Aplicaciones de los cuaterniones duales a la geometría 2D

Álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales

En este artículo, analizamos ciertas aplicaciones del álgebra de cuaterniones duales a la geometría 2D. En este momento, el artículo se centra en una subálgebra de 4 dimensiones de los cuaterniones duales que llamaremos cuaterniones planares .

Los cuaterniones planares forman un álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales . ^{[1] [2]} Su aplicación principal es la representación de movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 2D.

A diferencia de la multiplicación de números duales o de números complejos , la de cuaterniones planares no es conmutativa .

Definición

En este artículo, el conjunto de cuaterniones planares se denota como . Un elemento general de tiene la forma donde , , y son números reales; es un número dual que se eleva al cuadrado a cero; y , , y son los elementos base estándar de los cuaterniones . ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

La multiplicación se realiza de la misma forma que con los cuaterniones, pero con la regla adicional de que es nilpotente de índice , es decir, , lo que en algunas circunstancias lo hace comparable a un número infinitesimal . De ello se deduce que los inversos multiplicativos de los cuaterniones planares vienen dados por ${\textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 2}$ ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\textstyle \varepsilon }$ $${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

El conjunto forma una base del espacio vectorial de cuaterniones planares, donde los escalares son números reales. ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$

La magnitud de un cuaternión planar se define como ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

Para aplicaciones en gráficos de computadora, el número se representa comúnmente como la 4- tupla . ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle (A,B,C,D)}$

Representación matricial

Un cuaternión planar tiene la siguiente representación como una matriz compleja 2x2: ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

También se puede representar como una matriz numérica dual 2×2: Las dos representaciones matriciales anteriores están relacionadas con las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Laguerre respectivamente. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$

Terminología

El álgebra que se analiza en este artículo se denomina a veces números complejos duales . Este nombre puede ser engañoso porque sugiere que el álgebra debería adoptar la forma de:

1. Los números duales, pero con entradas de números complejos
2. Los números complejos, pero con entradas de números duales

Existe un álgebra que cumple con cualquiera de las dos descripciones y ambas son equivalentes (esto se debe al hecho de que el producto tensorial de las álgebras es conmutativo hasta el isomorfismo ). Esta álgebra se puede denotar como que utiliza cociente de anillos . El álgebra resultante tiene un producto conmutativo y no se analiza más. ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

Representación de movimientos de cuerpos rígidos

Sea un cuaternión plano de longitud unitaria, es decir, debemos tener que $${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$ $${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

El plano euclidiano puede representarse mediante el conjunto . ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$

Un elemento en representa el punto en el plano euclidiano con coordenadas cartesianas . ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle q}$se puede hacer que actúe sobre los mapas que se dirigen a algún otro punto en . ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle qvq^{-1},}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Pi }$

Tenemos las siguientes (múltiples) formas polares para : ${\displaystyle q}$

1. Cuando , el elemento se puede escribir como que denota una rotación de ángulo alrededor del punto . ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. Cuando , el elemento se puede escribir como que denota una traslación por vector ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i\left({\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon k\right)\\={}&1-{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon k,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}}.}$

Construcción geométrica

Se puede encontrar una construcción basada en principios de los cuaterniones planares observando primero que son un subconjunto de los cuaterniones duales .

Hay dos interpretaciones geométricas de los cuaterniones duales , ambas pueden usarse para derivar la acción de los cuaterniones planares en el plano:

• Como forma de representar los movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 3D , los cuaterniones planos pueden verse como un subconjunto de esos movimientos de cuerpos rígidos. Esto requiere cierta familiaridad con la forma en que los cuaterniones duales actúan en el espacio euclidiano. No describiremos este enfoque aquí, ya que se hace adecuadamente en otros lugares .
• Los cuaterniones duales pueden entenderse como un "engrosamiento infinitesimal" de los cuaterniones. ^{[3] [4] [5]} Recordemos que los cuaterniones pueden usarse para representar rotaciones espaciales 3D , mientras que los números duales pueden usarse para representar " infinitesimales ". La combinación de esas características permite que las rotaciones varíen infinitesimalmente. Sea un plano infinitesimal que se encuentra sobre la esfera unitaria, igual a . Observe que es un subconjunto de la esfera, a pesar de ser plano (esto es gracias al comportamiento de los infinitesimales de números duales). ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Pi }$
  Observe entonces que, como subconjunto de los cuaterniones duales, los cuaterniones planos rotan el plano sobre sí mismo. El efecto que esto tiene sobre depende del valor de en : ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle v\in \Pi }$ ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$
  1. Cuando , el eje de rotación apunta hacia algún punto en , de modo que los puntos en experimentan una rotación alrededor de . ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$
  2. Cuando , el eje de rotación apunta en dirección opuesta al plano, siendo el ángulo de rotación infinitesimal. En este caso, los puntos de experimentan una traslación. ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle \Pi }$

Véase también

• Estudio de Eduard
• Cuaternio
• Número dual
• Cuaternión dual
• Álgebra de Clifford
• Isometría del plano euclidiano
• Transformación afín
• Plano proyectivo
• Coordenadas homogéneas
• Reducción de la presión arterial
• Álgebra geométrica conforme

Referencias

1. Matsuda, Genki; Kaji, Shizuo; Ochiai, Hiroyuki (2014), Anjyo, Ken (ed.), "Números complejos duales anticonmutativos y transformación rígida 2D", Progreso matemático en síntesis de imágenes expresivas I: resultados ampliados y seleccionados del simposio MEIS2013 , Matemáticas para la industria, Springer Japón, págs. 131–138, arXiv : 1601.01754 , doi :10.1007/978-4-431-55007-5_17, ISBN 9784431550075, Número de identificación del sujeto  2173557
2. Gunn C. (2011) Sobre el modelo homogéneo de la geometría euclidiana. En: Dorst L., Lasenby J. (eds.) Guía para el álgebra geométrica en la práctica. Springer, Londres
3. "Líneas en el grupo euclidiano SE(2)". Novedades . 2011-03-06 . Consultado el 2019-05-28 .
4. Estudio, E. (diciembre de 1891). "Von den Bewegungen und Umlegungen". Annalen Matemáticas . 39 (4): 441–565. doi :10.1007/bf01199824. ISSN  0025-5831. S2CID  115457030.
5. Sauer, R. (1939). "Dr. Wilhelm Blaschke, Prof. ad Universität Hamburg, Ebene Kinematik, eine Vorlesung (Hamburger Math. Einzelschriften, 25. Heft, 1938). 56 S. m. 19 Abb. Leipzig-Berlin 1938, Verlag BG Teubner. Preis br. 4M." ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 19 (2): 127. Código bibliográfico : 1939ZaMM...19R.127S. doi :10.1002/zamm.19390190222. ISSN  0044-2267.