Fase lineal

Filtro cuya respuesta de fase es proporcional a la frecuencia

En el procesamiento de señales , la fase lineal es una propiedad de un filtro donde la respuesta de fase del filtro es una función lineal de la frecuencia . El resultado es que todos los componentes de frecuencia de la señal de entrada se desplazan en el tiempo (normalmente se retrasan) en la misma cantidad constante (la pendiente de la función lineal), lo que se conoce como retraso de grupo . En consecuencia, no hay distorsión de fase debido al retraso temporal de las frecuencias entre sí.

Para señales de tiempo discreto , la fase lineal perfecta se logra fácilmente con un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) al tener coeficientes que sean simétricos o antisimétricos. ^[1] Se pueden lograr aproximaciones con diseños de respuesta de impulso infinito (IIR), que son más eficientes computacionalmente. Varias técnicas son:

• una función de transferencia de Bessel que tiene una función de aproximación de retardo de grupo máximamente plana
• un ecualizador de fase

Definición

Un filtro se denomina filtro de fase lineal si el componente de fase de la respuesta de frecuencia es una función lineal de la frecuencia. Para una aplicación de tiempo continuo, la respuesta de frecuencia del filtro es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del filtro , y una versión de fase lineal tiene la forma:

${\displaystyle H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau },}$

dónde:

• A(ω) es una función de valor real.
• ${\displaystyle \tau }$es el retraso del grupo.

Para una aplicación de tiempo discreto, la transformada de Fourier de tiempo discreto de la respuesta al impulso de fase lineal tiene la forma:

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},}$

dónde:

• A(ω) es una función de valor real con periodicidad 2π.
• k es un número entero y k/2 es el retraso del grupo en unidades de muestras.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$es una serie de Fourier que también se puede expresar en términos de la transformada Z de la respuesta al impulso del filtro. Es decir:

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }),}$

donde la notación distingue la transformada Z de la transformada de Fourier. ${\displaystyle {\widehat {H}}}$

Ejemplos

Cuando una sinusoide   pasa a través de un filtro con retardo de grupo constante (independiente de la frecuencia),   el resultado es : ${\displaystyle ,\ \sin(\omega t+\theta ),}$ ${\displaystyle \tau ,}$

${\displaystyle A(\omega )\cdot \sin(\omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),}$

dónde :

• ${\displaystyle A(\omega )}$es un multiplicador de amplitud dependiente de la frecuencia.
• El desplazamiento de fase es una función lineal de la frecuencia angular y es la pendiente. ${\displaystyle \omega \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle -\tau }$

De ello se deduce que una función exponencial compleja:

${\displaystyle e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),}$

se transforma en:

${\displaystyle A(\omega )\cdot e^{i(\omega (t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\theta )}\cdot A(\omega )e^{-i\omega \tau }}$^{[nota 1]}

Para una fase aproximadamente lineal, es suficiente tener esa propiedad solo en la (s) banda (s) de paso del filtro, donde |A(ω)| tiene valores relativamente grandes. Por lo tanto, se utilizan habitualmente gráficos de magnitud y fase ( diagramas de Bode ) para examinar la linealidad de un filtro. Un gráfico de fase "lineal" puede contener discontinuidades de π y/o 2π radianes. Las más pequeñas ocurren donde A(ω) cambia de signo. Dado que |A(ω)| no puede ser negativo, los cambios se reflejan en el gráfico de fase. Las discontinuidades de 2π ocurren porque se representa gráficamente el valor principal de   en lugar del valor real. ${\displaystyle \omega \tau ,}$

En aplicaciones de tiempo discreto, solo se examina la región de frecuencias entre 0 y la frecuencia de Nyquist , debido a la periodicidad y la simetría. Según las unidades de frecuencia , la frecuencia de Nyquist puede ser 0,5, 1,0, π o ½ de la frecuencia de muestreo real. A continuación se muestran algunos ejemplos de fase lineal y no lineal.

Respuesta de fase vs frecuencia normalizada (ω/π)

Dos representaciones de la respuesta de frecuencia de un filtro FIR simple

Se puede lograr un filtro de tiempo discreto con fase lineal mediante un filtro FIR que sea simétrico o antisimétrico. ^[2]   Una condición necesaria pero no suficiente es :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot (n-\alpha )+\beta )=0}$

para algunos . ^[3] ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$

Fase lineal generalizada

Los sistemas con fase lineal generalizada tienen una constante adicional independiente de la frecuencia añadida a la fase. En el caso de tiempo discreto, por ejemplo, la respuesta de frecuencia tiene la forma: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta },}$

${\displaystyle \arg \left[H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta -\omega k/2}$para ${\displaystyle -\pi <\omega <\pi }$

Debido a esta constante, la fase del sistema no es una función estrictamente lineal de la frecuencia, pero conserva muchas de las propiedades útiles de los sistemas de fase lineal. ^[4]

Véase también

• Fase mínima

Notas

1. El multiplicador , en función de ω, se conoce como respuesta de frecuencia del filtro . ${\displaystyle A(\omega )e^{-i\omega \tau }}$

Citas

1. Selesnick, Ivan. "Cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal". Openstax CNX . Universidad Rice . Consultado el 27 de abril de 2014 .
2. Selesnick, Ivan. "Cuatro tipos de filtros FIR de fase lineal". Openstax CNX . Universidad Rice . Consultado el 27 de abril de 2014 .
3. Oppenheim, Alan V; Ronald W Schafer (1975). Procesamiento de señales digitales (3.ª edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-214635-5.
4. Oppenheim, Alan V; Ronald W Schafer (1975). Procesamiento de señales digitales (1.ª edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-214635-5.