Los filtros lineales procesan señales de entrada variables en el tiempo para producir señales de salida, sujetas a la restricción de linealidad . En la mayoría de los casos, estos filtros lineales también son invariantes en el tiempo (o invariantes por desplazamiento ), en cuyo caso se pueden analizar exactamente utilizando la teoría de sistemas LTI ("lineal invariante en el tiempo"), que revela sus funciones de transferencia en el dominio de la frecuencia y sus respuestas al impulso en el dominio del tiempo. Las implementaciones en tiempo real de dichos filtros de procesamiento de señales lineales en el dominio del tiempo son inevitablemente causales , una restricción adicional en sus funciones de transferencia. Un circuito electrónico analógico que consta solo de componentes lineales (resistencias, condensadores, inductores y amplificadores lineales) caerá necesariamente en esta categoría, al igual que los sistemas mecánicos comparables o los sistemas de procesamiento de señales digitales que contienen solo elementos lineales. Dado que los filtros lineales invariantes en el tiempo se pueden caracterizar completamente por su respuesta a sinusoides de diferentes frecuencias (su respuesta de frecuencia ), a veces se los conoce como filtros de frecuencia.
Las implementaciones no en tiempo real de filtros lineales invariantes en el tiempo no tienen por qué ser causales. También se utilizan filtros de más de una dimensión, como en el procesamiento de imágenes . El concepto general de filtrado lineal también se extiende a otros campos y tecnologías, como la estadística , el análisis de datos y la ingeniería mecánica .
Un filtro lineal invariante en el tiempo (LTI) se puede especificar de forma única por su respuesta de impulso h , y la salida de cualquier filtro se expresa matemáticamente como la convolución de la entrada con esa respuesta de impulso. La respuesta de frecuencia , dada por la función de transferencia del filtro , es una caracterización alternativa del filtro. Los objetivos típicos del diseño de filtros son lograr una respuesta de frecuencia particular, es decir, la magnitud de la función de transferencia ; la importancia de la fase de la función de transferencia varía según la aplicación, ya que la forma de una forma de onda se puede distorsionar en mayor o menor medida en el proceso de lograr una respuesta (amplitud) deseada en el dominio de la frecuencia. La respuesta de frecuencia se puede adaptar para, por ejemplo, eliminar componentes de frecuencia no deseados de una señal de entrada , o para limitar un amplificador a señales dentro de una banda particular de frecuencias.
La respuesta al impulso h de un filtro causal lineal invariante en el tiempo especifica la salida que produciría el filtro si recibiera una entrada consistente en un único impulso en el tiempo 0. Un "impulso" en un filtro de tiempo continuo significa una función delta de Dirac ; en un filtro de tiempo discreto se aplicaría la función delta de Kronecker . La respuesta al impulso caracteriza completamente la respuesta de cualquier filtro de este tipo, ya que cualquier señal de entrada posible se puede expresar como una combinación (posiblemente infinita) de funciones delta ponderadas. Al multiplicar la respuesta al impulso desplazada en el tiempo según la llegada de cada una de estas funciones delta por la amplitud de cada función delta, y sumar estas respuestas juntas (según el principio de superposición , aplicable a todos los sistemas lineales) se obtiene la forma de onda de salida.
Matemáticamente, esto se describe como la convolución de una señal de entrada variable en el tiempo x(t) con la respuesta al impulso del filtro h , definida como:
La primera forma es la forma de tiempo continuo, que describe, por ejemplo, los sistemas electrónicos mecánicos y analógicos. La segunda ecuación es una versión de tiempo discreto utilizada, por ejemplo, por los filtros digitales implementados en software, el llamado procesamiento digital de señales . La respuesta al impulso h caracteriza completamente cualquier filtro lineal invariante en el tiempo (o invariante en el desplazamiento en el caso de tiempo discreto). Se dice que la entrada x está " convolucionada " y que la respuesta al impulso h tiene una duración (posiblemente infinita) de tiempo T (o de N períodos de muestreo ).
El diseño de un filtro consiste en encontrar una posible función de transferencia que pueda implementarse dentro de ciertas restricciones prácticas dictadas por la tecnología o la complejidad deseada del sistema, seguido de un diseño práctico que implemente esa función de transferencia utilizando la tecnología elegida. La complejidad de un filtro puede especificarse según el orden del filtro.
Entre los filtros de dominio temporal que aquí consideramos, hay dos clases generales de funciones de transferencia de filtro que pueden aproximarse a una respuesta de frecuencia deseada. Se aplican tratamientos matemáticos muy diferentes al diseño de filtros denominados filtros de respuesta de impulso infinito (IIR), característicos de los sistemas electrónicos mecánicos y analógicos, y filtros de respuesta de impulso finito (FIR), que pueden implementarse mediante sistemas de tiempo discreto como las computadoras (en ese entonces denominados procesamiento de señales digitales ).
Los filtros analógicos clásicos son filtros IIR, y la teoría de filtros clásicos se centra en la determinación de funciones de transferencia dadas por funciones racionales de orden bajo , que pueden sintetizarse utilizando el mismo número pequeño de componentes reactivos. [1] Por otro lado, utilizando computadoras digitales, tanto los filtros FIR como los IIR son fáciles de implementar en software.
Un filtro IIR digital puede, en general, aproximarse a una respuesta de filtro deseada utilizando menos potencia de cálculo que un filtro FIR, sin embargo, esta ventaja suele ser innecesaria dada la creciente potencia de los procesadores digitales. La facilidad de diseño y caracterización de los filtros FIR los hace preferibles para el diseñador de filtros (programador) cuando se dispone de una amplia potencia de cálculo. Otra ventaja de los filtros FIR es que su respuesta al impulso se puede hacer simétrica, lo que implica una respuesta en el dominio de frecuencia que tiene fase cero en todas las frecuencias (sin considerar un retardo finito), lo que es absolutamente imposible con cualquier filtro IIR. [2]
La respuesta en frecuencia o función de transferencia de un filtro se puede obtener si se conoce la respuesta al impulso, o directamente a través del análisis utilizando transformadas de Laplace o, en sistemas de tiempo discreto, la transformada Z. La respuesta en frecuencia también incluye la fase como función de la frecuencia, sin embargo, en muchos casos la respuesta de fase tiene poco o ningún interés. Los filtros FIR se pueden hacer para que tengan fase cero, pero con los filtros IIR eso generalmente es imposible. Con la mayoría de las funciones de transferencia IIR hay funciones de transferencia relacionadas que tienen una respuesta en frecuencia con la misma magnitud pero una fase diferente; en la mayoría de los casos se prefiere la llamada función de transferencia de fase mínima .
A menudo, se solicita a los filtros en el dominio del tiempo que sigan una respuesta de frecuencia específica. Luego, un procedimiento matemático encuentra una función de transferencia de filtro que se pueda realizar (dentro de ciertas restricciones) y aproxima la respuesta deseada dentro de algún criterio. Las especificaciones de respuesta de filtro comunes se describen a continuación:
Para satisfacer un requisito de respuesta de frecuencia con un filtro FIR se utilizan procedimientos relativamente sencillos. En la forma más básica, la respuesta de frecuencia deseada se puede muestrear con una resolución de y se puede aplicar una transformada de Fourier al dominio del tiempo. Esto obtiene los coeficientes de filtro h i , que implementa un filtro FIR de fase cero que coincide con la respuesta de frecuencia en las frecuencias muestreadas utilizadas. Para que coincida mejor con una respuesta deseada, se debe reducir. Sin embargo, la duración de la respuesta al impulso del filtro y el número de términos que se deben sumar para cada valor de salida (de acuerdo con la convolución de tiempo discreto anterior) se da por donde T es el período de muestreo del sistema de tiempo discreto (N-1 también se denomina el orden de un filtro FIR). Por lo tanto, la complejidad de un filtro digital y el tiempo de cálculo involucrado crece inversamente con , lo que supone un mayor coste para las funciones de filtro que se aproximan mejor al comportamiento deseado. Por la misma razón, las funciones de filtro cuya respuesta crítica está en frecuencias más bajas (en comparación con la frecuencia de muestreo 1/T ) requieren un filtro FIR de orden superior y de mayor intensidad computacional. Por lo tanto, un filtro IIR puede ser mucho más eficiente en estos casos.
En otra parte, el lector puede encontrar una discusión más detallada sobre los métodos de diseño para el diseño práctico de filtros FIR .
Dado que los filtros analógicos clásicos son filtros IIR, se ha estudiado durante mucho tiempo la gama de posibles funciones de transferencia que implementan varias de las respuestas de filtro deseadas antes mencionadas en sistemas de tiempo continuo. Mediante transformadas es posible convertir estas respuestas de frecuencia de tiempo continuo en respuestas que se implementan en tiempo discreto, para su uso en filtros IIR digitales. La complejidad de cualquier filtro de este tipo está dada por el orden N, que describe el orden de la función racional que describe la respuesta de frecuencia. El orden N es de particular importancia en los filtros analógicos, porque un filtro electrónico de orden N requiere N elementos reactivos (condensadores y/o inductores) para su implementación. Si se implementa un filtro utilizando, por ejemplo, etapas biquad que utilizan amplificadores operacionales , se necesitan N/2 etapas. En una implementación digital, el número de cálculos realizados por muestra es proporcional a N. Por lo tanto, el problema matemático es obtener la mejor aproximación (en algún sentido) a la respuesta deseada utilizando un N menor, como ilustraremos ahora.
A continuación se muestran las respuestas de frecuencia de varias funciones de filtro estándar que se aproximan a una respuesta deseada, optimizadas de acuerdo con algún criterio. Todos estos son filtros de paso bajo de quinto orden, diseñados para una frecuencia de corte de 0,5 en unidades normalizadas. Se muestran las respuestas de frecuencia para los filtros Butterworth , Chebyshev , Chebyshev inverso y elíptico .
Como se desprende claramente de la imagen, el filtro elíptico es más nítido que los demás, pero a expensas de las ondulaciones tanto en su banda de paso como en su banda de rechazo. El filtro Butterworth tiene la transición más pobre, pero tiene una respuesta más uniforme, evitando las ondulaciones tanto en la banda de paso como en la banda de rechazo. Un filtro Bessel (no mostrado) tiene una transición aún peor en el dominio de la frecuencia, pero mantiene la mejor fidelidad de fase de una forma de onda. Diferentes aplicaciones enfatizan diferentes requisitos de diseño, lo que lleva a diferentes elecciones entre estas (y otras) optimizaciones, o a requerir un filtro de un orden superior.
Un circuito popular que implementa un filtro RC activo de segundo orden es el diseño Sallen-Key , cuyo diagrama esquemático se muestra aquí. Esta topología se puede adaptar para producir filtros de paso bajo, paso banda y paso alto.
Un filtro FIR de orden N se puede implementar en un sistema de tiempo discreto utilizando un programa informático o hardware especializado en el que la señal de entrada está sujeta a N etapas de retardo. La salida del filtro se forma como la suma ponderada de esas señales retardadas, como se representa en el diagrama de flujo de señal adjunto. La respuesta del filtro depende de los coeficientes de ponderación denotados b 0 , b 1 , .... b N . Por ejemplo, si todos los coeficientes fueran iguales a la unidad, una denominada función boxcar , entonces se implementaría un filtro de paso bajo con una ganancia de baja frecuencia de N+1 y una respuesta de frecuencia dada por la función sinc . Se pueden obtener formas superiores para la respuesta de frecuencia utilizando coeficientes derivados de un procedimiento de diseño más sofisticado.
La teoría de sistemas LTI describe filtros lineales invariantes en el tiempo (LTI) de todo tipo. Los filtros LTI se pueden describir completamente por su respuesta de frecuencia y respuesta de fase , cuya especificación define de forma única su respuesta al impulso , y viceversa . Desde un punto de vista matemático, los filtros LTI IIR de tiempo continuo se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales lineales , y sus respuestas al impulso se pueden considerar como funciones de Green de la ecuación. Los filtros LTI de tiempo continuo también se pueden describir en términos de la transformada de Laplace de su respuesta al impulso, lo que permite analizar todas las características del filtro considerando el patrón de ceros y polos de su transformada de Laplace en el plano complejo . De manera similar, los filtros LTI de tiempo discreto se pueden analizar a través de la transformada Z de su respuesta al impulso.
Antes de la llegada de las herramientas de síntesis de filtros por ordenador, se utilizaban ampliamente herramientas gráficas como los diagramas de Bode y los diagramas de Nyquist como herramientas de diseño. Incluso hoy en día, son herramientas inestimables para comprender el comportamiento de los filtros. Los libros de referencia [3] contenían gráficos extensos de respuesta de frecuencia, respuesta de fase, retardo de grupo y respuesta de impulso para varios tipos de filtros, de varios órdenes. También contenían tablas de valores que mostraban cómo implementar filtros como escaleras RLC, muy útiles cuando los elementos amplificadores eran caros en comparación con los componentes pasivos. Una escalera de este tipo también se puede diseñar para que tenga una sensibilidad mínima a la variación de los componentes, una propiedad difícil de evaluar sin herramientas informáticas.
Se han desarrollado muchos diseños de filtros analógicos diferentes, cada uno de los cuales intenta optimizar alguna característica de la respuesta del sistema. Para los filtros prácticos, a veces es deseable un diseño personalizado, que pueda ofrecer la mejor compensación entre diferentes criterios de diseño, que pueden incluir la cantidad y el costo de los componentes, así como las características de respuesta del filtro.
Estas descripciones hacen referencia a las propiedades matemáticas del filtro (es decir, la respuesta de frecuencia y fase). Estas pueden implementarse como circuitos analógicos (por ejemplo, utilizando una topología de filtro Sallen Key , un tipo de filtro activo ) o como algoritmos en sistemas de procesamiento de señales digitales .
Los filtros digitales son mucho más flexibles de sintetizar y utilizar que los filtros analógicos, en los que las limitaciones del diseño permiten su uso. Cabe destacar que no es necesario considerar las tolerancias de los componentes y se pueden obtener niveles Q muy altos.
Los filtros digitales FIR se pueden implementar mediante la convolución directa de la respuesta de impulso deseada con la señal de entrada. Se pueden diseñar fácilmente para proporcionar un filtro adaptado a cualquier forma de pulso arbitraria.
Los filtros digitales IIR suelen ser más difíciles de diseñar debido a problemas como el rango dinámico, el ruido de cuantificación y la inestabilidad. Normalmente, los filtros digitales IIR se diseñan como una serie de filtros digitales biquad .
Todos los filtros de tiempo continuo de segundo orden de paso bajo tienen una función de transferencia dada por
Todos los filtros de tiempo continuo de segundo orden de paso de banda tienen una función de transferencia dada por
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