Politropo

La densidad normalizada en función de la longitud de escala para una amplia gama de índices politrópicos

En astrofísica , un politropo se refiere a una solución de la ecuación de Lane-Emden en la que la presión depende de la densidad en la forma donde $P$ es la presión, $ρ$ es la densidad y $K$ es una constante de proporcionalidad . ^[1] La constante $n$ se conoce como índice politrópico; sin embargo, tenga en cuenta que el índice politrópico tiene una definición alternativa con n como exponente. $P=K\rho ^{(n+1)/n}=K\rho ^{1+1/n},$

Esta relación no necesita ser interpretada como una ecuación de estado , que establece P como una función tanto de ρ como de T (la temperatura ); sin embargo, en el caso particular descrito por la ecuación politrópica hay otras relaciones adicionales entre estas tres cantidades, que juntas determinan la ecuación. Por lo tanto, esta es simplemente una relación que expresa una suposición sobre el cambio de presión con el radio en términos del cambio de densidad con el radio, lo que produce una solución a la ecuación de Lane-Emden.

A veces, la palabra politropo puede referirse a una ecuación de estado que se parece a la relación termodinámica anterior, aunque esto puede ser confuso y debe evitarse. Es preferible referirse al fluido en sí (en lugar de a la solución de la ecuación de Lane-Emden) como un fluido politrópico o un gas politrópico . Específicamente, el gas politrópico es un gas para el cual el calor específico es constante. ^[2]^[3] La ecuación de estado de un fluido politrópico es lo suficientemente general como para que dichos fluidos idealizados encuentren un amplio uso fuera del problema limitado de los politropos.

Se ha demostrado que el exponente politrópico (de un politropo) es equivalente a la derivada de presión del módulo volumétrico ^[4], donde también se ha demostrado su relación con la ecuación de estado de Murnaghan . Por lo tanto, la relación de politropo es más adecuada para condiciones de presión relativamente baja (por debajo de 10 ⁷ Pa ) y alta (por encima de 10 ¹⁴ Pa) cuando la derivada de presión del módulo volumétrico, que es equivalente al índice de politropo, es casi constante.

Modelos de ejemplo por índice politrópico

Densidad (normalizada a densidad promedio) versus radio (normalizado a radio externo) para un politropo con índice n=3.

A menudo se utiliza un politropo de índice $n = 0$ para modelar planetas rocosos . La razón es que el politropo $n = 0$ tiene una densidad constante, es decir, un interior incompresible. Esta es una aproximación de orden cero para planetas rocosos (sólidos/líquidos).
Las estrellas de neutrones están bien modeladas por politropos con índice entre $n = 0,5$ y $n = 1$ .
Un politropo con índice $n = 1,5$ es un buen modelo para núcleos estelares completamente convectivos ^[5]^[6] (como los de las gigantes rojas ), enanas marrones y planetas gaseosos gigantes (como Júpiter ). Con este índice, el exponente politrópico es 5/3, que es la relación de capacidad térmica (γ) para el gas monoatómico . Para el interior de estrellas gaseosas (que consisten en hidrógeno ionizado o helio ), esto se deduce de una aproximación de gas ideal para condiciones de convección natural .
Un politropo con índice $n = 1,5$ también es un buen modelo para enanas blancas de baja masa, según la ecuación de estado de la materia degenerada no relativista . ^[7]
Un politropo con índice $n = 3$ es un buen modelo para los núcleos de enanas blancas de masas superiores, según la ecuación de estado de la materia degenerada relativista . ^[7]
Un politropo con índice $n = 3$ también se utiliza habitualmente para modelar estrellas de la secuencia principal como el Sol , al menos en la zona de radiación , correspondiente al modelo estándar de Eddington de estructura estelar . ^[8]
Un politropo con índice $n = 5$ tiene un radio infinito . Corresponde al modelo plausible más simple de un sistema estelar autoconsistente, estudiado por primera vez por Arthur Schuster en 1883, y tiene una solución exacta .
Un politropo con índice $n = \infty$ corresponde a lo que se denomina una esfera isotérmica , es decir, una esfera isotérmica autogravitante de gas, cuya estructura es idéntica a la de un sistema de estrellas sin colisiones como un cúmulo globular . Esto se debe a que, para un gas ideal, la temperatura es proporcional a ρ ^{1/n , por lo que}n infinito corresponde a una temperatura constante.

En general, a medida que aumenta el índice politrópico, la distribución de densidad se inclina más hacia el centro ( $r = 0$ ) del cuerpo.

Véase también

Referencias

^ Horedt, GP (2004). Politropos. Aplicaciones en astrofísica y campos relacionados , Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-2350-2
^ Chandrasekhar, Subrahmanyan y Subrahmanyan Chandrasekhar. Introducción al estudio de la estructura estelar. Vol. 2. Courier Corporation, 1957.
^ Landau, Lev Davidovich y Evgenii Mikhailovich Lifshitz. Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6. Vol. 6. Elsevier, 2013.
^ Weppner, SP, McKelvey, JP, Thielen, KD y Zielinski, AK, "Un índice politrópico variable aplicado a modelos de planetas y materiales", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , vol. 452, n.º 2 (septiembre de 2015), páginas 1375-1393, Oxford University Press, también disponible en arXiv
^ S. Chandrasekhar [1939] (1958). Introducción al estudio de la estructura estelar , Nueva York: Dover. ISBN 0-486-60413-6
^ CJ Hansen, SD Kawaler, V. Trimble (2004). Interiores estelares: principios físicos, estructura y evolución , Nueva York: Springer. ISBN 0-387-20089-4
^ ab Sagert, I., Hempel, M., Greiner, C., Schaffner-Bielich, J. (2006). Estrellas compactas para estudiantes universitarios. Revista europea de física, 27(3), 577.
^ OR Pols (2011), Estructura y evolución estelar, Instituto Astronómico de Utrecht, septiembre de 2011, págs. 64-68