Motores térmicos cuánticos y refrigeradores.

Un motor térmico cuántico es un dispositivo que genera energía a partir del flujo de calor entre depósitos fríos y calientes. El mecanismo de funcionamiento del motor puede describirse mediante las leyes de la mecánica cuántica . La primera realización de un motor térmico cuántico fue señalada por Scovil y Schulz-DuBois en 1959, ^[1] mostrando la conexión de eficiencia del motor de Carnot y el máser de 3 niveles . Los refrigeradores cuánticos comparten la estructura de los motores térmicos cuánticos con el propósito de bombear calor de un baño frío a uno caliente consumiendo energía sugerida por primera vez por Geusic, Schulz-DuBois, De Grasse y Scovil. ^[2] Cuando la energía es suministrada por un láser, el proceso se denomina bombeo óptico o enfriamiento por láser , sugerido por Wineland y Hänsch . ^{[3] [4] [5]} Sorprendentemente, los motores térmicos y los refrigeradores pueden funcionar hasta la escala de una sola partícula, lo que justifica la necesidad de una teoría cuántica denominada termodinámica cuántica . ^[6]

El amplificador de 3 niveles como motor térmico cuántico

El amplificador de tres niveles. Los niveles 1 y 3 están acoplados al depósito caliente. Los niveles 1 y 2 están acoplados al depósito de frío. La potencia se obtiene cuando hay inversión poblacional entre los niveles 3 y 2.

El amplificador de tres niveles es la plantilla de un dispositivo cuántico. Funciona empleando un baño frío y caliente para mantener la inversión de población entre dos niveles de energía que se utiliza para amplificar la luz mediante emisión estimulada ^[7] El nivel del estado fundamental ( 1-g ) y el nivel excitado ( 3-h ) están acoplados a un baño caliente de temperatura . La brecha energética es . Cuando la población en los niveles se equilibra ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{h}}=E_{3}-E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{h}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}}$

donde es la constante de Planck y es la constante de Boltzmann . El baño frío de temperatura acopla el suelo ( 1-g ) a un nivel intermedio ( 2-c ) con brecha energética . Cuando los niveles 2-c y 1-g se equilibran, entonces ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle E_{2}-E_{1}=\hbar \omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{c}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}}}$.

El dispositivo funciona como amplificador cuando los niveles ( 3-h ) y ( 2-c ) se acoplan a un campo externo de frecuencia . Para condiciones óptimas de resonancia . La eficiencia del amplificador para convertir calor en potencia es la relación entre el trabajo producido y la entrada de calor: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {\hbar \nu }{\hbar \omega _{\text{h}}}}=1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$.

La amplificación del campo sólo es posible para una ganancia positiva (inversión de población) . Esto equivale a . Insertar esta expresión en la fórmula de eficiencia lleva a: ${\displaystyle G=N_{\text{h}}-N_{\text{c}}\geq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}\geq {\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}$

${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}\leq 1-{\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}=\eta _{\text{c}}}$

¿Dónde está la eficiencia del ciclo de Carnot ? La igualdad se obtiene bajo una condición de ganancia cero . La relación entre el amplificador cuántico y la eficiencia de Carnot fue señalada por primera vez por Scovil y Schultz-DuBois: ^[1] ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$ ${\displaystyle G=0}$

Invertir la operación que conduce el calor del baño frío al baño caliente mediante el consumo de energía constituye un refrigerador . La eficiencia del refrigerador definida como el coeficiente de rendimiento (COP) para el dispositivo invertido es:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\omega _{\text{c}}}{\nu }}\leq {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{c}}}}}$

Tipos

Los dispositivos cuánticos pueden funcionar de forma continua o mediante un ciclo alternativo. Los dispositivos continuos incluyen células solares que convierten la radiación solar en energía eléctrica, termoeléctricos donde la salida es corriente y láseres donde la potencia de salida es luz coherente. El ejemplo principal de un refrigerador continuo es el bombeo óptico y el enfriamiento por láser . ^{[8] [9]} Al igual que los motores alternativos clásicos, los motores térmicos cuánticos también tienen un ciclo que se divide en diferentes carreras. Una carrera es un segmento de tiempo en el que tiene lugar una determinada operación (por ejemplo, termalización o extracción de trabajo). Dos trazos adyacentes no conmutan entre sí. Las máquinas de calor alternativo más comunes son la máquina de cuatro tiempos y la máquina de dos tiempos. Se han sugerido dispositivos alternativos que funcionan mediante el ciclo de Carnot ^{[10] [11]} o el ciclo de Otto . ^[12]

En ambos tipos la descripción cuántica permite obtener la ecuación de movimiento del medio de trabajo y el flujo de calor de los depósitos.

Motor térmico alternativo cuántico y refrigerador

Se han estudiado versiones cuánticas de la mayoría de los ciclos termodinámicos comunes, por ejemplo el ciclo de Carnot , ^{[10] [11] [13]} el ciclo de Stirling ^[14] y el ciclo de Otto . ^{[12] [15]}

El ciclo Otto puede servir como modelo para otros ciclos alternativos.

Ciclo cuántico de Otto mostrado en el plano de Entropía donde se muestran la entropía de energía y la entropía de Von Neumann . es la frecuencia interna del dispositivo y se controla externamente. Imita el volumen inverso del ciclo de Otto . Las líneas roja y azul son las isocoras frías y calientes. El ciclo representa una bomba de calor. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Está compuesto por los siguientes cuatro segmentos:

• Proceso isomagnético o isocórico del segmento , equilibrio parcial con el baño frío bajo hamiltoniano constante. La dinámica del medio de trabajo se caracteriza por el propagador . ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle {U}/}$
• Magnetización del segmento o compresión adiabática , el campo externo cambia ampliando la brecha entre los niveles de energía del hamiltoniano. La dinámica se caracteriza por el propagador . ${\displaystyle B\rightarrow C}$ ${\displaystyle {U}_{\text{ch}}}$
• Proceso isomagnético o isocórico de segmento de equilibrio parcial con el baño caliente descrito por el propagador . ${\displaystyle C\rightarrow D}$ ${\displaystyle U_{\text{h}}}$
• Desmagnetización de segmentos o expansión adiabática que reduce los huecos de energía en el hamiltoniano, caracterizada por el propagador . ${\displaystyle D\rightarrow A}$ ${\displaystyle U_{\text{hc}}}$

El propagador del ciclo de cuatro tiempos se convierte en , que es el producto ordenado de los propagadores de segmentos: ${\displaystyle U_{\text{global}}}$

${\displaystyle {U}_{\text{global}}~~=~~{U}_{\text{hc}}{U}_{\text{h}}{U}_{\text{ch}}{U}_{\text{c}}}$

Los propagadores son operadores lineales definidos en un espacio vectorial que determina completamente el estado del medio de trabajo. Común a todos los ciclos termodinámicos los propagadores de segmentos consecutivos no conmutan . Los propagadores de conmutación conducirán a una energía nula. ${\displaystyle [{\ U}_{i},{U}_{j}]\neq 0}$

En un motor térmico cuántico alternativo, el medio de trabajo es un sistema cuántico como los sistemas de espín ^[16] o un oscilador armónico. ^[17] Para obtener la máxima potencia, se debe optimizar el tiempo del ciclo. Hay dos escalas de tiempo básicas en el refrigerador alternativo: el tiempo del ciclo y la escala de tiempo interna . En general, cuando el motor funciona en condiciones cuasi adiabáticas. El único efecto cuántico se puede encontrar a bajas temperaturas, donde la unidad de energía del dispositivo se convierte en . La eficiencia en este límite es siempre menor que la eficiencia de Carnot . A alta temperatura y para el medio de trabajo armónico, la eficiencia a máxima potencia se convierte en el resultado de la termodinámica endorversible . ^[17] ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}}$ ${\displaystyle 2\pi /\omega }$ ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\gg 2\pi /\omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$ ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \eta =1-{\sqrt {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}}}$

Para tiempos de ciclo más cortos, el medio de trabajo no puede seguir adiabáticamente el cambio en el parámetro externo. Esto conduce a fenómenos similares a la fricción. Se requiere potencia adicional para impulsar el sistema más rápido. La firma de tal dinámica es el desarrollo de una coherencia que provoca una disipación adicional. Sorprendentemente, la dinámica que conduce a la fricción está cuantificada, lo que significa que se pueden encontrar soluciones sin fricción para la expansión/compresión adiabática en un tiempo finito. ^{[18] [19]} Como resultado, la optimización debe llevarse a cabo únicamente con respecto al tiempo asignado al transporte de calor. En este régimen, la característica cuántica de la coherencia degrada el rendimiento. El rendimiento óptimo sin fricción se obtiene cuando se puede cancelar la coherencia.

Los tiempos de ciclo más cortos , a veces denominados ciclos repentinos, ^[20] tienen características universales. En este caso la coherencia contribuye al poder de los ciclos. ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\ll 2\pi /\omega }$

Se ha propuesto un ciclo cuántico de motor de dos tiempos equivalente al ciclo Otto basado en dos qubits . El primer qubit tiene frecuencia y el segundo . El ciclo se compone de un primer golpe de equilibrio parcial de los dos qubits con el baño frío y caliente en paralelo. El segundo golpe de poder se compone de un intercambio parcial o total entre los qubits. La operación de intercambio se genera mediante una transformación unitaria que preserva la entropía, por lo que es un golpe de poder puro. ^{[21] [22]} ${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Los refrigeradores cuánticos de ciclo Otto comparten el mismo ciclo con la refrigeración magnética . ^[23]

Motores cuánticos continuos

Los motores cuánticos continuos son análogos cuánticos de las turbinas . El mecanismo de producción de trabajo se acopla a un campo periódico externo, típicamente el campo electromagnético. Así, la máquina térmica es un modelo de láser . ^[9] Los modelos se diferencian por la elección del material de trabajo y de la fuente de calor y del disipador. Se han estudiado osciladores armónicos acoplados ^[28] de dos niveles, ^[24] tres niveles ^[25] cuatro niveles ^{[26] [27] accionados externamente.}

La conducción periódica divide la estructura de niveles de energía del medio de trabajo. Esta división permite que el motor de dos niveles se acople selectivamente a los baños frío y caliente y produzca energía. Por otro lado, ignorar esta división en la derivación de la ecuación de movimiento violará la segunda ley de la termodinámica . ^[29]

Se han considerado combustibles no térmicos para los motores térmicos cuánticos. La idea es aumentar el contenido energético del baño caliente sin aumentar su entropía. Esto se puede lograr empleando coherencia ^[30] o un baño termal exprimido. ^[31] Estos dispositivos no violan la segunda ley de la termodinámica.

Equivalencia de máquinas de calor alternativo y continuo en el régimen cuántico

Las máquinas de dos tiempos, de cuatro tiempos y las continuas son muy diferentes entre sí. Sin embargo, se demostró ^[32] que existe un régimen cuántico en el que todas estas máquinas se vuelven termodinámicamente equivalentes entre sí. Si bien la dinámica intraciclo en el régimen de equivalencia es muy diferente en diferentes tipos de motores, cuando se completa el ciclo, todos proporcionan la misma cantidad de trabajo y consumen la misma cantidad de calor (por lo tanto, también comparten la misma eficiencia). . Esta equivalencia está asociada con un mecanismo coherente de extracción de trabajo y no tiene ningún análogo clásico. Estas características cuánticas se han demostrado experimentalmente. ^[33]

Motores térmicos y sistemas cuánticos abiertos

El ejemplo elemental opera en condiciones de cuasi equilibrio. Su principal característica cuántica es la estructura de niveles de energía discretos. Los dispositivos más realistas funcionan fuera de equilibrio y poseen fugas de calor por fricción y un flujo de calor finito. La termodinámica cuántica proporciona una teoría dinámica necesaria para sistemas fuera de equilibrio, como las máquinas térmicas, insertando así la dinámica en la termodinámica. La teoría de los sistemas cuánticos abiertos constituye la teoría básica. Para los motores térmicos se busca una descripción reducida de la dinámica de la sustancia de trabajo, trazando los baños frío y caliente. El punto de partida es el hamiltoniano general de los sistemas combinados:

${\displaystyle H=H_{\text{s}}s+H_{\text{c}}+H_{\text{h}}{\text{h}}+H_{\text{sc}}+H_{\text{sh}}}$

y el sistema hamiltoniano depende del tiempo. Una descripción reducida conduce a la ecuación de movimiento del sistema: ${\displaystyle H_{\text{s}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho =-{\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{s}},\rho ]+L_{\text{h}}(\rho )+L_{\text{c}}(\rho )}$

donde es el operador de densidad que describe el estado del medio de trabajo y es el generador de dinámica disipativa que incluye los términos de transporte de calor desde los baños. Usando esta construcción, el cambio total de energía del subsistema se convierte en: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L_{\text{h/c}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}E=\left\langle {\frac {\partial H_{\text{s}}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle +\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

conduciendo a la versión dinámica de la primera ley de la termodinámica : ^[6]

• El poder ${\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$
• Corrientes de calor y . ${\displaystyle J_{\text{h}}=\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle }$ ${\displaystyle J_{\text{c}}=\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

La tasa de producción de entropía se convierte en:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {J_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {J_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}\geq 0}$

La estructura global de la mecánica cuántica se refleja en la derivación de la descripción reducida. Una derivación coherente con las leyes de la termodinámica se basa en el límite de acoplamiento débil. Una idealización termodinámica supone que el sistema y los baños no están correlacionados, lo que significa que el estado total del sistema combinado se convierte en un producto tensorial en todo momento:

${\displaystyle \rho =\rho _{\text{s}}\otimes \rho _{\text{h}}\otimes \rho _{\text{c}}~.}$

En estas condiciones, las ecuaciones dinámicas del movimiento se convierten en: donde se describe el superoperador de Liouville en términos del espacio de Hilbert del sistema, donde los reservorios se describen implícitamente. Dentro del formalismo del sistema abierto cuántico, puede tomar la forma del generador markoviano de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKS-L) o también conocido simplemente como ecuación de Lindblad . ^[34] Se han propuesto teorías más allá del régimen de acoplamiento débil. ^{[35] [36] [37]} ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{s}}={L}\rho _{\text{s}}~,}$ ${\displaystyle {L}}$ ${\displaystyle L}$

el cuantorefrigerador de absorción

El refrigerador de absorción tiene una importancia singular a la hora de configurar un dispositivo cuántico autónomo. Un dispositivo de este tipo no requiere alimentación externa y funciona sin intervención externa en la programación de las operaciones. ^{[38] [39] [40]} La construcción básica incluye tres baños; un baño de poder, un baño caliente y un baño frío. El modelo triciclo es la plantilla del frigorífico de absorción.

Refrigerador de absorción triciclo cuántico. El dispositivo se compone de tres baños donde . El calor fluye desde el depósito de energía y el baño frío hacia el baño caliente. ${\displaystyle T_{\text{d}}\geq T_{\text{h}}\geq T_{\text{c}}}$

El motor de triciclo tiene una estructura genérica. El modelo básico consta de tres baños termales: Un baño caliente con temperatura , un baño frío con temperatura y un baño de trabajo con temperatura . ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{d}}}$

Cada baño está conectado al motor a través de un filtro de frecuencia que puede modelarse mediante tres osciladores:

${\displaystyle H_{0}=\hbar \omega _{\text{h}}a^{\dagger }a+\hbar \omega _{\text{c}}b^{\dagger }b+\hbar \omega _{\text{d}}c^{\dagger }c~~,}$

donde , y son las frecuencias de filtro en resonancia . ${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{d}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{d}}=\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

El dispositivo funciona como refrigerador eliminando una excitación tanto del baño frío como del baño de trabajo y generando una excitación en el baño caliente. El término en hamiltoniano no es lineal y es crucial para un motor o un refrigerador. ${\displaystyle a^{\dagger }bc}$

${\displaystyle H_{I}=\hbar \epsilon \left(ab^{\dagger }c^{\dagger }+a^{\dagger }bc\right)~~,}$

¿Dónde está la fuerza de acoplamiento? ${\displaystyle \epsilon }$

La primera ley de la termodinámica representa el balance energético de las corrientes de calor que se originan en los tres baños y coliman en el sistema:

${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}={J}_{\text{h}}+{J}_{\text{c}}+{J}_{\text{d}}~~.}$

En estado estacionario no se acumula calor en el triciclo, por lo tanto . Además, en estado estacionario la entropía sólo se genera en los baños, lo que lleva a la segunda ley de la termodinámica : ${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Delta {S}_{\text{u}}~=~-{\frac {{J}_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {{J}_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}-{\frac {{J}_{\text{d}}}{T_{\text{d}}}}~\geq ~0~~.}$

Esta versión de la segunda ley es una generalización del enunciado del teorema de Clausius ; El calor no fluye espontáneamente de los cuerpos fríos a los calientes. Cuando la temperatura es , no se genera entropía en el baño de energía. Una corriente de energía sin producción de entropía asociada equivale a generar energía pura: , donde está la producción de energía. ${\displaystyle T_{\text{d}}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {P}={J}_{\text{d}}}$ ${\displaystyle {P}}$

Los refrigeradores cuánticos y eltercera ley de la termodinámica

Aparentemente existen dos formulaciones independientes de la tercera ley de la termodinámica, ambas formuladas originalmente por Walther Nernst . La primera formulación se conoce como teorema del calor de Nernst y puede expresarse como:

• La entropía de cualquier sustancia pura en equilibrio termodinámico se acerca a cero cuando la temperatura se acerca a cero.

La segunda formulación es dinámica y se conoce como principio de inalcanzabilidad : ^[41]

• Es imposible mediante cualquier procedimiento, por muy idealizado que sea, reducir cualquier conjunto a la temperatura del cero absoluto en un número finito de operaciones.

En estado estacionario, la segunda ley de la termodinámica implica que la producción total de entropía no es negativa. Cuando el baño frío se acerca a la temperatura del cero absoluto, es necesario eliminar la divergencia de producción de entropía en el lado frío cuando , por lo tanto, ${\displaystyle T_{\text{c}}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}\propto -T_{\text{c}}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}$

El cumplimiento de la segunda ley depende de la producción de entropía de los otros baños, que deberían compensar la producción de entropía negativa del baño frío. La primera formulación de la tercera ley modifica esta restricción. En lugar de imponer la tercera ley , garantizando que en el cero absoluto la producción de entropía en el baño frío es cero: . Este requisito conduce a la condición de incrustación de la corriente de calor . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}=0}$ ${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$

La segunda formulación, conocida como principio de inalcanzabilidad, puede reformularse como; ^[42]

• Ningún refrigerador puede enfriar un sistema a la temperatura del cero absoluto en un tiempo finito.

La dinámica del proceso de enfriamiento se rige por la ecuación

${\displaystyle {J}_{\text{c}}(T_{\text{c}}(t))=-c_{V}(T_{\text{c}}(t)){\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}~~.}$

¿Dónde está la capacidad calorífica del baño? Tomando y con , podemos cuantificar esta formulación evaluando el exponente característico del proceso de enfriamiento, ${\displaystyle c_{V}(T_{\text{c}})}$ ${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$ ${\displaystyle c_{V}\sim T_{\text{c}}^{\eta }}$ ${\displaystyle {\eta }\geq 0}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}\propto -T_{\text{c}}^{\zeta },~~~~~T_{\text{c}}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}$

Esta ecuación introduce la relación entre los exponentes característicos y . Cuando luego el baño se enfría hasta temperatura cero en un tiempo finito, lo que implica una violación de la tercera ley. De la última ecuación se desprende que el principio de inalcanzabilidad es más restrictivo que el teorema del calor de Nernst . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \zeta <0}$

Referencias

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Otras lecturas

Deffner, Sebastián y Campbell, Steve. "Termodinámica cuántica: una introducción a la termodinámica de la información cuántica", (Morgan & Claypool Publishers, 2019). ^[1]

F. Binder, LA Correa, C. Gogolin, J. Anders, G. Adesso (eds.) "Termodinámica en el régimen cuántico. Aspectos fundamentales y nuevas direcciones". (Primavera 2018)

Gemmer, Jochen, M. Michel y Günter Mahler. "Termodinámica cuántica. Aparición del comportamiento termodinámico dentro de sistemas cuánticos compuestos. 2." (2009).

Petruccione, Francesco y Heinz-Peter Breuer. La teoría de los sistemas cuánticos abiertos. Prensa de la Universidad de Oxford, 2002.

enlaces externos

• "El motor térmico a nanoescala supera el límite de eficiencia estándar". phys.org .

1. Deffner, Sebastián (2019). Termodinámica Cuántica . doi :10.1088/2053-2571/ab21c6. ISBN 978-1-64327-658-8. S2CID  195791624.