En matemáticas , la geometría de transformación (o geometría transformacional ) es el nombre de una perspectiva matemática y pedagógica del estudio de la geometría que se centra en grupos de transformaciones geométricas y propiedades que son invariantes bajo ellas. Se opone al enfoque de la geometría sintética clásica de la geometría euclidiana , que se centra en la demostración de teoremas .
Por ejemplo, en la geometría de transformación, las propiedades de un triángulo isósceles se deducen del hecho de que se proyecta sobre sí mismo mediante una reflexión sobre una determinada línea. Esto contrasta con las demostraciones clásicas basadas en los criterios de congruencia de triángulos . [1]
El primer esfuerzo sistemático para utilizar las transformaciones como base de la geometría fue realizado por Felix Klein en el siglo XIX, bajo el nombre de programa de Erlangen . Durante casi un siglo, este enfoque permaneció confinado a los círculos de investigación matemática. En el siglo XX se hicieron esfuerzos para explotarlo para la educación matemática . Andrei Kolmogorov incluyó este enfoque (junto con la teoría de conjuntos ) como parte de una propuesta para la reforma de la enseñanza de la geometría en Rusia . [2] Estos esfuerzos culminaron en la década de 1960 con la reforma general de la enseñanza de las matemáticas conocida como el movimiento Nueva Matemática .
Una exploración de la geometría de transformación suele comenzar con un estudio de la simetría de reflexión tal como se da en la vida diaria. La primera transformación real es la reflexión en una línea o la reflexión contra un eje . La composición de dos reflexiones da como resultado una rotación cuando las líneas se intersecan, o una traslación cuando son paralelas. Así, a través de las transformaciones, los estudiantes aprenden sobre la isometría del plano euclidiano . Por ejemplo, considere la reflexión en una línea vertical y una línea inclinada a 45° con respecto a la horizontal. Se puede observar que una composición produce un cuarto de vuelta en sentido antihorario (90°) mientras que la composición inversa produce un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj. Estos resultados muestran que la geometría de transformación incluye procesos no conmutativos .
Una aplicación entretenida de la reflexión en una línea ocurre en una prueba del área de un séptimo triángulo que se encuentra en cualquier triángulo.
Otra transformación que se presenta a los estudiantes jóvenes es la dilatación . Sin embargo, la transformación de reflexión en un círculo parece inadecuada para los grados inferiores. Por lo tanto, la geometría inversa , un estudio más amplio que la geometría de transformación de la escuela primaria, generalmente se reserva para los estudiantes universitarios.
Los experimentos con grupos de simetría concretos abren paso a la teoría de grupos abstracta . Otras actividades concretas utilizan cálculos con números complejos , números hipercomplejos o matrices para expresar la geometría de transformación. Estas lecciones de geometría de transformación presentan una visión alternativa que contrasta con la geometría sintética clásica . Cuando los estudiantes se encuentran con la geometría analítica , las ideas de rotaciones de coordenadas y reflexiones se desprenden fácilmente. Todos estos conceptos preparan para el álgebra lineal , donde se amplía el concepto de reflexión .
Los educadores han mostrado cierto interés y han descrito proyectos y experiencias con la geometría de transformación para niños desde el jardín de infantes hasta la escuela secundaria. En el caso de niños muy pequeños, para evitar la introducción de nueva terminología y para establecer vínculos con la experiencia cotidiana de los estudiantes con objetos concretos, a veces se recomendó utilizar palabras con las que están familiarizados, como "flips" para reflexiones de línea, "slides" para traslaciones y "turns" para rotaciones, aunque no se trata de un lenguaje matemático preciso. En algunas propuestas, los estudiantes comienzan realizando actividades con objetos concretos antes de realizar las transformaciones abstractas a través de sus definiciones de una aplicación de cada punto de la figura. [3] [4] [5] [6]
En un intento de reestructurar los cursos de geometría en Rusia, Kolmogorov propuso presentarla bajo el punto de vista de las transformaciones, por lo que los cursos de geometría se estructuraron en base a la teoría de conjuntos . Esto llevó a la aparición del término "congruente" en las escuelas, para figuras que antes se llamaban "iguales": dado que una figura era vista como un conjunto de puntos, solo podía ser igual a sí misma, y se decía que dos triángulos que podían superponerse mediante isometrías eran congruentes . [2]
Un autor expresó la importancia de la teoría de grupos para la geometría de la transformación de la siguiente manera:
