Espacio de primer conteo

Espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable

En topología , una rama de las matemáticas , un espacio primer contable es un espacio topológico que satisface el "primer axioma de contabilidad ". Específicamente, se dice que un espacio es primer contable si cada punto tiene una base de vecindad contable (base local). Es decir, para cada punto en existe una secuencia de vecindades de tal que para cualquier vecindad de existe un entero con contenido en Dado que cada vecindad de cualquier punto contiene una vecindad abierta de ese punto, la base de vecindad puede elegirse sin pérdida de generalidad para que consista en vecindades abiertas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

Ejemplos y contraejemplos

La mayoría de los espacios "cotidianos" en matemáticas son contables en primer lugar. En particular, todo espacio métrico es contable en primer lugar. Para comprobarlo, observe que el conjunto de bolas abiertas centradas en con radio para números enteros forman una base local contable en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle x.}$

Un ejemplo de un espacio que no es numerable en primer lugar es la topología cofinita sobre un conjunto incontable (como la recta real ). En términos más generales, la topología de Zariski sobre una variedad algebraica sobre un cuerpo incontable no es numerable en primer lugar.

Otro contraejemplo es el espacio ordinal donde es el primer número ordinal incontable . El elemento es un punto límite del subconjunto aunque ninguna secuencia de elementos en tenga el elemento como su límite. En particular, el punto en el espacio no tiene una base local contable. Sin embargo, como es el único punto de ese tipo, el subespacio es el primer número contable. ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

El espacio cociente donde los números naturales en la línea real se identifican como un solo punto no es contable en primer lugar. ^[1] Sin embargo, este espacio tiene la propiedad de que para cualquier subconjunto y cada elemento en el cierre de hay una secuencia en A que converge a A, el espacio con esta propiedad de secuencia a veces se denomina espacio de Fréchet-Urysohn . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x.}$

La primera numerabilidad es estrictamente más débil que la segunda numerabilidad . Todo espacio de segunda numeración es de primera numeración, pero todo espacio discreto incontable es de primera numeración, pero no de segunda numeración.

Propiedades

Una de las propiedades más importantes de los espacios de primer orden es que dado un subconjunto, un punto se encuentra en la clausura de si y solo si existe una sucesión en que converge a (En otras palabras, todo espacio de primer orden es un espacio de Fréchet-Urysohn y, por tanto, también un espacio secuencial ). Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . En particular, si es una función en un espacio de primer orden, entonces tiene un límite en el punto si y solo si para toda sucesión donde para todos tenemos Además, si es una función en un espacio de primer orden, entonces es continua si y solo si siempre que entonces ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

En los espacios de primer orden, la compacidad secuencial y la compacidad numerable son propiedades equivalentes. Sin embargo, existen ejemplos de espacios de primer orden secuencialmente compactos que no son compactos (estos no son necesariamente espacios metrizables). Uno de estos espacios es el espacio ordinal Todo espacio de primer orden es generado de manera compacta . ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

Todo subespacio de un espacio de primer orden contable es de primer orden contable. Todo producto contable de un espacio de primer orden contable es de primer orden contable, aunque los productos incontables no necesariamente lo sean.

Véase también

• Espacio de Fréchet-Urysohn  – Propiedad del espacio topológico
• Segundo espacio contable  : espacio topológico cuya topología tiene una base contable.
• Espacio separable  – Espacio topológico con un subconjunto contable denso
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias

Referencias

1. (Engelking 1989, Ejemplo 1.6.18)

Bibliografía

• "Primer axioma de contabilidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemáticas Pura, vol. 6 (edición revisada y completa). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.