = ([ R _A ], a ) es que el cuaternión dual resultante produce directamente el eje del tornillo y el ángulo dual del desplazamiento compuesto D _C  =  D _B D _A .

En general, el cuaternión dual asociado a un desplazamiento espacial D  = ([ A ],  d ) se construye a partir de su eje de giro S  = ( S ,  V ) y el ángulo dual ( φ ,  d ) donde φ es la rotación alrededor y d el deslizamiento a lo largo de este eje, que define el desplazamiento  D . El cuaternión dual asociado viene dado por,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Sea la composición del desplazamiento D _B con D _A el desplazamiento D _C  =  D _B D _A . El eje del tornillo y el ángulo dual de D _C se obtienen a partir del producto de los cuaterniones duales de D _A y D _B , dado por

${\displaystyle {\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad {\text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B}}.}$

Es decir, el desplazamiento compuesto D _C =D _B D _A tiene asociado el cuaternión dual dado por

${\displaystyle {\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\right)\left(\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}\right).}$

Amplíe este producto para obtener

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\right).}$

Divida ambos lados de esta ecuación por la identidad

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}$

Para obtener

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de tornillo de un desplazamiento compuesto definido en términos de los ejes de tornillo de los dos desplazamientos. Derivó esta fórmula en 1840. ^[18]

Los tres ejes de tornillo A, B y C forman un triángulo espacial y los ángulos duales en estos vértices entre las normales comunes que forman los lados de este triángulo están directamente relacionados con los ángulos duales de los tres desplazamientos espaciales.

Forma matricial de la multiplicación de cuaterniones duales

La representación matricial del producto de cuaterniones es conveniente para programar cálculos de cuaterniones utilizando álgebra matricial, lo que también es válido para operaciones de cuaterniones duales.

El producto cuaterniones AC es una transformación lineal por el operador A de los componentes del cuaternión C, por lo tanto existe una representación matricial de A operando sobre el vector formado a partir de los componentes de C.

Ensamble los componentes del cuaternión C = c ₀ + C en la matriz C = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Observe que los componentes de la parte vectorial del cuaternión se enumeran primero y el escalar se enumera al final. Esta es una elección arbitraria, pero una vez que se selecciona esta convención, debemos respetarla.

El producto cuaternionario AC ahora se puede representar como el producto matricial

${\displaystyle AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

El producto AC también puede verse como una operación de C sobre los componentes de A, en cuyo caso tenemos

${\displaystyle AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&-C_{3}&C_{2}&C_{1}\\C_{3}&c_{0}&-C_{1}&C_{2}\\-C_{2}&C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

El producto dual de cuaterniones Ĉ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) se puede formular como una operación matricial de la siguiente manera. Ensamble los componentes de Ĉ en la matriz de ocho dimensiones Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), luego Ĉ está dado por el producto matricial de 8x8

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

Como vimos para los cuaterniones, el producto ÂĈ puede verse como la operación de Ĉ sobre el vector de coordenadas Â, lo que significa que ÂĈ también puede formularse como,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-}&0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

Más sobre los desplazamientos espaciales

El cuaternión dual de un desplazamiento D=([A], d ) se puede construir a partir del cuaternión S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S que define la rotación [A] y el cuaternión vectorial construido a partir del vector de traslación d , dado por D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. Usando esta notación, el cuaternión dual para el desplazamiento D=([A], d ) viene dado por

${\displaystyle {\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.}$

Sean las coordenadas de Plücker de una línea en la dirección x a través de un punto p en un cuerpo en movimiento y sus coordenadas en el marco fijo que está en la dirección X a través del punto P dadas por,

${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}=\mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

Entonces, el cuaternión dual del desplazamiento de este cuerpo transforma las coordenadas de Plücker en el marco móvil en coordenadas de Plücker en el marco fijo mediante la fórmula ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.}$

Usando la forma matricial del producto cuaternional dual esto se convierte en,

${\displaystyle {\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.}$

Este cálculo se gestiona fácilmente mediante operaciones matriciales.

Cuaterniones duales y transformaciones homogéneas 4×4

Puede resultar útil, especialmente en el movimiento de cuerpos rígidos, representar los cuaterniones duales unitarios como matrices homogéneas . Como se indicó anteriormente, un cuaternión dual se puede escribir como: donde r y d son ambos cuaterniones. El cuaternión r se conoce como la parte real o rotacional y el cuaternión se conoce como la parte dual o de desplazamiento. ${\displaystyle {\hat {q}}=r+d\varepsilon r}$ ${\displaystyle d}$

La parte de rotación se puede dar por

${\displaystyle r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

donde es el ángulo de rotación respecto a la dirección dada por el vector unitario . La parte de desplazamiento se puede escribir como ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

${\displaystyle d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k}$.

El equivalente de cuaternión dual de un vector 3D es

${\displaystyle {\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}$

y su transformación por está dada por ^[19] ${\displaystyle {\hat {q}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}}$.

Estos cuaterniones duales (o en realidad sus transformaciones en vectores 3D) pueden representarse mediante la matriz de transformación homogénea

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}}$

donde la matriz ortogonal 3×3 está dada por

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x}\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

Para el vector 3D

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}}$

La transformación por T viene dada por

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

Conexión con las álgebras de Clifford

Además de ser el producto tensorial de dos álgebras de Clifford, los cuaterniones y los números duales , los cuaterniones duales tienen otras dos formulaciones en términos de las álgebras de Clifford.

En primer lugar, los cuaterniones duales son isomorfos al álgebra de Clifford generada por 3 elementos anticonmutativos , , con y . Si definimos y , entonces las relaciones que definen los cuaterniones duales están implícitas por estos y viceversa. En segundo lugar, los cuaterniones duales son isomorfos a la parte par del álgebra de Clifford generada por 4 elementos anticonmutativos con ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=-1}$ ${\displaystyle e^{2}=0}$ ${\displaystyle k=ij}$ ${\displaystyle \varepsilon =ek}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Para obtener más detalles, consulte Álgebras de Clifford: cuaterniones duales .

Epónimos

Dado que tanto Eduard Study como William Kingdon Clifford utilizaron y escribieron sobre cuaterniones duales, a veces los autores se refieren a los cuaterniones duales como "bicuaterniones de Study" o "bicuaterniones de Clifford". Este último epónimo también se ha utilizado para referirse a los bicuaterniones divididos . Lea el artículo de Joe Rooney vinculado a continuación para ver la opinión de un partidario de la afirmación de WK Clifford. Dado que las afirmaciones de Clifford y Study están en disputa, es conveniente utilizar la designación actual de cuaternión dual para evitar conflictos.

Véase también

• Teoría del tornillo
• Movimiento racional
• Cuaterniones y rotación espacial
• Conversión entre cuaterniones y ángulos de Euler
• Olinde Rodrigues
• Número complejo dual

Referencias

Notas

1. AT Yang, Aplicación del álgebra de cuaterniones y números duales al análisis de mecanismos espaciales , tesis doctoral, Universidad de Columbia, 1963.
2. Valverde, Alfredo; Tsiotras, Panagiotis (2018). "Marco de trabajo de cuaternión dual para el modelado de sistemas robóticos multicuerpo montados en naves espaciales". Frontiers in Robotics and AI . 5 : 128. doi : 10.3389/frobt.2018.00128 . ISSN  2296-9144. PMC  7805728 . PMID  33501006.
3. McCarthy, JM (1990). Introducción a la cinemática teórica. MIT Press. págs. 62-65. ISBN 9780262132527.
4. Kenwright, Ben. "Cuaterniones duales: de la mecánica clásica a los gráficos por computadora y más allá" (PDF) . Consultado el 24 de diciembre de 2022 .
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6. Vilhena Adorno, Bruno (2017). Modelado y control cinemático de robots basado en álgebra de cuaterniones duales — Parte I: Fundamentos.
7. A. Torsello, E. Rodolà y A. Albarelli, Multiview Registration via Graph Diffusion of Dual Quaternions, Actas de la XXIV Conferencia IEEE sobre Visión por Computador y Reconocimiento de Patrones, pp. 2441-2448, junio de 2011.
8. Li, Zijia; Schröcker, Hans-Peter; Scharler, Daniel F. (7 de septiembre de 2022). "Una caracterización completa de polinomios de movimiento acotado que admiten una factorización con factores lineales". arXiv : 2209.02306 [math.RA].
9. Huczala, D.; Siegele, J.; Thimm, D.; Pfurner, M.; Schröcker, H.-P. (2024). Vínculos racionales: de poses a prototipos impresos en 3D . Avances en cinemática robótica 2024. arXiv : 2403.00558 .
10. WR Hamilton, "Sobre los cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra", Phil. Mag. 18, entregas julio de 1844 – abril de 1850, ed. por DE Wilkins (2000)
11. WR Hamilton, Elementos de cuaterniones, Longmans, Green & Co., Londres, 1866
12. WK Clifford, "Esbozo preliminar de bicuaterniones", Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) págs. 381–395
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15. Estudio de Eduard (1901) Geometrie der Dynamen , Teubner, Leipzig
16. AP Kotelnikov (1895) Cálculo de tornillos y algunas aplicaciones a la geometría y la mecánica , Annal. Imp. Univ. Kazan
17. O. Bottema y B. Roth, Cinemática teórica, North Holland Publ. Co., 1979
18. Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variación des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des cause qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
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Fuentes

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• JM McCarthy (1990) Introducción a la cinemática teórica , págs. 62-5, MIT Press ISBN 0-262-13252-4 . 
• L. Kavan, S. Collins, C. O'Sullivan, J. Zara (2006) Cuaterniones duales para mezcla de transformación rígida, Informe técnico, Trinity College Dublin.
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Departamento de Diseño e Innovación, Universidad Abierta, Londres.
• Joe Rooney (2007) "William Kingdon Clifford", en Marco Ceccarelli, Figuras distinguidas en mecanismos y ciencia de máquinas , Springer.
• Estudio de Eduard (1891) "Von Bewegungen und Umlegung", Mathematische Annalen 39:520.

Lectura adicional

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• Fischer, Ian (1998). Métodos de números duales en cinemática, estática y dinámica . CRC Press. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri y R. Stefanelli (2007) Álgebra lineal y algoritmos numéricos utilizando números duales, publicado en Multibody System Dynamics 18(3):323–349.
• E. Pennestri y PP Valentini, Cuaterniones duales como herramienta para el análisis del movimiento de cuerpos rígidos: un tutorial con una aplicación a la biomecánica, ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, págs. 187–205, 2010
• E. Pennestri y PP Valentini, Algoritmos de álgebra dual lineal y su aplicación a la cinemática, Multibody Dynamics , octubre de 2008, págs. 207-229, doi :10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• Kenwright, Ben (2012). Guía para principiantes sobre cuaterniones duales: qué son, cómo funcionan y cómo utilizarlos para jerarquías de personajes en 3D (PDF) . Conferencia internacional sobre gráficos por computadora, visualización y visión artificial. pp. 1–13.
• DP Chevallier (1996) "Sobre el principio de transferencia en cinemática: sus diversas formas y limitaciones", Mecanismo y Teoría de Máquinas 31(1):57–76.
• MA Gungor (2009) "Movimientos esféricos lorentzianos duales y fórmulas duales de Euler-Savary", European Journal of Mechanics A Solids 28(4):820–6.
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• Blaschke, Wilhelm . Cinemática y cuaterniones . Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.Traducción al inglés de DH Delphenich.

Enlaces externos

• Caja de herramientas de cuaternión dual, una caja de herramientas de Matlab.
• DQrobotics: una biblioteca independiente de código abierto para utilizar cuaterniones duales en el modelado y control de robots.