Espacio contablemente compacto

En matemáticas, un espacio topológico se denomina contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.

Definiciones equivalentes

Un espacio topológico X se denomina numerablemente compacto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

(1) Toda cubierta abierta contable de X tiene una subcubierta finita.

(2) Todo conjunto infinito A en X tiene un punto de ω-acumulación en X .

(3) Cada secuencia en X tiene un punto de acumulación en X .

(4) Toda familia contable de subconjuntos cerrados de X con una intersección vacía tiene una subfamilia finita con una intersección vacía.

Ejemplos

• El primer ordinal incontable (con la topología de orden ) es un ejemplo de un espacio numerablemente compacto que no es compacto. ^[3]

Propiedades

• Todo espacio compacto es contablemente compacto.
• Un espacio contablemente compacto es compacto si y sólo si es Lindelöf .
• Todo espacio numerablemente compacto es compacto en puntos límite .
• Para los espacios T1 , la compacidad contable y la compacidad del punto límite son equivalentes.
• Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto. ^[4] La recíproca no se cumple. Por ejemplo, el producto de un continuo -muchos intervalos cerrados con la topología de producto es compacto y, por lo tanto, numerablemente compacto; pero no es secuencialmente compacto. ^[5] ${\displaystyle [0,1]}$
• Para los espacios contables iniciales , la compacidad contable y la compacidad secuencial son equivalentes. ^[6] De manera más general, lo mismo se aplica a los espacios secuenciales . ^[7]
• Para espacios metrizables , la compacidad contable, la compacidad secuencial, la compacidad del punto límite y la compacidad son todas equivalentes.
• El ejemplo del conjunto de todos los números reales con la topología estándar muestra que ni la compacidad local ni la σ-compacidad ni la paracompacidad implican compacidad contable.
• Los subespacios cerrados de un espacio contablemente compacto son contablemente compactos. ^[8]
• La imagen continua de un espacio contablemente compacto es contablemente compacta. ^[9]
• Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto .
• En un espacio numerablemente compacto, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es finita. ^{[10] [11]}
• Todo espacio paracompacto numerablemente compacto es compacto. ^{[12] [11] De manera más general, todo} espacio metacompacto numerablemente compacto es compacto. ^[13]
• Todo espacio numerable de Hausdorff compacto y numerable es regular . ^{[14] [15]}
• Todo espacio numerable compacto normal es normal en cuanto a colección .
• El producto de un espacio compacto y un espacio contablemente compacto es contablemente compacto. ^{[16] [17]}
• El producto de dos espacios numerablemente compactos no necesita ser numerablemente compacto. ^[18]

Véase también

• Espacio secuencialmente compacto
• Espacio compacto
• Punto límite compacto
• Espacio Lindelöf

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 19
2. "Topología general: ¿La compacidad secuencial implica compacidad contable?".
3. Steen y Seebach 1995, ejemplo 42, pág. 68.
4. Steen y Seebach, pág. 20
5. Steen y Seebach, Ejemplo 105, pág. 125
6. Willard, problema 17G, pág. 125
7. Kremsater, Terry Philip (1972), Métodos espaciales secuenciales (Tesis), Universidad de Columbia Británica, doi :10.14288/1.0080490, Teorema 1.20
8. Willard, problema 17F, pág. 125
9. Willard, problema 17F, pág. 125
10. Engelking 1989, Teorema 3.10.3 (ii).
11. "El espacio paracompacto numerablemente compacto es compacto".
12. Engelking 1989, Teorema 5.1.20.
13. Engelking 1989, Teorema 5.3.2.
14. Steen y Seebach, Figura 7, pág. 25
15. "Demuestre que un espacio T2 numerable, primer espacio numerable, compacto es regular".
16. Willard, problema 17F, pág. 125
17. "¿Es el producto de un espacio compacto y un espacio contablemente compacto contablemente compacto?".
18. Engelking, ejemplo 3.10.19

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• James Munkres (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de la edición de 1970), Addison-Wesley