Método de promedios más altos

Los métodos de promedios más altos , divisor o división y redondeo ^[1] son una familia de algoritmos de reparto que tienen como objetivo dividir de manera justa una legislatura entre varios grupos, como partidos políticos o estados . ^[1]^[2] De manera más general, los métodos de divisor se pueden utilizar para redondear partes de un total, por ejemplo, puntos porcentuales (que deben sumar 100). ^[2]

Los métodos tienen como objetivo tratar a los votantes por igual garantizando que los legisladores representen un número igual de votantes y garantizando que cada partido tenga la misma proporción (o divisor ) de escaños-votos . ^[3]^{: 30} Estos métodos dividen el número de votos por el número de votos por escaño y luego redondean el total para obtener el reparto final. Al hacerlo, el método mantiene aproximadamente la representación proporcional , de modo que un partido con, por ejemplo, el doble de votos que otro debería ganar el doble de escaños. ^[3]^{: 30}

Los teóricos de la elección social generalmente prefieren los métodos del divisor a los métodos del resto más grande , ya que producen resultados más proporcionales en la mayoría de las métricas y son menos susceptibles a las paradojas de reparto . ^[4]^[5]^[6] En particular, los métodos de divisor satisfacen la monotonicidad y la participación de la proporción de votos , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños, a diferencia de los métodos de restos más grandes ; además, no son sensibles a los efectos spoiler . ^[5]

Historia

Los métodos divisorios fueron inventados por primera vez por Thomas Jefferson para cumplir con el requisito constitucional de que los estados tengan como máximo un representante por cada 30.000 habitantes. Su solución fue dividir la población de cada estado entre 30.000 antes de redondear hacia abajo. ^[6]^{: 20}

El prorrateo se convertiría en un importante tema de debate en el Congreso, especialmente después del descubrimiento de patologías en muchas reglas de redondeo superficialmente razonables. ^[6]^{: 20} Debates similares aparecerían en Europa después de la adopción de la representación proporcional , generalmente como resultado de que los partidos grandes intentaran introducir umbrales y otras barreras de entrada para los partidos pequeños. ^[7] Tales distribuciones a menudo tienen consecuencias sustanciales, como en la redistribución de 1870 , cuando el Congreso utilizó una distribución ad hoc para favorecer a los estados republicanos . ^[8] Si el total de votos electorales de cada estado hubiera sido exactamente igual a su derecho , o si el Congreso hubiera utilizado el método de Webster o Hamilton (como lo había hecho desde 1840), las elecciones de 1876 habrían sido para Tilden en lugar de Hayes . ^[8]^[9]^[6]^{: 3, 37}

Definiciones

Los dos nombres de estos métodos (promedios más altos y divisores) reflejan dos formas diferentes de pensar sobre ellos y sus dos invenciones independientes. Sin embargo, ambos procedimientos son equivalentes y dan la misma respuesta. ^[10]

Los métodos de divisor se basan en reglas de redondeo , definidas mediante una secuencia de señales $post(k)$ , donde $k \leq post(k) \leq k +1$ . Cada señal marca el límite entre los números naturales, y los números se redondean hacia abajo si y sólo si son menores que la señal. ^[11]

Procedimiento divisor

El procedimiento del divisor reparte escaños buscando un divisor o cuota electoral . Este divisor puede considerarse como la cantidad de votos que un partido necesita para obtener un escaño adicional en la legislatura, la población ideal de un distrito del Congreso o la cantidad de votantes representados por cada legislador. ^[12]

Si cada legislador representara un número igual de votantes, el número de escaños para cada estado se podría encontrar dividiendo la población por el divisor. ^[12] Sin embargo, la asignación de asientos debe ser números enteros, por lo que para encontrar el reparto para un estado determinado debemos redondear (usando la secuencia de señales) después de dividir. Así, el reparto de cada parte viene dado por: ^[12]

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Por lo general, el divisor se establece inicialmente para que sea igual a la cuota de Hare . Sin embargo, este procedimiento puede asignar demasiados o muy pocos asientos. En este caso, los repartos para cada estado no suman el tamaño total de la legislatura. Un divisor factible se puede encontrar mediante prueba y error . ^[13]

Procedimiento de promedios más altos

Con el algoritmo de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, al partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los asientos. ^[12]

Sin embargo, no está claro si es mejor observar el promedio de votos antes de asignar el escaño, cuál será el promedio después de asignar el escaño o si deberíamos llegar a un acuerdo con una corrección de continuidad . Cada uno de estos enfoques ofrece distribuciones ligeramente diferentes. ^[12] En general, podemos definir los promedios usando la secuencia indicadora:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

Con el procedimiento de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, al partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los asientos. ^[12]

Métodos específicos

Si bien todos los métodos de divisor comparten el mismo procedimiento general, difieren en la elección de la secuencia de señales y, por lo tanto, en la regla de redondeo. Tenga en cuenta que para los métodos en los que la primera señal es cero, cada partido con al menos un voto recibirá un escaño antes de que cualquier partido reciba un segundo escaño; en la práctica, esto normalmente significa que cada partido debe recibir al menos un escaño, a menos que esté descalificado por algún umbral electoral . ^[14]

Método de Jefferson (D'Hondt)

Thomas Jefferson propuso el primer método del divisor en 1792. ^[12] Asigna el representante al estado que estaría menos representado al final de la ronda. ^[12] Sigue siendo el método más común de representación proporcional hasta el día de hoy. ^[12]

El método de Jefferson utiliza la secuencia , es decir (1, 2, 3,...), ^[15] lo que significa que siempre redondeará hacia abajo el reparto de un partido. ^[12] $\operatorname {post} (k)=k+1$

El reparto nunca cae por debajo del extremo inferior del marco ideal y minimiza la sobrerrepresentación en el peor de los casos en la legislatura. ^[12] Sin embargo, el método de Jefferson funciona mal cuando se juzga según la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[16] La regla generalmente otorga a los partidos grandes un número excesivo de escaños, y su porcentaje de escaños generalmente excede el porcentaje ideal redondeado hacia arriba. ^[6]^{: 81}

Esta patología llevó a una burla generalizada del método de Jefferson cuando se comprendió que "redondearía" la distribución de 40,5 a 42 en Nueva York , y el senador Mahlon Dickerson dijo que el escaño adicional debía provenir de los " fantasmas de los representantes fallecidos ". ^[6]^{: 34}

Método de Adams (Cambridge)

El método de Adams fue concebido por John Quincy Adams después de notar que el método de Jefferson asignaba muy pocos escaños a estados más pequeños. ^[17] Puede describirse como lo inverso del método de Jefferson; otorga un escaño al partido que tenga la mayor cantidad de votos por escaño antes de agregar el nuevo escaño. La función divisora es $post(k) = k$ , lo que equivale a redondear siempre hacia arriba. ^[16]

El reparto de Adams nunca excede el extremo superior del marco ideal y minimiza la subrepresentación del peor de los casos. ^[12] Sin embargo, las violaciones de la cuota de escaños más baja son comunes. ^[18] Al igual que Jefferson, el método de Adams funciona mal según la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[16]

El método de Adams fue sugerido como parte del compromiso de Cambridge para el reparto de escaños en el Parlamento Europeo entre los estados miembros, con el objetivo de satisfacer la proporcionalidad degresiva . ^[19]

Método de Webster (Sainte-Laguë)

El método de Daniel Webster utiliza la secuencia de postes de cerca $post(k) = k +.5$ (es decir, 0.5, 1.5, 2.5); esto corresponde a la regla de redondeo estándar . De manera equivalente, los números enteros impares (1, 3, 5…) se pueden utilizar para calcular los promedios. ^[12]^[20]

El método de Webster produce más repartos proporcionales que el de D'Hondt en casi todas las métricas de tergiversación. ^[21] Como tal, los politólogos y matemáticos suelen preferirlo a D'Hondt, al menos en situaciones donde la manipulación es difícil o improbable (como en los parlamentos grandes). ^[22] También se destaca por minimizar el sesgo de escaños incluso cuando se trata de partidos que obtienen un número muy pequeño de escaños. ^[23] En teoría, el método de Webster puede violar la regla de la proporción ideal , aunque esto es extremadamente raro incluso en parlamentos moderadamente grandes; Nunca se ha observado que viole la cuota en ningún reparto del Congreso de los Estados Unidos . ^[22]

En distritos pequeños sin umbral , los partidos pueden manipular Webster dividiéndose en muchas listas, cada una de las cuales obtiene un escaño completo con menos de los votos de una cuota Hare . Esto a menudo se soluciona modificando el primer divisor para que sea ligeramente mayor (a menudo un valor de 0,7 o 1), lo que crea un umbral implícito . ^[24]

Método de Hill (Huntington-Hill)

En el método Huntington-Hill , la secuencia de señales es $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , la media geométrica de los números vecinos. Conceptualmente, este método redondea al número entero que tiene la diferencia relativa (porcentual) más pequeña . Por ejemplo, la diferencia entre 2,47 y 3 es aproximadamente el 19 %, mientras que la diferencia con 2 es aproximadamente el 21 %, por lo que 2,47 se redondea hacia arriba. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de Estados Unidos entre los estados. ^[12]

El método de Hill tiende a producir resultados muy similares al método de Webster; Cuando se utilizaron por primera vez para el reparto del Congreso , los dos métodos diferían sólo en si asignaban un solo escaño a Michigan o Arkansas . ^[6]^{: 58}

Comparación de propiedades

Reparto de escaños cero

Los métodos de Huntington-Hill, Dean y Adams tienen un valor de 0 para el primer poste de la cerca, lo que da un promedio de ∞. Así, sin un umbral, todos los partidos que hayan recibido al menos un voto también recibirán al menos un escaño. ^[12] Esta propiedad puede ser deseable (como cuando se reparten escaños entre estados ) o indeseable, en cuyo caso el primer divisor puede ajustarse para crear un umbral natural. ^[25]

Inclinación

Hay muchas métricas de sesgo de asiento . Si bien el método de Webster a veces se describe como "exclusivamente" imparcial, ^[22] esta propiedad de unicidad se basa en una definición técnica de sesgo como la diferencia esperada entre el número de escaños de un estado y su proporción ideal. En otras palabras, un método se considera imparcial si el número de escaños que recibe un estado es, en promedio en muchas elecciones, igual a su proporción ideal. ^[22]

Según esta definición, el método de Webster es el método de reparto menos sesgado, ^[23] mientras que Huntington-Hill muestra un ligero sesgo hacia los estados más pequeños. ^[22] Sin embargo, otros investigadores han observado que definiciones ligeramente diferentes de sesgo, generalmente basadas en porcentajes de errores , encuentran el resultado opuesto (el método de Hill es imparcial, mientras que el método de Webster está ligeramente sesgado hacia los estados grandes). ^[23]^[26]

En la práctica, la diferencia entre estas definiciones es pequeña cuando se trata de partidos o estados con más de un escaño. ^[23] Por lo tanto, tanto el método de Huntington-Hill como el de Webster pueden considerarse métodos imparciales o de bajo sesgo (a diferencia de los métodos de Jefferson o Adams). ^[23]^[26] Un informe de 1929 al Congreso de la Academia Nacional de Ciencias recomendó el método de Hill, ^[27] mientras que la Corte Suprema dictaminó que la elección es una cuestión de opinión. ^[26]

Comparación y ejemplos

Ejemplo: jefferson

El siguiente ejemplo muestra cómo el método de Jefferson puede diferir sustancialmente de métodos menos sesgados como el de Webster. En esta elección, el partido más grande gana el 46% de los votos, pero se lleva el 52,5% de los escaños, suficiente para obtener una mayoría absoluta frente a una coalición de todos los demás partidos (que en conjunto alcanzan el 54% de los votos). Además, lo hace violando la cuota: el partido más grande sólo tiene derecho a 9,7 escaños, pero de todos modos gana 11. El distrito electoral más grande tiene casi el doble de tamaño que el distrito más pequeño. El método de Webster no muestra ninguna de estas propiedades, con un error máximo del 22,6%.

Ejemplo: Adams

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que el método de Adams no logra dar una mayoría a un partido que obtiene el 55% de los votos, violando nuevamente su derecho a cuotas.

Ejemplo: todos los sistemas

A continuación se muestra un ejemplo resuelto para todos los sistemas de votación. Observe cómo los métodos de Huntington-Hill y Adams dan a cada partido un escaño antes de asignar más, a diferencia de los de Webster o Jefferson.

Propiedades

monotonicidad

Los matemáticos generalmente prefieren los métodos del divisor a los métodos del resto más grande ^[28] porque son menos susceptibles a las paradojas de reparto . ^[29] En particular, los métodos de divisor satisfacen la monotonicidad de la población , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños. ^[29] Estas paradojas poblacionales ocurren al aumentar la cuota electoral , lo que puede causar que los restantes estados respondan de manera errática. ^[6]^{: Tbl.A7.2} Los métodos de divisor también satisfacen la monotonía de recursos o de la casa , que dice que aumentar el número de escaños en una legislatura no debería hacer que un estado pierda un escaño. ^[29]^[6]^{: Cor.4.3.1}

Desigualdad mín-máx

Cada método de divisor se puede definir utilizando la desigualdad mínima-máxima. Si los corchetes indican la indexación de matrices, una asignación es válida si y solo si: ^[12]^{: 78–81}

$máximo .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠votos[partido]/post(asientos[partido])⁠ ≤ minutos ⁠votos[partido]/post(asientos[partido]+1)⁠$

En otras palabras, es imposible reducir el promedio de votos más alto reasignando un escaño de un partido a otro. Cada número en este rango es un posible divisor. Si la desigualdad es estricta, la solución es única; de lo contrario, habrá una votación exactamente empatada en la etapa de reparto final. ^[12]^{: 83}

Familias de métodos

Los métodos de divisor descritos anteriormente se pueden generalizar en familias.

Promedio generalizado

En general, es posible construir un método de reparto a partir de cualquier función promedio generalizada , definiendo la función de señal como $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^[12]

familia estacionaria

Un método divisor se llama estacionario ^[30]^{: 68} si para algún número real , sus signos son de la forma . Los métodos de Adams, Webster y Jefferson son estacionarios, mientras que Dean y Huntington-Hill no lo son. Un método estacionario corresponde a redondear números hacia arriba si exceden la media aritmética ponderada de $k$ y $k$ $+1$ . ^[12] Los valores más pequeños de $r$ son más amigables para los partidos más pequeños. ^[23] $r\in [0,1]$ $d(k)=k+r$

Las elecciones danesas asignan escaños nivelados a nivel provincial mediante distritos electorales de miembros. Divide el número de votos recibidos por un partido en una circunscripción de varios miembros por 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. La secuencia de los postes está dada por $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ ; esto tiene como objetivo asignar escaños más equitativamente, en lugar de exactamente proporcionalmente. ^[31]

Poder significa familia

La familia de métodos de divisor de media de potencia incluye los métodos de Adams, Huntington-Hill, Webster, Dean y Jefferson (ya sea directamente o como límites). Para una constante $p$ dada , el método de la media de potencia tiene la función de señal $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . El método de Huntington-Hill corresponde al límite cuando $p$ tiende a 0, mientras que Adams y Jefferson representan los límites cuando $p$ tiende al infinito negativo o positivo. ^[12]

La familia también incluye el método de Dean, menos común, para $p = -1$ , que corresponde a la media armónica . El método de Dean equivale a redondear al promedio más cercano : cada estado redondea su recuento de escaños de una manera que minimiza la diferencia entre el tamaño promedio del distrito y el tamaño ideal del distrito. Por ejemplo: ^[32]^{: 29}

La población representativa de Massachusetts en 1830 era 610.408: si recibiera 12 escaños, el tamaño medio de su distrito electoral sería 50.867; si recibiera 13 serían 46.954. Entonces, si el divisor fuera 47.700 como propuso Polk, Massachusetts debería recibir 13 escaños porque 46.954 está más cerca de 47.700 que 50.867.

Redondeando al promedio de votos con el error relativo más pequeño se obtiene una vez más el método Huntington-Hill porque $| Iniciar sesión(x ⁄ y) | = | Iniciar sesión(y ⁄ x) |$ , es decir, las diferencias relativas son reversibles. Este hecho fue fundamental para el uso por parte de Edward V. Huntington de errores relativos (en lugar de absolutos) al medir la tergiversación, y para su defensa de la técnica Huntington-Hill: ^[33] Huntington argumentó que la elección del método de distribución no debería depender de cómo la ecuación para una representación igual se reordena y sólo los errores relativos (es decir, la técnica de Huntington-Hill) satisfacen esta propiedad. ^[32]^{: 53}

Stolarsky significa familia

De manera similar, la media de Stolarsky se puede utilizar para definir una familia de métodos divisores que minimice el índice de entropía generalizada de tergiversación. ^[34] Esta familia incluye la media logarítmica , la media geométrica , la media idéntrica y la media aritmética . Los medios de Stolarsky pueden justificarse por minimizar estas métricas de tergiversación, que son de gran importancia en el estudio de la teoría de la información . ^[35]

Modificaciones

Umbrales

Muchos países tienen umbrales electorales para la representación, según los cuales los partidos deben obtener una fracción específica de los votos para estar representados; Los partidos con menos votos que el umbral requerido para la representación son eliminados. ^[24] Otros países modifican el primer divisor para introducir un umbral natural ; cuando se utiliza el método de Webster, el primer divisor a menudo se establece en 0,7 o 1,0 (este último se denomina modificación de asiento completo ). ^[24]

Cláusula de preservación de la mayoría

Una cláusula de preservación de la mayoría garantiza que cualquier partido que obtenga la mayoría de los votos recibirá al menos la mitad de los escaños de una legislatura. ^[24] Sin tal cláusula, es posible que un partido con poco más de la mitad de los votos reciba poco menos de la mitad de los escaños (si se utiliza un método distinto al de D'Hondt). ^[24] Esto normalmente se logra agregando escaños a la legislatura hasta que se encuentre un reparto que preserve la mayoría para un parlamento. ^[24]

Método del divisor limitado por cuotas

Un método de divisor limitado por cuotas es un método de reparto en el que comenzamos asignando a cada estado su cuota más baja de escaños. Luego, agregamos escaños uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que agregar un escaño adicional no resulte en que el estado exceda su cuota superior. ^[36] Sin embargo, los métodos de divisor limitado por cuotas violan el criterio de participación (también llamado monotonía poblacional ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de ganar más votos. ^[37]^{: Tbl.A7.2}

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